2020高中数学 第四章 圆与方程 4.2. 直线与圆的方程的应用练习（含解析）2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE11-学必求其心得，业必贵于专精第32课时直线与圆的方程的应用对应学生用书P89知识点一直线与圆的方程在平面几何中的应用1．已知两点A(－2，0)，B(0,2）,点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是（)A．3－eq\r(2）B．3＋eq\r（2）C．3－eq\f（\r(2）,2)D．eq\f(3－\r(2），2）答案A解析由题意,得lAB：x－y＋2＝0，圆心为(1,0），所以圆心到lAB的距离d＝eq\f（3,\r(2)）＝eq\f(3\r(2)，2),所以AB边上的高的最小值为eq\f(3\r（2)，2)－1．又|AB｜＝eq\r(－22＋－22)＝2eq\r(2)，所以△ABC面积的最小值是eq\f（1，2)×2eq\r(2)×eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(3\r（2），2)－1）)＝3－eq\r(2）．2．若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点P（a，b)在圆x2＋y2＝1的________．（填圆上、圆外或圆内)答案圆外解析由题意得eq\f(｜－1｜,\r(a2＋b2)）〈1，即a2＋b2〉1,所以点P（a,b)在圆外．知识点二直线与圆的方程在实际生活中的应用3．在位于城市A南偏西60°相距100海里的B处，一股台风沿着正东方向袭来，风速为120海里/时，台风影响的半径为r（r>50）海里；（1）若r＝70，求台风影响城市A持续的时间（精确到1分钟）？（2)若台风影响城市A持续的时间不超过1小时，求实数r的取值范围．解（1）由题意，|AB′｜＝70,|AC|＝50,则｜B′C｜＝eq\r(4900－2500)＝20eq\r（6),∵风速为120海里/时，∴台风影响城市A持续的时间为2×eq\f(20\r(6）,120）×60≈49分钟．(2）由题意，｜AB″|＝r，|B″C｜≤60，∴eq\r（r2－2500)≤60，∵r〉50，∴50〈r≤10eq\r(61)．4．设有半径长为3km的圆形村落,甲、乙两人同时从村落中心出发，甲向东前进而乙向北前进,甲离开村后不久，改变前进方向,斜着沿切于村落边界的方向前进，后来恰好与乙相遇．设甲、乙两人的速度都一定，且其速度比为3∶1，问：甲、乙两人在何处相遇？解如图所示，以村落中心为坐标原点,以东西方向为x轴，南北方向为y轴建立平面直角坐标系．设甲向东走到D转向到C恰好与乙相遇，CD所在直线的方程为eq\f（x，a)＋eq\f（y,b)＝1(a〉3，b>3)，乙的速度为v，则甲的速度为3v．依题意，有eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(\f（｜ab｜,\r（a2＋b2））＝3，，\f（\r(a2＋b2)＋a,3v)＝\f（b，v）。)）解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝5,，b＝3.75。）)所以乙向北前进3．75km时甲、乙两人相遇．知识点三坐标法证明几何问题5．如图，直角△ABC的斜边长为定值2m，以斜边的中点O为圆心作半径为n的圆，直线BC交圆于P，Q两点，求证：｜AP|2＋｜AQ｜2＋|PQ｜2为定值．证明如图，以O为坐标原点，以直线BC为x轴，建立平面直角坐标系,于是有B(－m，0)，C(m，0）,P(－n,0），Q（n，0)．设A(x，y)，由已知，点A在圆x2＋y2＝m2上．｜AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2＝(x＋n）2＋y2＋(x－n）2＋y2＋4n2＝2x2＋2y2＋6n2＝2m2＋6n2（定值）．对应学生用书P90一、选择题1．已知直线y＝ax与圆C：x2＋y2－2ax－2y＋2＝0交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则圆C的面积为()A．49πB．36πC．7πD．6π答案D解析将x2＋y2－2ax－2y＋2＝0变形为(x－a）2＋(y－1）2＝a2－1，由题意,可得圆心C(a,1)到直线y＝ax的距离d＝eq\f(\r(3)，2）r＝eq\f(\r(3）,2)eq\r（a2－1）＝eq\f（｜a2－1|，\r（a2＋1))，得a2＝7或1（舍去）,故圆C的面积为π（eq\r(a2－1))2＝6π．选D．2．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋kx－y－9＝0的两个交点恰好关于y轴对称，则k＝(）A．0B．1C．2D．3答案A解析解法一：将两方程联立消去y，得（k2＋1)x2＋2kx－9＝0,由题意此方程两根之和为0，故k＝0．解法二：直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋kx－y－9＝0的两个交点恰好关于y轴对称，所以圆心在y轴上,因此k＝0．3．已知点M(a，b)（ab≠0)是圆x2＋y2＝r2(r＞0）内一点,直线g是以M为中点的弦所在的直线，直线l的方程为ax＋by＋r2＝0,则(）A．l∥g，且l与圆相离B．l⊥g,且l与圆相切C．l∥g，且l与圆相交D．l⊥g，且l与圆相离答案A解析因为点M(a,b)在圆内,所以a2＋b2＜r2．因为圆心（0，0）到直线l的距离d＝eq\f（r2，\r(a2＋b2）)＞r,所以直线l与圆相离．又直线g的方程为y－b＝－eq\f(a,b)(x－a)，即ax＋by－a2－b2＝0，所以l∥g．4．台风中心从A地以20千米/时的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处在危险区域的时间为(）A．0．5小时B．1小时C．1．5小时D．2小时答案B解析受影响的区域长度＝2eq\r(302－20\r(2)2)＝20千米，故影响时间为1小时．5．如图,一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时,拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后,水面宽度为（）A．14米B．15米C．eq\r（51)米D．2eq\r（51）米答案D解析以圆弧形拱桥的顶点为原点，以过圆弧形拱桥的顶点的水平切线为x轴,以过圆弧形拱桥的顶点的竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系．设圆心为C，水面所在弦的端点为A,B，则由已知可得A（6，－2）,设圆的半径长为r，则C(0，－r），即圆的方程为x2＋(y＋r）2＝r2．将点A的坐标代入上述方程可得r＝10,所以圆的方程为x2＋(y＋10）2＝100，当水面下降1米后,水面弦的端点为A′,B′，可设A′(x0，－3）（x0>0),代入x2＋(y＋10）2＝100，解得x0＝eq\r（51)，∴水面宽度|A′B′|＝2eq\r(51）米．二、填空题6．已知圆C：x2＋y2－6x＋8＝0，若直线y＝kx与圆C相切，且切点在第四象限，则k＝________．答案－eq\f（\r（2），4)解析如图,设切点为A,圆C：(x－3)2＋y2＝1．|OC|＝3，｜AC｜＝1，在Rt△OAC中，|OA｜＝2eq\r（2）,k＝－tan∠AOC＝－eq\f(|AC|,|OA|)＝－eq\f（\r(2),4）．7．过点O(0，0）引圆C：(x－2)2＋(y－2)2＝1的两条切线OA，OB，A，B为切点,则直线AB的方程是________________．答案2x＋2y－7＝0解析由题可知，A，B在以OC为直径的圆上，即（x－1）2＋(y－1)2＝2与(x－2）2＋（y－2）2＝1作差可得直线AB方程为2x＋2y－7＝0．8．已知圆O：x2＋y2＝1和点A(－2,0），若定点B(b，0)(b≠－2）和常数λ满足：对圆O上任意一点M，都有｜MB｜＝λ|MA|，则λ－b＝________．答案1解析设M（x，y），由|MB|＝λ|MA｜，得（x－b)2＋y2＝λ2(x＋2）2＋λ2y2．取圆上特殊点(1，0），（－1,0)代入上式，可得(1－b)2＝λ2×（1＋2)2，（－1－b)2＝λ2×（－1＋2)2,解得b＝－eq\f（1,2)，λ＝eq\f(1,2），故λ－b＝1．三、解答题9．已知圆C1:x2＋y2＝4和圆C2:x2＋(y－8)2＝4，直线y＝eq\f（\r(5）,2)x＋b在两圆之间穿过且与两圆无交点,求实数b的取值范围．解直线方程是eq\r(5)x－2y＋2b＝0．当直线与圆C1相切时，eq\f（|2b|,\r(5＋4））＝2，解得b＝±3．当直线与圆C2相切时，eq\f（｜－16＋2b|，\r(5＋4))＝2,解得b＝5或b＝11．结合右图,知3〈b<5．10．已知曲线C的方程为ax2＋ay2－2a2x－4y＝0，其中a≠0，且a为常数．(1）判断曲线C的形状，并说明理由；(2）设曲线C分别与x轴、y轴交于点A,B（A，B不同于坐标原点O)，问△AOB的面积S是否为定值？并证明；（3）设直线l：y＝－2x＋4与曲线C交于不同的两点M，N,且|OM｜＝|ON|(O为坐标原点），求曲线C的方程．解（1)将曲线C的方程化为x2＋y2－2ax－eq\f(4，a）y＝0，即(x－a)2＋y－eq\f（2,a）2＝a2＋eq\f(4，a2），可知曲线C是以点Pa，eq\f(2,a）为圆心,以eq\r(a2＋\f（4,a2)）为半径的圆．（2）△AOB的面积S为定值．证明如下：令y＝0,得x（x－2a）＝0，∴A(2a,0)．令x＝0，得y(ay－4)＝0，∴B0,eq\f(4，a),∴S＝eq\f（1,2)|OA｜·|OB｜＝eq\f(1，2）·｜2a｜·eq\f(4，a)＝4，为定值．（3)∵圆P过坐标原点，且｜OM|＝