2020高中数学 第一章 空间几何体 12 球的体积和表面积(含解析)2_第1页
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学必求其心得,业必贵于专精学必求其心得,业必贵于专精PAGE8-学必求其心得,业必贵于专精1.3.2球的体积和表面积[基础巩固](25分钟,60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知两个球的半径之比为1:3,那么这两个球的表面积之比为()A.1:9B.1:27C.1:3D.1:1解析:设两球的半径分别为r1,r2,表面积分别为S1,S2,∵r1:r2=1:3,∴S1:S2=4πreq\o\al(2,1):4πreq\o\al(2,2)=req\o\al(2,1):req\o\al(2,2)=1:9.故选A。答案:A2.[2019·安徽省合肥市检测]平面α截球O所得截面圆的半径为1,球心O到平面α的距离为eq\r(2),则此球的体积为()A。eq\r(6)πB.4eq\r(3)πC.4eq\r(6)πD.6eq\r(3)π解析:球的半径R=eq\r(12+\r(2)2)=eq\r(3),所以球的体积V=eq\f(4,3)π×(eq\r(3))3=4eq\r(3)π。答案:B3.两球的体积之和是12π,它们的大圆周长之和是6π,则大球与小球的半径之差是()A.1B.2C.3D.4解析:设大球半径为R,小球半径为r,所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)πR3+\f(4,3)πr3=12π,,2πR+2πr=6π,))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(R=2,r=1)),所以R-r=2-1=1。答案:A4.已知一个正方体的体积是8,则这个正方体的内切球的表面积是()A.8πB.6πC.4πD.π解析:设该正方体的棱长为a,内切球的半径为r,则a3=8,∴a=2,∴正方体的内切球直径为2,r=1,∴内切球的表面积S=4πr2=4π。答案:C5.半径为eq\r(3,\f(36,π))的球的体积与一个长、宽分别为6,4的长方体的体积相等,则长方体的表面积为()A.44B.54C.88D.108解析:由题意知,球的半径R=eq\r(3,\f(36,π)),故球的体积为eq\f(4,3)πR3=eq\f(4,3)π·eq\f(36,π)=48,则长方体的高为48÷6÷4=2,故长方体的表面积为2×(6×4+4×2+6×2)=88.答案:C二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,PA=3,底面ABC是边长为2的正三角形,三棱锥P-ABC的体积为________.解析:依题意有,三棱锥P-ABC的体积V=eq\f(1,3)S△ABC·|PA|=eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×22×3=eq\r(3).答案:eq\r(3)7.把直径分别为6cm,8cm,10cm的三个铁球熔成一个大铁球,则这个大铁球的半径为________cm.解析:设大铁球的半径为Rcm,由eq\f(4,3)πR3=eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,2)))3+eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,2)))3+eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,2)))3,得R3=216,得R=6。答案:68.湖面上漂着一个小球,湖水结冰后将球取出,冰面上留下了一个直径为6cm,深为1cm的空穴,则该球半径是________cm,表面积是________cm2。解析:设球心为O,OC是与冰面垂直的一条球半径,冰面截球得到的小圆圆心为D,AB为小圆D的一条直径,设球的半径为R,则OD=(R-1)cm,则(R-1)2+32=R2,解之得R=5cm,所以该球表面积为S=4πR2=4π×52=100π(cm2).答案:5100π三、解答题(每小题10分,共20分)9.若三个球的表面积之比为1:4:9,求这三个球的体积之比.解析:设三个球的半径分别为R1,R2,R3,∵三个球的表面积之比为1:4:9,∴4πReq\o\al(2,1):4πReq\o\al(2,2):4πReq\o\al(2,3)=1:4:9,即Req\o\al(2,1):Req\o\al(2,2):Req\o\al(2,3)=1:4:9,∴R1:R2:R3=1:2:3,∴V1:V2:V3=eq\f(4,3)πReq\o\al(3,1):eq\f(4,3)πReq\o\al(3,2):eq\f(4,3)πReq\o\al(3,3)=Req\o\al(3,1):Req\o\al(3,2):Req\o\al(3,3)=1:8:27.10.已知球心O到过球面上三点A,B,C的截面的距离等于球半径的一半,且AB=BC=CA=3cm,求球的体积.解析:如图所示,设过A,B,C三点的截面为圆O′,连接OO′,AO,AO′,因为AB=BC=CA=3cm,所以O′为正三角形ABC的中心,且AO′=eq\f(\r(3),3)AB=eq\r(3)cm.设球的半径为R,则OO′=eq\f(1,2)R.由球的截面性质,知△OO′A为直角三角形,所以AO′=eq\r(OA2-OO′2)=eq\r(R2-\f(1,4)R2)=eq\f(\r(3),2)R,所以R=2cm.所以V球=eq\f(4,3)πR3=eq\f(32,3)π(cm3).[能力提升](20分钟,40分)11.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()A.π B。eq\f(3π,4)C。eq\f(π,2) D。eq\f(π,4)解析:设圆柱的底面半径为r,球的半径为R,且R=1,由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知,r,R及圆柱的高的一半构成直角三角形.∴r=eq\r(12-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)=eq\f(\r(3),2)。∴圆柱的体积为V=πr2h=eq\f(3,4)π×1=eq\f(3π,4).故选B.答案:B12.长方体的共顶点的三个侧面面积分别为eq\r(3)、eq\r(5)、eq\r(15),则它的外接球的表面积为________.解析:设长方体的有公共顶点的三条棱的长分别为x、y、z,则由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xy=\r(3),,yz=\r(5),,zx=\r(15),))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=\r(3),,y=1,,z=\r(5)))所以球的半径R=eq\f(1,2)eq\r(x2+y2+z2)=eq\f(3,2)。所以S球=4πR2=9π。答案:9π13.有三个球,第一个球内切于正方体的六个面,第二个球与这个正方体各条棱都相切,第三个球过这个正方体的各个顶点,求这三个球的表面积之比.解析:设正方体棱长为a,三个球的半径依次为R1,R2,R3,则有2R1=a,R1=eq\f(a,2),eq\r(2)a=2R2,R2=eq\f(\r(2),2)a,eq\r(3)a=2R3,R3=eq\f(\r(3),2)a,所以R1:R2:R3=1:eq\r(2):eq\r(3).所以S1:S2:S3=Req\o\al(2,1):Req\o\al(2,2):Req\o\al(2,3)=1:2:3.即这三个球的表面积之比为1:2:3.14.一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球,在圆锥内又有一个内切球.求:(1)圆锥的侧面积;(2)圆锥内切球的体积.解析:(1)如图所示,作出轴截面,则等腰三角形SAB内接于圆O,而圆O1内切于△SAB。设圆O的半径为R,则有eq\f(4,3)πR3=972π,所以R3=729,R=9,所以SE=18。又因为SD=16,所以ED=2。连接AE,因为SE是直径,所以SA⊥AE,SA2=SD·SE=16×18=288,所以SA=12eq\r(2).因为AB⊥SD,所以AD2=SD·DE=16×2=32,AD=4eq\r(2)。所以S圆锥侧=π×4e

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