2020高中数学 第一章 空间几何体 12 球的体积和表面积（含解析）2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE8-学必求其心得，业必贵于专精1.3.2球的体积和表面积［基础巩固]（25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分）1．已知两个球的半径之比为1：3，那么这两个球的表面积之比为（)A．1：9B．1:27C．1：3D．1：1解析:设两球的半径分别为r1，r2，表面积分别为S1,S2，∵r1：r2＝1:3，∴S1：S2＝4πreq\o\al（2，1):4πreq\o\al（2,2）＝req\o\al（2，1)：req\o\al（2,2）＝1：9.故选A。答案：A2．[2019·安徽省合肥市检测]平面α截球O所得截面圆的半径为1，球心O到平面α的距离为eq\r(2），则此球的体积为()A。eq\r（6）πB．4eq\r(3)πC．4eq\r(6)πD．6eq\r(3）π解析：球的半径R＝eq\r(12＋\r(2）2）＝eq\r(3)，所以球的体积V＝eq\f（4,3）π×（eq\r(3））3＝4eq\r（3）π。答案：B3．两球的体积之和是12π，它们的大圆周长之和是6π，则大球与小球的半径之差是（)A．1B．2C．3D．4解析:设大球半径为R，小球半径为r，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（\f(4，3)πR3＋\f(4，3）πr3＝12π，,2πR＋2πr＝6π,））得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(R＝2,r＝1))，所以R－r＝2－1＝1。答案：A4．已知一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是(）A．8πB．6πC．4πD．π解析:设该正方体的棱长为a，内切球的半径为r，则a3＝8,∴a＝2，∴正方体的内切球直径为2，r＝1，∴内切球的表面积S＝4πr2＝4π。答案:C5．半径为eq\r(3，\f（36，π)）的球的体积与一个长、宽分别为6,4的长方体的体积相等,则长方体的表面积为(）A．44B．54C．88D．108解析:由题意知，球的半径R＝eq\r(3，\f（36，π)），故球的体积为eq\f(4，3）πR3＝eq\f(4,3）π·eq\f(36，π)＝48，则长方体的高为48÷6÷4＝2，故长方体的表面积为2×（6×4＋4×2＋6×2)＝88.答案：C二、填空题（每小题5分，共15分）6．已知三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC,PA＝3,底面ABC是边长为2的正三角形,三棱锥P－ABC的体积为________．解析：依题意有，三棱锥P－ABC的体积V＝eq\f（1，3)S△ABC·|PA｜＝eq\f（1，3）×eq\f(\r（3）,4）×22×3＝eq\r（3).答案：eq\r(3)7．把直径分别为6cm,8cm，10cm的三个铁球熔成一个大铁球，则这个大铁球的半径为________cm.解析：设大铁球的半径为Rcm，由eq\f(4,3)πR3＝eq\f（4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（6，2)))3＋eq\f（4，3)π×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(8,2)）)3＋eq\f（4，3）π×eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（10,2））)3，得R3＝216，得R＝6。答案:68．湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出,冰面上留下了一个直径为6cm，深为1cm的空穴,则该球半径是________cm，表面积是________cm2。解析:设球心为O，OC是与冰面垂直的一条球半径,冰面截球得到的小圆圆心为D，AB为小圆D的一条直径，设球的半径为R，则OD＝(R－1)cm，则（R－1）2＋32＝R2，解之得R＝5cm，所以该球表面积为S＝4πR2＝4π×52＝100π(cm2)．答案：5100π三、解答题(每小题10分，共20分)9．若三个球的表面积之比为1:4：9，求这三个球的体积之比．解析:设三个球的半径分别为R1，R2,R3,∵三个球的表面积之比为1：4：9，∴4πReq\o\al（2,1):4πReq\o\al（2,2）:4πReq\o\al(2，3)＝1:4：9,即Req\o\al(2,1)：Req\o\al(2，2)：Req\o\al（2，3）＝1:4：9,∴R1：R2：R3＝1：2：3，∴V1：V2：V3＝eq\f(4,3)πReq\o\al(3,1）：eq\f（4,3)πReq\o\al（3，2):eq\f(4，3)πReq\o\al（3，3）＝Req\o\al（3，1)：Req\o\al(3,2）:Req\o\al（3，3）＝1：8：27.10．已知球心O到过球面上三点A，B,C的截面的距离等于球半径的一半，且AB＝BC＝CA＝3cm，求球的体积．解析：如图所示,设过A，B，C三点的截面为圆O′,连接OO′,AO，AO′，因为AB＝BC＝CA＝3cm，所以O′为正三角形ABC的中心，且AO′＝eq\f（\r（3），3）AB＝eq\r(3）cm.设球的半径为R，则OO′＝eq\f(1，2）R.由球的截面性质,知△OO′A为直角三角形，所以AO′＝eq\r(OA2－OO′2)＝eq\r(R2－\f(1,4）R2)＝eq\f(\r(3），2）R，所以R＝2cm.所以V球＝eq\f（4,3)πR3＝eq\f(32,3)π（cm3)．[能力提升]（20分钟，40分)11．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为（）A．π B。eq\f(3π,4)C。eq\f(π，2） D。eq\f(π，4）解析:设圆柱的底面半径为r，球的半径为R，且R＝1，由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知,r，R及圆柱的高的一半构成直角三角形．∴r＝eq\r(12－\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1,2)))2）＝eq\f(\r（3)，2）。∴圆柱的体积为V＝πr2h＝eq\f（3,4)π×1＝eq\f(3π,4).故选B.答案：B12．长方体的共顶点的三个侧面面积分别为eq\r（3）、eq\r（5）、eq\r（15)，则它的外接球的表面积为________．解析：设长方体的有公共顶点的三条棱的长分别为x、y、z，则由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（xy＝\r(3)，，yz＝\r(5)，,zx＝\r（15)，))解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝\r（3)，,y＝1,，z＝\r（5))）所以球的半径R＝eq\f（1，2)eq\r(x2＋y2＋z2）＝eq\f（3，2）。所以S球＝4πR2＝9π。答案:9π13．有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切,第三个球过这个正方体的各个顶点,求这三个球的表面积之比．解析：设正方体棱长为a,三个球的半径依次为R1，R2，R3，则有2R1＝a，R1＝eq\f(a，2），eq\r（2）a＝2R2,R2＝eq\f(\r（2）,2)a,eq\r(3)a＝2R3，R3＝eq\f（\r(3)，2)a，所以R1:R2:R3＝1：eq\r（2):eq\r（3）.所以S1:S2:S3＝Req\o\al（2，1)：Req\o\al(2,2)：Req\o\al（2，3）＝1：2：3.即这三个球的表面积之比为1：2：3.14．一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥内又有一个内切球．求:(1)圆锥的侧面积;(2）圆锥内切球的体积．解析：(1)如图所示，作出轴截面，则等腰三角形SAB内接于圆O，而圆O1内切于△SAB。设圆O的半径为R,则有eq\f(4,3）πR3＝972π，所以R3＝729，R＝9，所以SE＝18。又因为SD＝16，所以ED＝2。连接AE，因为SE是直径，所以SA⊥AE，SA2＝SD·SE＝16×18＝288，所以SA＝12eq\r(2).因为AB⊥SD,所以AD2＝SD·DE＝16×2＝32,AD＝4eq\r（2）。所以S圆锥侧＝π×4e