最新人教版高中数学选修1-1《抛物线及其标准方程》教学设计

24.1

教设抛线其准程整体设计教分本节在教材中的地位和作用初中阶段物线为学生学习二次函数提供了直观的图象感觉在高中阶段也有着广泛应用在一元二次不等式的解法求最大小值方面有着重要的作用但学生并不清这种曲线的本质着学生数学知识的逐渐完备尤其是学习了椭圆、双曲线之后，已具备了探讨这个问题的能力．因此节的教学既是与初中阶段二次函数的图象遥相呼应现数学的和谐之美是解析几何“用方程研究曲线”这一基本思想的再次强化据物线定义推出的标准方程为以后用代数方法研究抛物线的几何性质和实际应用提供了必要的工具和基础们在教学中采用“创设情景发感、主动发现、主动发展”的教学模式，具体做法如下：(1)通过图片的形象展示及信息术应用，由学生通过观察、猜想，从而使学生参与知识的获取抽、归纳的全过程得到了抛物线的定义及其应注意的条件学的综合分析能力．(2)类比椭圆、双曲线标准方程求解过程，思考→研究讨论→点拨引导，得到抛物线标准方程．通过教师适时的引导，通过生生间、师生间的交流互动，通过学生自己的发现、分析、探究、反思，使学生真正成为学习的主人，不断完善自己的知识体系，提高获取知识的能力，尝试合作学习的快乐，体验成功的喜悦．课时分配本节内容分两课时完.第课讲解抛物线的定义及其标准方程课讲解运用抛物线的定义及其标准方程解题固求曲线方程的两种基本方法定数法义．第时教目知识与技能．掌握抛物线的定义、几何图形，明确焦点和准线的意义；．会推导抛物线的标准方程；．能够利用给定的条件求抛物线的标准方程．过程与方法通过“观察”“思考”“探究”与“合作交流”等一系列数学活动养学生观察比析括能力以及逻辑思维的能力学学会数学思考与推理会反思与感悟，形成良好的数学观，并进一步感受坐标法及数形结合的思想．情感、态度与价值观通过提问讨论考解答等教活动一步培养学生合作流能力和团队精神，培养学生实事求是善观察勇于探索、严密细致的科学态度发学生积极主动地参与数学学习活动养良好的学习惯同通过欣赏生活中一些抛物线型建筑加强学生对抛物线的感性认识，使学生得到美的享受，陶冶了情操．重点难点教学重点：抛物线的定义及其标准方程．教学难点：抛物线定义的形成过程及抛物线标准方程的推导(关键坐标系方案的选择．教学过程复习旧知在初中，我们学习过了二次函数＝ax＋bx，知道二次函数的图象是一条抛物线，例如：(1)y＝，＝－4x的象展两个函数图)并让学生思考抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴．讲授新课1．课题引入通过演示课前老师准备的有关图(PPT),如1965年竣工的密西西比河河畔的萨尔南拱门，它就是用不锈钢铸成的抛物线形的建筑物；再看一张图片，这是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥——赵州桥，让同学们思考它的拱底是什么曲线(学生易回答是抛物线)事实上，它并不是抛物线而是圆的一段劣弧．再思考到底什么样的曲线才可以称作是抛物线？它具有怎样的几何特征？它的方程是什么呢？这就是我们今天要研究的内容．2．抛物线的定义本节信息技术应用(课堂中用几何画板展示画图过)先看一个实验：如图：点是点，l是经过点F定直线，H是l上意一点，过点H作MH，线段的垂平分线m交MH于M.拖点H察点M的轨你能发现点M满的几何条件吗？学生观察画图过程，讨)可以发现点随H的动终有MH|＝|MF|即与定和直线l的离相等．也以用几何画板度|，|MF|值(定义引入：我们把平面内与一个定点F和条定直线l(l不过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做物线的焦点，直线做抛物线的准线(书提出问题点F与定线l是么关系？为什么定义里要强调点F不直线l上如果定点和直线l之间距离越来越小，抛物线有什么变化？活动设计：由教师利用多媒体演示，学生观察、讨论．活动结果发现当点F和线l之的距离越来越小时抛线的开口越来越窄抛物线的形状实质上是取决于焦距．焦距不同，抛物线就不同．提出问题：定点F越来越靠近直，并最终落在直线l上，抛物线有什么变化？活动设计：由教师利用多媒体演示，学生观察、讨论．活动结果：曲线退化为一条过点F且垂直于直线l的直．3．抛物线的标准方程探究：从抛物线的定义中我们知道，抛物线上的点(xy)满足到焦点F的离与到准线l的离相等．那么动点M(xy)的轨迹方程是什么，即抛物线的方程是什么呢？提出问题：设点F到线距离为p(p>0)，你认为应该如何选择坐标系求抛物线的方程能所得的方程取较单的形式呢？按照你建立直角坐标系的方案抛线的方程．活动设计：让学生分组讨论，教师巡视，最后由小组推荐一人上台板演：活动结果：学生得到了3种不的方案：方案1：以l为y轴F与线l垂的直线为x建立直角坐标如图)点F(p,0)，动点M的标(，，作MD轴于D，抛物线的集合为：＝{M||MF|＝|MD|}．由坐标表示得：x－p＋＝化简后得：＝2px－方案2：

＞．以定点F为点于l的线为y轴建立直角坐标如图点M的标为(x，y)，设直线l的方为x＝－，定点F(0,0)过⊥l于D，抛物线的集合为：p＝{M||MF|＝．由坐标表示得：x＋＝＋化简得：y＝＋(p＞．方案3:取过焦点F且直于准线l的线为x轴轴交于K线段KF的垂直平分线为y轴建立直角坐标系如图)．pp设KF|＝，定点F的标为(0)准线方程为x＝－设抛物线上的点M(x，22y)到l的距为d，抛物线是集＝{M||MF|d}．∵|MF|＝

ppx－＋，＝＋，22∴

ppx－2＋＝＋|.22化简后得：＝(p＞0)．提出问题观察以上3个系方案及其对应的方程认为应该选择哪个方程作为抛物线的标准方程呢？学情预测开学生的回答可能全面但在其他同学的不断补充、纠正下，会趋于完善．如方程的形式较简单、对称轴、焦点方程无常数项、顶点在原点等．活动结果们把方程y＝2px(p>0)做抛物线的标准方程表的抛物线的焦点坐pp标是(，，线方程是x＝－22提出问题在求椭圆双线的标准方程的过程中择不同的坐标系得到了不同形式的标准方程于物线当我选择如(投影展示下列表格的第一)四种建立坐标系的方法，我们也可以得到不同形式的抛物线的标准方程：活动设计：学生分四组分别计算四种情况，一起填充表格图形

开口方向向右向左

标准方程y＝2px(p>0)y＝－(p>0)

焦点坐标p(，2p(－，2

准线方程px＝－2px＝2向上向下

x＝2py(p>0)x＝－(p>0)

p(0，)2p(0，2

py＝－2py＝2理新观察抛物线图形及其标准方程，师生共同总结归纳：所建坐标系的共同特点：①抛物线都过原点；②对称轴为坐标轴；③准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称p(p>0)表示焦点F到线l的离；抛物线标准方程中若一次项是x，则对称轴为x轴，点在x上；若一次项是y，则对称轴为轴，点在y轴上而且“＋”在正半轴上，“－”在负半轴上(对称轴看一次项(4)若标准方程中一次项前面的数为正数，则开口方向为x或y轴的正方向；若一次项前面的系数为负数，则开口方向为x轴或的负方向(符号决定开口方)1(5)焦点坐标中(纵坐的值是一次项系数的方程中的数值是一次项系数的－414

.

运新例题研讨，变式精析1(1)已知抛物线的标准方程是y＝，求它的焦点坐标和准线方程；(2)已知抛物线的焦点是F(0，－2)，它的标准方程．分：(1)看清一次项，判定对称轴与焦点所在位置，再利用焦点坐标中(纵)坐标11的值是一次项系数的，线方程中的数值是一次项系数的－，到焦点坐标和准线方程．441(2)先判定出焦点在y轴，从而得到一次项为y再利用关写出方程．433解(1)因为p＝，所以抛物线的点坐标(，0)准线方程为＝－22p(2)因为抛物线的焦点在y轴负半轴上，且＝2＝4，2所以，所求抛物线方程为x＝－点：(1)一步熟悉由抛物线的标准方程求焦点坐标、准线方程，及由焦点求方程的方法．(2)培学生运用知识解问题的能力．2求列抛物线的焦点坐标和准方程：(1)y＝；(2)y＝；(3)2y＋5x0；(4)x＋8y0.解

焦点坐标(5,0)1(0,)85(－，8(0，－2)

准线方程x＝－1y＝－85x＝8y＝2点：(1)抛物线的焦点一定要先将方程化成抛物线的标准方程形式．1(2)再利用焦点坐标中横(纵坐的值是一次项系数的方程中的数值是一次项系41数的－，得焦点坐标和准线程．4变练演编提出问题：请解答下列问题：已知抛物线的标准方程是x＝4y你可以得到哪些结论？把你能得到的结论都写出来)．已知p＝1，则你可以得到哪些抛物线的结论把你能得到的结论都写出)．已知焦点在x轴，________________，可以求得抛物线的标准方程为y＝，题中横线上需要添加什么样的条件？活动设计：学生先独立探索，允许互相交流成果．然后，全班交流．学情预测：1.对称轴＝，焦点0,1)，准线方程y＝－1.．抛物线的标准方程为x＝或＝4y或＝或y＝4x等．．焦点坐标(1,0)；准线方的＝；或抛物线过(1,2)等．设计意图：设置本组开放性问题，意在增加问题的多样性、有趣性、探索性和挑战性，训练学生思维的发散性收性灵活性和深刻性，长期坚持，不仅会加深学生对数学的理解、掌握，而且会潜移默化地学会编题、解题．达标检测1．已知抛物线上一点A到点距离等于6那么点A准线的距离等__________．2．抛物线y＝12x上焦点的离等于9的点坐标是．．抛物线x＝－4y的点到准的距离等____________．求抛物线y＝－的点坐标和准线方程．．已知抛物线的焦点F(－3,0)求抛物线标准方程．活动设计：学生先独立探索，允许互相交流成果．然后，全班交流．设计意图：教学中应注意教学效果的及时信息反馈，做到教学有针对性和实效性．11162.(6±62)3.24.点坐标(0－)准线方程为y＝5.y＝－1616课堂小结让学生回忆并小结、提炼本节课学习内容：．抛物线的定义及其标准方程(意四种形式的异)；(1)已知焦点或准线方程求抛线标准方程的基本方法键是定轴向—求p值—写方程；(2)已知抛物线的标准方程，求物线的焦点与准线方程，关键要确定轴向．．抛物线上点M到点F距离求解方法：可以转化成点准线的距离．．注重数形结合、分类讨论思想．作业布置课本习题2.4A组1,2,3.补充练习．抛物线x＝的线方程____________________．．抛物线y＝－4x上一点M到点的距离为1，则点的纵标____________．yx3．若抛物线y＝的点与椭圆＋＝的焦点重合，则的值()62A．－2B．C．－D．4．已知点P在物线y＝上那么点到点，－的距离与点P到抛物线焦点的距离之和取得最小值时，点P的坐标()11A．(，－．，1)44C．(1,2)．(1，－2)5．过抛物线y＝4x的点直线交抛物线于A(x，yB(xy两点，若yy＝，求线段AB的长16161151．x＝－2.y＝－3.D4.A416115．解由方程x＝y得，准方程为y＝，则点A准线的距离d＝＋，416161点B到准线的距离d＝＋.又由抛物线的定义可得：|AF|＝|BF|＝d，1141∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝y＋＋＋＝.16168设计说明本节先用现实生活中的实例引出课题几何画板的演示功能生通过点的运动，观察到抛物线的轨迹的特征多体创设问题情境让探究式教学走进课堂唤醒学生的主体意识，发展学生的主体能力，让学生在参与中学会学习、学会合作、学会创新．学生虽然通过二次函数对抛物线图形有所了解，但只限于感性认识，缺少理性的思考、探索和创新这与缺乏必要的数思想和方法密切相关节课从实例出发用多媒体结合本课题设计了一对动点有规律的运动，由此作一些理性的探索和研究．在教材的处理上，大胆创新，在概念的理解上，根据抛物线定义的特点，结合学生的认识能力和思维习惯类前面的圆、双曲线求轨迹方程的方法标准方程的推导上，并不是直接给出教材中的“建系”方式是学生自主地“建系”到种不同的建系方式通所得方程的比较得到准方程从中去体会探索的乐趣和数学中的对称美和简洁美．例题和练习的设计遵循由浅入深，循序渐进的原则，低起点，多落点，高终点，照顾到各个层次的学生，目的是强化基本技能训练和基本知识的灵活运用．备课资料备例：1．动圆M过P(0,2)且与直线＋＝0相切求动圆圆心M的轨迹方程．思路分：根据题意判断轨迹，再建立直角坐标系，采用待定系数法得出轨迹方程．解这个轨迹是抛物线，定点是焦，直线是准线＝2，∴设抛物线的方程为x＝2py(p>0)则＝4.∴所求抛物线的方程为：x＝8y.即动圆圆心M的迹方程为：x＝8y.点：定义的深刻理解是解决此题的关键．2．求焦点在直线3x－4y－12＝的抛物线的标准方程．思路分：根据题意判断焦点的位置，采用待定系数法求方程．解当x＝0时y＝－3；当y＝时，＝4.∴当焦点F为0，－时设抛物线的标准方程为＝－2py(p>0)，p＝6,所抛物线的标准方程为x＝－12y.当焦点F为4,0)时，设抛物线标准方程为y＝2px(p>0)则p＝8,所抛物线的标准方程为y16x.点：要考查p的意义，同时注意全面讨论．3．已知动圆M与线y＝相，且与定圆C：＋(y3)＝外切求动圆圆心C的轨迹方程．分：题意，动圆圆心点与直线y＝的距相等，故点轨迹是抛物线解法一：设动圆圆心M(x，y)，到直＝3的距为d，则|MC|＝，从而有x＋＋＝－y|，整理得x＝12y.解法二：由题意知，动圆圆心到点C(3,0)到直线＝3的距离相等，故点M的迹是以为点，直线y＝3为线的抛物线，其方程为x＝12y.变(1)已知动圆M与y轴切且与定圆C：＋＝外，求动圆圆心的轨迹方程．分：＝0(x<0)或y＝4ax(x≥0)．(2)已知动圆M与y轴相，且与定圆x＋y＝2ax(a>0)相切，求动圆圆心M的轨方程．分：切时有y0(x<0)或＝4ax(x≥0)；内切时y＝0(x(设计者：姜华)第课时教目知识与技能．掌握定义法求解动点轨迹方程的基本步骤．．加深理解抛物线的定义，并拓展推广抛物线定义．．能够熟练地运用抛物线的方程解决一些问题．．能够将到焦点的问题与到准线的问题进行互相转化，提高学生的转化能力．过程与方法．理解求解轨迹的重要方法——定义法以及其中所体现的数形结合思想．．将折线问题转化为直线问题来解决的化归思想的形成．．运用抛物线方程的相关知识解决实际应用问题．情感、态度与价值观通过经历轨迹方程的求解及定义与方程的深入探求历探求成功的心理体验激发学生主动探究的动机，提高学生对数形结合思想、化归思想、创新思维的热情．重点难点教学重点：抛物线的定义及方程的运用．教学难点：到焦点的距离与到准线距离的转化．教学过程复习引入1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫抛物线的准.2．推导抛物线的标准方程p如图所示，建立直角坐标系，|KF|p(p>0)那么焦点F坐标为，，线2p的方程为x＝－，2设抛物线上的点M(x，y)，则有

ppx－＋＝＋|.22化简方程得y＝2px(p>0)．方程y＝叫抛物线的标准方程．p(1)它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上焦点坐标是F(0)它准线方程是x2p＝－.2(2)一条抛物线，由于它在坐标的位置不同，方程也不同种不同的情况所抛物线的标准方程还有其他几种形式：y＝－，＝，＝－2py.这种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下．3．抛物线的准线方程：如图所，分别建立直角坐标系，设|KF|＝p(p>0)，抛物线的标准方程如下：pp(1)y＝2px(p>0)，点：(，，线lx＝.22pp(2)x＝2py(p>0)，点：(0，，准线ly＝.22pp(3)y＝2px(p>0)，点(－，，准线：x＝22pp(4)x＝2py(p>0)，焦点：(0－)，线：＝.22热身练习1．点M与的离比它直线l＋5＝0的离小1，求点M的迹方程．学情预测：学生可能会由已知，得点于集合P＝{M||MF|＋1＝＋．将MF|用点的坐标表示出来简后就可得到点M的轨方程这种解法的化简过程比较繁琐．引导学生仔细分析题目的条件，“点M点F的离比它到直线l：＋＝的离小1”，就是“点M与F的离于它到直线x＝距离”，由此可知点M的迹是以F为点，直线x＋＝为准的抛物线．解：如图，设点M的标(，．由已知条件可知M与的离等于它到直线x＋＝0距离抛线的定义，点M的迹是以F(4,0)为点抛物线．p∵＝，＝2因为焦点在x轴正半轴上，所以点轨迹方程为y＝16x.设计意图：此题为抛物线定义的灵活应用，加强对抛物线定义的理解与认识．2．说出下列抛物线的焦点坐标准线方程．y＝焦点为准线方程____________________．x＝焦点为______________，准线方程____________________．2y＋＝焦为准线方程____________________．1(4)y＝－x焦为准线方程为___________________．63333解(1)(2,0)x＝－(2)(0,1)y－1(3)(0)，x＝(4)(0，－)y＝882设计意图习知抛物线的标准方程求焦点坐标方程的方法键要确定轴向．3．根据下列条件写出抛物线的准方.焦点是F(－3,0)．准线方程是y＝3.焦点到准线的距离是4，焦点在y轴上．解(1)y＝12x(2)x＝－12y(3)x＝8y或＝8y活动设计以上3个题可让学生先独立思考要时许合作讨论师视指导．讲授新课(一)标准方程的再认识1分求满足下列条件的抛物线标准方程：过点(3，－4)．焦点在直线x－y＋＝上活动设计：学生先独立思考，当然，学生自愿合作讨论的也允许．(1)分：为抛物线的标准方程只含有一个待定系数，所以只需要一个独立的条件即可求出标准方程，而标准方程有四种形式，所以要根据条件选设方程形式．解因为点3，－在第四象限，所以抛物线可能开口向右或向下．故设方程为y＝2px(p>0)或x＝2py(p>0)．169将点(，－4)代入得方程为：y＝x＝－y.34(2)分：为焦点在直线上，而且是标准方程，所以焦也应该在坐标轴上，而直线与坐标轴有两个交点，这两个焦点都可能是焦点．解由题意知直线与坐标轴交(－2,0)和0,2)若抛物线以－2,0)为焦点，则程为y＝－8x.抛物线以(0,2)为焦点，则方程x8y.点：掌握运用待定系数法求抛物线的标准方程题时强调方程形式的选择(2)进一步熟悉抛物线的焦点位置与标准方程之间的关系(3)养学生运用知识解决问题的能力．(二)定义的拓展2抛线y＝上一到焦点的距离为，则这个点的坐标____________．(变式一抛线y＝4x上点横坐标是4则这个点到焦点的距离为____________．(变式二抛线y＝2px上有一A(4m)到准线的距离为，则m＝(变式三抛物线上一点A(－，到点F(n,0)距离为6则抛物线的标准方程为____________________．(变式四已点－1)点P是物线y＝4x上一点则点P到点A的距与点P到物线的准线的距离和的最小值_．设计意图由定义可知抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离者可以用这个点的横坐标或纵坐标单独地表示出来，所以应该围绕这个特点来解决问题．解由题意可知抛物线y＝的线方程为x＝，因为这个点到焦点的距离为3，所以它到准线的距离也是3，而它的横坐标为2将它代入方程得坐标为2，±22)．(变式一答：(变式二m＝±42(变式三由知焦点F(n,0)得焦点在x轴上所以准线方程为x＝－抛物线上一点A(－，m)到焦点F(n,0)的距离为，所以它到准线的距离也等于6，而且点－，m)在y轴左，开口向左，设方程为y＝，－－－＝，＝－所方程应为：y＝－(变式四解如图点P到点的距离与点抛物线焦点距离之和为PA＋PF，故最小值在A、、F三共线时取得此时PA＋＝AF.又A(0，－1)，F(1,0)，以，AF＝0－1＋1－＝2.点：决变式四需注意先判断定点的位置，再进行转化．(三)数学应用3已抛物线形古城门底部宽12，高，建立适当的坐标系，求出它的标准方程．解如图建立直角坐标系，设方程x＝－2py则A(6，6)在抛物线上，即：6＝2px(－∴2p＝故方程为x＝6y.引申：一辆货车宽4m，高4m,问否通过此城门？x12解让货车沿正中央行驶，车宽4m当＝时，＝－＝×2＝663216此时，地面到该点的高度为h＝－＝＞故子可以顺利通过．33研究：若城门为双向行道，那么该货车能否通过呢？x18解让货车靠正中央行驶，车宽4m当＝时，＝－＝×4＝663810此时，地面到该点的高度为h＝－＝＜故子不能顺利通过．33达标检测1．到定点的距离与到定直线的离之比等于log的点轨迹()A．圆B．椭圆C．双曲线D抛物线y2．抛物线x＝－的准线方程()811A．x＝B．＝．＝D．＝3243．抛物线的顶点在原点，对称是x轴，抛物线上一－5,25)到焦的距离是6，则抛物线的标准方程()A．y＝2x．＝－4xC．y＝．＝4x．过点P(－的物线的标准方程_______________．．抛物线的顶点在原