《第十章 概率》单元小结复习与专题突破

《第十章概率》单元小结复习与专题突破知识系统整合

概率是对随机事件发生可能性大小的度量，它已渗透到我们的日常生活中，成为一个常用词汇.

例如，游戏中的随机现象，有抛掷硬币，抛掷骰子，抽取扑克牌，电脑游戏；生活中的随机现象，有彩票，出生月份，摸球抽签儿，上学迟到等；实际应用中的随机现象，有随机抽样，保险问题，投资理财等.知识梳理问题导学1.你能举出一些随机现象的例子吗？你会用什么方法了解这个随机现象的规律？2.你能举出几个在日常生活中利用概率决策的例子吗？3.古典概型有哪些特征？4.由概率的基本性质，你还能推出概率的其他性质吗？5.如果两个事件A和B独立,那么P(AB)与P(A),P(B)有什么关系？6.重复试验100次一定比重复试验50次得到的频率更接近概率吗？你有办法了解你得到的频率是否接近概率吗？7.利用随机模拟得到的计算结果是频率还是概率?（1）概率的研究对象随机现象随机试验有限性随机性稳定性知识回顾随机事件随机现象随机试验认识基本特征“数学化”事实↓定义学习路径例1.在一个盒子中有3个球，蓝球、红球、绿球各1个，从中随机地取出一个球，观察其颜色后放回，然后再随机取出1个球.请

(1)用适当的符号表示试验的可能结果，写出试验的样本空间;(2)用集合表示“第一次取出的是红球”的事件;(3)用集合表示“两次取出的球颜色相同”的事件.grbgbrbg典例解析

解:(1)用r表示“取出红球”，b表示“取出蓝球”，g表示“取出绿球”，样本空间Ω={rr,rb,rg,br,bb,bg,gr,gb,gg}；

(2)事件“第一次取出的是红球”={rr,rb,rg}；

(3)事件“两次取出的球颜色相同”={rr,bb,gg}.随机现象，随机试验事件的关系与运算样本点，样本空间随机事件知识回顾

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典例解析随机现象，随机试验事件的关系与运算事件的概率样本点，样本空间随机事件古典概型有限性等可能性知识回顾

典例解析

知识回顾

ABΩ典例解析B例5.一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球.

（1）求第二次取到红球的概率；

（2）求两次取到的球颜色相同的概率；

随机现象，随机试验事件的关系与运算事件的概率样本点，样本空间随机事件事件的独立性概率的计算古典概型概率的基本性质直观意义数学本质知识回顾

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互斥事件一定不独立，独立事件一定不互斥.

7.某同学做立定投篮训练，共做3组，每组投篮次数和命中的次数如下表所示.第一组第二组第三组合计投篮次数100200300600命中的次数68125176369命中的频率0.680.6250.5870.615根据表中的数据信息用频率估计一次投篮命中的概率，那么使误差较小的可能性大的估计值是________.0.615频率的稳定性例7.某同学做立定投篮训练，共做3组，每组投篮次数和命中的次数如下表所示.典例解析1.甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概率是___________.

解析

前五场中有一场客场输时,甲队以4∶1获胜的概率是0.63×0.5×0.5×2=0.108;前五场中有一场主场输时,甲队以4∶1获胜的概率是0.4×0.6×2×0.52×0.6=0.072.综上所述,甲队以4∶1获胜的概率是0.108+0.072=0.18.答案0.18当堂达标2.2019年,我国施行个人所得税专项附加扣除办法,涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人,现采用分层抽样的方法,从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人?(2)抽取的25人中,享受至少两项专项附加扣除的员工有6人,分别记为A,B,C,D,E,F.享受情况如下表,其中“○”表示享受,“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;②设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”,求事件M发生的概率.解析

(1)由已知,老、中、青员工人数之比为6∶9∶10,由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工,因此应从老、中、青员工中分别抽取6人,9人,10人.(2)①从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{C,D},{C,E},{C,F},{D,E},{D,F},{E,F},共15种.②由表格知,符合题意的所有可能结果为{A,B},{A,D},{A,E},{A,F},{B,D},{B,E},{B,F},{C,E},{C,F},{D,F},{E,F},共11种.所以,事件M发生的概率P(M)=.3.某大学艺术专业400名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成7组:[20,30),[30,40),…,[80,90],并整理得到如下频率分布直方图:(1)从总体的400名学生中随机抽取一人,估计其分数小于70的概率;(2)已知样本中分数小于40的学生有5人,试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数;(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70,且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.

课堂小结体会数学思想、方法1.类比的思想2.函数的思想3.集合的思想4.特殊到一般的思想5.模型化思想6.化归与转化的思想7.分类讨论的思想数学抽象专题突破融会贯通

答案

B例22019年,我国施行个人所得税专项附加扣除办法,涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人,现采用分层抽样的方法,从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人?(2)抽取的25人中,享受至少两项专项附加扣除的员工有6人,分别记为A,B,C,D,E,F.享受情况如下表,其中“○”表示享受,“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;②设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”,求事件M发生的概率.解析

(1)由已知,老、中、青员工人数之比为6∶9∶10,由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工,因此应从老、中、青员工中分别抽取6人,9人,10人.(2)①从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{C,D},{C,E},{C,F},{D,E},{D,F},{E,F},共15种.②由表格知,符合题意的所有可能结果为{A,B},{A,D},{A,E},{A,F},{B,D},{B,E},{B,F},{C,E},{C,F},{D,F},{E,F},共11种.所以,事件M发生的概率P(M)=.应用互斥事件的概率的加法公式解题时，一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．对于较复杂事件的概率，可以转化为求对立事件的概率．求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，若A与B互为对立事件，则利用公式P(A)＝1－P(B)求解．

例3从四双不同的鞋中任意摸出4只,事件“4只全部成对”的对立事件是(

)A.至多有两只不成对 B.恰有两只不成对C.4只全部不成对 D.至少有两只不成对解析

从四双不同的鞋中任意摸出4只,可能的结果为“恰有2只成对”,“4只全部成对”,“4只都不成对”,∴事件“4只全部成对”的对立事件是“恰有2只成对”与“4只都不成对”的并事件“至少有两只不成对”,故选D.答案

D求相互独立事件同时发生的概率的主要方法(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.(2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时,可从其对立事件入手计算.例5甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概率是___________.

解析

前五场中有一场客场输时,甲队以4∶1获胜的概率是0.63×0.5×0.5×2=0.108;前五场中有一场主场输时,甲队以4∶1获胜的概率是0.4×0.6×2×0.52×0.6=0.072.综上所述,甲队以4∶1获胜的概率是0.108+0.072=0.18.答案0.18

例6某大学艺术专业400名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用