2022-2023学年河南省许平汝名校高二年级上册学期期中考试数学试题【含答案】

2022-2023学年河南省许平汝名校高二上学期期中数学试题一、单选题1．已知向量，，则（

）A． B． C． D．C【分析】根据空间向量的坐标运算公式求解即可.【详解】因为，所以，又，所以．故选：C.2．直线的倾斜角为（

）A．45° B．60° C．90° D．135°D【分析】求出直线方程的斜率，设出倾斜角，列出方程，求出倾斜角.【详解】直线的斜率为，设直线倾斜角为，则，因为，所以.故选：D3．若椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离为6，则P到另一个焦点的距离为（

）A．3 B．4 C．5 D．6B【分析】根据椭圆的定义求解即可.【详解】由椭圆，得，则．因为点P到椭圆一焦点的距离为6，所以由椭圆定义得点P到另一焦点到距离为.故选：B．4．已知圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（

）A． B．C． D．D【分析】先求圆心关于直线直线的对称点，再确定圆的半径，由此可求圆的方程.【详解】圆的圆心为，半径为2，设圆心关于直线直线的对称点的坐标为，则线段的中点为，且.于是，解得，所以点的坐标为，圆的半径与圆的半径相等，故圆关于直线对称的圆的方程为．故选：D.5．若实数k满足，则曲线与曲线（

）A．焦距相等 B．实轴长相等 C．虚轴长相等 D．离心率相等A【分析】根据实数的取值范围，判断两个曲线的类型及焦点位置，然后对四个选项逐一判断即可.【详解】因为，所以，，所以曲线是焦点在轴上的双曲线,曲线是焦点在轴上的双曲线，选项A：曲线与曲线的焦距分别为：，，所以两曲线的焦距相等，故A正确；选项B：曲线与曲线的实轴长分别为：，所以两曲线的实轴长不相等，故B错误；选项C：曲线与曲线的虚轴长分别为：，所以两曲线的虚轴长不相等，故C错误；选项D：曲线与曲线的离心率分别为：，所以两曲线的离心率不相等，故D错误；故选：A.6．直线与曲线有且仅有一个公共点，则实数b的取值范围为（

）A． B．C． D．D【分析】曲线是一个半圆，画出草图，结合图像分类讨论即可.【详解】，，曲线是一个半圆，如图所示：当直线与曲线相切时，可得，解得，由图可知，此时满足直线与曲线有且仅有一个公共点，当直线在两点之间运动时，直线与曲线有且仅有一个公共点，，，综上所述，或．故选：D7．已知四面体的所有棱长都等于2，E是棱AB的中点，F是棱CD靠近C的四等分点，则等于（

）A． B． C． D．D【分析】由空间向量的线性运算可得，结合数量积的运算性质和定义求.【详解】因为E是棱AB的中点，F是棱CD靠近C的四等分点，所以，，因为，，，所以．故选：D.8．若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（

）A． B． C． D．A【分析】根据数量积的坐标表示求出的表达式，结合椭圆方程和椭圆上的点的坐标的范围求其最值即可.【详解】因为点F为椭圆的左焦点，所以，设点的坐标为，则∵P为椭圆上一点，∴，∴，因为，对称轴为，故当时取得最大值．故选：A.二、多选题9．下列说法正确的是（

）A．已知直线与直线垂直，则实数a的值是B．直线必过定点C．直线在y轴上的截距为D．经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为BC【分析】根据直线垂直关系列方程求，判断选项A；将直线方程化为点斜式即可判断选项B；根据截距的定义判断选项C，根据条件求出满足要求的直线方程，判断选项D.【详解】解：对A：因为直线与直线垂直，则，解得或，A不正确；对B：直线可变为，因此直线必过定点，即B正确；对C：由直线方程取，得，所以直线在y轴上的截距为，所以C正确．对D：经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为或，所以D不正确；故选：BC．10．设圆，点，若圆O上存在两点到A的距离为2，则r可能取值为（

）A．9 B．10 C．11 D．12ABC【分析】将问题转化为以为圆心，2为半径的圆与圆相交问题，再根据圆与圆的位置关系求解即可得答案【详解】根据题意设以为圆心，2为半径的圆为圆，由圆可得圆心为，半径为r，则两圆圆心距为：，因为圆O上存在两点到的距离为2，所以圆O与圆相交，所以，解得：，又，所以r的可能取值为9，10，11，故选：ABC11．已知平面过点，其法向量，则下列点不在平面内的是（

）A． B． C． D．CD【分析】根据平面的法向量与平面内的向量的数量积关系逐项检验即可.【详解】A．，，，S在平面内；B．，，，Q在平面内；C．，，，R不在平面内；D．，，，T不在平面内；故选：CD．12．已知，是双曲线的左、右焦点，过作倾斜角为的直线分别交y轴、双曲线右支于点M、点P，且，下列判断正确的是（

）A． B．E的离心率等于C．的内切圆半径是 D．双曲线渐近线的方程为AB【分析】由几何关系得轴，再由离心率，渐近线的概念对选项逐一判断，【详解】因为M，O分别是，的中点，所以在中，，所以轴，对于A，因为直线的倾斜角为，所以，故A正确，对于B，中，，，，所以，得：，故B正确，对于C，的周长为，设内切圆半径为r，根据三角形的等面积法，有，得：，故C错误，对于D，，双曲线渐近线的方程为，故D错误，故选：AB三、填空题13．正方体中，M、N分别是、的中点，则直线与MN所成角的余弦值为______．0【分析】设正方体的棱长为2，建立空间直角坐标系，求直线与MN的方向向量，利用向量夹角公式求两向量的夹角余弦值，即可得到答案．【详解】解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系；设棱长为2，则，，，，，∴，即，异面直线与MN所成的角的余弦值为0．故0.14．圆与圆的交点为A，B，则弦AB的长为______．【分析】先求出两圆的公共弦方程，观察发现的圆心在公共弦上，从而得到弦AB的长为圆的直径，求出公共弦长.【详解】圆与圆联立可得：公共弦的方程为，变形为，故的圆心为，半径为，而满足，故弦AB的长为圆的直径，故弦AB的长为．故答案为.15．已知椭圆的离心率为，直线l与椭圆C交于A，B两点，直线与直线l的交点恰好为线段AB的中点，则直线l的斜率为______．0.5【分析】由椭圆的离心率为可得，再利用点差法求直线l的斜率.【详解】由题意可得，整理可得．设，，则，，两式相减可得．因为直线与直线l的交点恰好为线段AB的中点，所以，则直线l的斜率．故答案为.四、双空题16．已知F为椭圆的左焦点，直线与椭圆C交于A，B两点，M为椭圆上的任一点，则______；若轴，垂足为E，BE与椭圆C的另一个交点为P，的余弦值为______．

0【分析】设出，，，表达出，结合点M，A在椭圆上，满足椭圆方程，化简后求出；表达出，结合，化简得到，求出，得到余弦值.【详解】设，，则，，因为点M，A在椭圆上，，，两式相减得，，故．由题意得，，因为，，而，因为为椭圆上一点，所以，则，得，故，则，，故余弦值为0．故，0五、解答题17．已知的顶点，，．求：(1)AB边所在直线的方程；(2)的面积．(1)；(2).【分析】（1）先求出直线的斜率，再利用点斜式写出直线的方程；（2）先利用公式求点到直线的距离和，再利用三角形面积公式求的面积．.【详解】（1）因为，，所以，所以AB边所在直线的方程为：，即（2）因为，，所以，由(1)直线AB的方程为，又点的坐标为，所以点C到直线AB的距离，所以的面积为.18．已知，分别为椭圆的左、右焦点，P是椭圆上一点，当轴时，．(1)求椭圆的方程；(2)当，求的面积．(1)(2)【分析】(1)由条件列方程求，由此可得椭圆方程；(2)根据椭圆的定义和余弦定理列等式，化简可求，再由三角形面积公式求的面积.【详解】（1）由知，，因为轴时，可得点的坐标为或，因为点在椭圆上，所以，又，所以所以，所以椭圆的方程为；（2）设，，，又，所以，所以，所以，所以的面积为.19．已知圆C过点，，且圆心C在直线上．(1)求圆C的方程；(2)判断直线与圆C的位置关系；若相交，求直线l被圆C截得的弦长．(1)(2)相交，【分析】（1）根据圆的弦中点与圆心连线与弦垂直，可写出过线段AB的垂直平分线方程，与联立即可求出圆心坐标；再根据圆心到圆上一点的距离既是半径求出圆的半径；（2）根据点到直线距离公式计算出圆心到直线的距离，然后根据直线与圆相交的条件判断即可，再利用弦长公式即可算出弦长.【详解】（1），，所以，线段AB的中点为所以线段AB的垂直平分线方程为，有因为圆心C在直线上，联立解得，，所以圆心坐标，又半径为，∴圆C的方程为：（2）由（1）知：圆C的标准方程为：，圆心，半径；点到直线的距离，故直线l与圆C相交，故直线l被圆C截得的弦长为20．如图，在棱长为3的正方体中，点P，Q，R分别在AB，，上，且，．(1)求直线与平面所成角的正弦值；(2)证明：平面．(1)(2)证明见解析【分析】（1）建立空间直角坐标系，进而求出平面的法向量和直线的方向向量，利用向量夹角公式求两向量的夹角余弦由此可得直线与平面所成角的正弦值；（2）根据空间向量共面定理即可证明问题.【详解】（1）以D为坐标原点，，，分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，，，设平面PQR的法向量为，则，令，则，设直线与平面成的角为，（2）假设存在使得，又，则，即，所以，故存在，使得，∴平面.21．如图，在正三棱柱中，，D为AB上一点．(1)确定D的位置使平面；(2)对于（1）中D的位置，求平面与平面夹角的余弦值．(1)证明见解析(2)【分析】(1)建立空间直角坐标系，设并求出直线的方向向量和平面的法向量，由条件平面列方程求，由此确定D的位置；(2)求平面的法向量，根据向量夹角公式可求平面与平面的法向量的夹角的余弦值，由此可得结论．【详解】（1）以A为原点，平面ABC内过A且垂直AC的直线为x轴，AC所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设，则，，，，，设，，，，，，设平面的法向量为，则，即，令，则，，∴因为平面，所以，即，解得，所以D为AB的中点时满足平面．（2）因为平面的法向量为，平面的法向量为，所以，∴平面与平面夹角的余弦值为．22．已知椭圆的左右焦点，分别是双曲线的左右顶点，且椭圆的上顶点到双曲线的渐近线的距离为．(1)求椭圆的方程；(2)设P是第一象限内上的一点，、的延长线分别交于点、，设、分别为、的内切圆半径，求的最大值．(1)(2)【分析】（1）求出双曲线的顶点和渐近线，从而求出，，得到，求出椭圆方程；（2）设，，，得到直线的方程为：，与椭圆方程联立后得到，同理求出当时，，根据、的面积表达出，利用基本不等式求出，的最大值，再考虑轴时，，从而得到答案.【详解】（1）椭圆的左右焦点分别为，，而双曲线的顶点分别为，，所以．又椭圆上顶点