高一数学：《2-1 等式性质与不等式性质》课时分层作业

课时分层作业(九)等式性质与不等式性质(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．已知：a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的是()A．若a＞b，c＞b，则a＞cB．若a＞－b，则c－a＜c＋bC．若a＞b，c＜d，则eq\f(a,c)＞eq\f(b,d)D．若a2＞b2，则－a＜－bB[选项A，若a＝4，b＝2，c＝5，显然不成立，选项C不满足倒数不等式的条件，如a＞b＞0，c＜0＜d时，不成立；选项D只有a＞b＞0时才可以．否则如a＝－1，b＝0时不成立，故选B.]2．设a>1>b>－1，则下列不等式中恒成立的是()A.eq\f(1,a)<eq\f(1,b) B.eq\f(1,a)>eq\f(1,b)C．a2>2b D．a>b2D[A错，例如a＝2，b＝－eq\f(1,2)时，eq\f(1,a)＝eq\f(1,2)，eq\f(1,b)＝－2，此时，eq\f(1,a)>eq\f(1,b)；B错，例如a＝2，b＝eq\f(1,2)时，eq\f(1,a)＝eq\f(1,2)，eq\f(1,b)＝2，此时，eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；C错，例如a＝eq\f(5,4)，b＝eq\f(15,16)时，a2＝eq\f(25,16)，2b＝eq\f(30,16)，此时a2<2b；由a>1，b2<1得a>b2，故D正确．]3．已知a>b，则下列不等式：①a2>b2；②eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；③eq\f(1,a－b)>eq\f(1,a).其中不成立的个数是()A．0B．1C．D[虽然已知a>b，但并不知道a、b的正负，如有2>－3，但22<(－3)2，故①错；2>－3⇒eq\f(1,2)>－eq\f(1,3)，②错；若有a＝1，b＝－2，则eq\f(1,a－b)＝eq\f(1,3)，eq\f(1,a)＝1，故③错．]4．若abcd<0，且a>0，b>c，d<0，则()A．b<0，c<0 B．b>0，c>0C．b>0，c<0 D．0<c<b或c<b<0D[由a>0，d<0，且abcd<0，知bc>0，又∵b>c，∴0<c<b或c<b<0.]5．若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是()A.eq\f(1,a)＜eq\f(1,b) B．a2＞b2C.eq\f(a,c2＋1)＞eq\f(b,c2＋1) D．a|c|＞b|c|C[对A，若a＞0＞b，则eq\f(1,a)＞0，eq\f(1,b)＜0，此时eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，∴A不成立；对B，若a＝1，b＝－2，则a2＜b2，∴B不成立；对C，∵c2＋1≥1，且a＞b，∴eq\f(a,c2＋1)＞eq\f(b,c2＋1)恒成立，∴C正确；对D，当c＝0时，a|c|＝b|c|，∴D不成立．]二、填空题6．给出以下四个命题：①a＞b⇒an＞bn(n∈N*)；②a＞|b|⇒an＞bn(n∈N*)；③a＜b＜0⇒eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)；④a＜b＜0⇒eq\f(1,a－b)＞eq\f(1,a).其中真命题的序号是________．②③[①中取a＝－1，b＝－2，n＝2，不成立；②a＞|b|，得a＞0，∴an＞bn成立；③a＜b＜0，得eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)成立；④a＜b＜0，得a－b＜0，且a－b＞a，故eq\f(1,a－b)＜eq\f(1,a)，④不成立．]7．设x＞1，－1＜y＜0，试将x，y，－y按从小到大的顺序排列如下：________.y＜－y＜x[∵－1＜y＜0，∴0＜－y＜1，∴y＜－y，又x＞1，∴y＜－y＜x.]8．若8<x<10,2<y<4，则eq\f(x,y)的取值范围是________．2<eq\f(x,y)<5[∵2<y<4，∴eq\f(1,4)<eq\f(1,y)<eq\f(1,2).∵8<x<10，∴2<eq\f(x,y)<5.]三、解答题9．(1)a<b<0，求证：eq\f(b,a)<eq\f(a,b)；(2)已知a>b，eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，求证：ab>0.[证明](1)由于eq\f(b,a)－eq\f(a,b)＝eq\f(b2－a2,ab)＝eq\f(b＋ab－a,ab)，∵a<b<0，∴b＋a<0，b－a>0，ab>0，∴eq\f(b＋ab－a,ab)<0，故eq\f(b,a)<eq\f(a,b).(2)∵eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，∴eq\f(1,a)－eq\f(1,b)<0，即eq\f(b－a,ab)<0，而a>b，∴b－a<0，∴ab>0.10．已知：3＜a＋b＜4,0＜b＜1，求下列各式的取值范围．(1)a；(2)a－b；(3)eq\f(a,b).[解](1)∵3＜a＋b＜4，又∵0＜b＜1，∴－1＜－b＜0，∴2＜a＋b＋(－b)＜4，即2＜a＜4.(2)∵0＜b＜1，∴－1＜－b＜0.又∵2＜a＜4，∴1＜a－b＜4.(3)∵0＜b＜1，∴eq\f(1,b)＞1，又∵2＜a＜4，∴eq\f(a,b)＞2.[等级过关练]1．a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，下列不等式恒成立的是()A．ac＞bc B．ab＞acC．a|b|＞c|b| D．a2＞b2＞c2B[∵a＋b＋c＝0且a＞b＞c，∴a＞0，c＜0，∴A不正确．对于B，ab＞ac⇔a(b－c)＞0又b－c＞0，a＞0，故B正确；由于|b|有可能为0，故C不正确，若a＝2，b＝1，c＝－3，显然a＋b＋c＝0，但a2＞b2且b2＜c2，故D不正确．]2．若α，β满足－eq\f(π,2)＜α＜β＜eq\f(π,2)，则2α－β的取值范围是()A．－π＜2α－β＜0 B．－π＜2α－β＜πC．－eq\f(3π,2)＜2α－β＜eq\f(π,2) D．0＜2α－β＜πC[∵－eq\f(π,2)＜α＜eq\f(π,2)，∴－π＜2α＜π.∵－eq\f(π,2)＜β＜eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,2)＜－β＜eq\f(π,2)，∴－eq\f(3π,2)＜2α－β＜eq\f(3π,2).又α－β＜0，α＜eq\f(π,2)，∴2α－β＜eq\f(π,2).故－eq\f(3π,2)＜2α－β＜eq\f(π,2).]3．已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，则z＝2x－3y的取值范围是________．3≤z≤8[∵z＝－eq\f(1,2)(x＋y)＋eq\f(5,2)(x－y)，－2≤－eq\f(1,2)(x＋y)≤eq\f(1,2)，5≤eq\f(5,2)(x－y)≤eq\f(15,2)，∴3≤－eq\f(1,2)(x＋y)＋eq\f(5,2)(x－y)≤8，∴3≤z≤8.]4．设a，b为正实数，有下列命题：①若a2－b2＝1，则a－b<1；②若eq\f(1,b)－eq\f(1,a)＝1，则a－b<1；③若|eq\r(a)－eq\r(b)|＝1，则|a－b|<1；④若|a3－b3|＝1，则|a－b|<1.其中正确的命题为________(写出所有正确命题的序号)．①④[对于①，由题意a，b为正实数，则a2－b2＝1⇒a－b＝eq\f(1,a＋b)⇒a－b>0⇒a>b>0，故a＋b>a－b>0.若a－b≥1，则eq\f(1,a＋b)≥1⇒a＋b≤1≤a－b，这与a＋b>a－b>0矛盾，故a－b<1成立．对于②，取特殊值，a＝3，b＝eq\f(3,4)，则a－b>1.对于③，取特殊值，a＝9，b＝4时，|a－b|>1.对于④，∵|a3－b3|＝1，a>0，b>0，∴a≠b，不妨设a>b>0.∴a2＋ab＋b2>a2－2ab＋b2>0，∴(a－b)(a2＋ab＋b2)>(a－b)(a－b)2.即a3－b3>(a－b)3>0，∴1＝|a3－b3|>(a－b)3>0，∴0<a－b<1，即|a－b|<1.因此正确．]5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c满足以下条件．(1)该函数图象过原点；(2)当x＝－1时，y的取值范围为大于等于1且小于等于2；(3)当x＝1时，y的取值范围为大于等于3且小于等于4；求当x＝－2时，y的取值范围．[解]∵二次函数y＝ax2＋bx＋c图象过原点，∴c＝0，∴y＝ax2＋bx.又∵当x＝－1时，1≤a－b≤2.①当x＝1时，3≤a＋b≤4，②∴当x＝－2时，y＝4a－2b设存在实数m，n，使得4a－