复合函数求导高阶导数

一般的可分解为课前复习复合函数可分解为?令则所以复合函数可分解为：复合函数求导高阶导数共22页，您现在浏览的是第1页!一、复合函数的求导法则1、引例(1)求的导数猜已知，则解：因为

,则解1是错误的。是复合函数。直接套用基本初等函数求导公式求复合函数的导数是不行的。复合函数求导高阶导数共22页，您现在浏览的是第2页!2、法则定理3.7

设

关于

可导，关于

可导，则由，复合而成的

关于

可导，且有求的导数，如：于是链式法则令，

复合函数求导高阶导数共22页，您现在浏览的是第3页!解：设

则

例3

求函数

的导数

因为

所以

复合函数求导高阶导数共22页，您现在浏览的是第4页!例4

求的导数

解通过这道题你有什么体会？复合函数求导高阶导数共22页，您现在浏览的是第5页!例5.设求解:思考:若存在,如何求的导数?这两个记号含义不同练习:设机动目录上页下页返回结束复合函数求导高阶导数共22页，您现在浏览的是第6页!练习求下列函数的导数解：解复合函数求导高阶导数共22页，您现在浏览的是第7页!二、高阶导数的运算法则第三节一、高阶导数的概念机动目录上页下页返回结束高阶导数第二章复合函数求导高阶导数共22页，您现在浏览的是第8页!定义.若函数的导数可导,或即或类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,阶导数的导数称为n阶导数,或的二阶导数,记作的导数为依次类推,分别记作则称机动目录上页下页返回结束复合函数求导高阶导数共22页，您现在浏览的是第9页!例2.

设求解:特别有:解:规定0!=1思考:例3.设求机动目录上页下页返回结束复合函数求导高阶导数共22页，您现在浏览的是第10页!二、高阶导数的运算法则都有n阶导数,则(C为常数)莱布尼兹(Leibniz)公式及设函数推导目录上页下页返回结束复合函数求导高阶导数共22页，您现在浏览的是第11页!例7.求解:设则代入莱布尼兹公式,得机动目录上页下页返回结束复合函数求导高阶导数共22页，您现在浏览的是第12页!例1

求的导数解：设

例2

求函数

的导数解：设

因为所以

则

复合函数求导高阶导数共22页，您现在浏览的是第13页!练习

1、求函数的导数

解：设因为

所以练习

2、求函数的导数

解：复合函数求导高阶导数共22页，您现在浏览的是第14页!

熟悉了复合函数的求导法则后，中间变量默记在心，由外向内、由表及里逐层求导。

例6求的导数解：

y'=[(cosx)2]'=2cosx=2cosx

(-sinx)例7

求的导数解:

(cosx)

'复合函数求导高阶导数共22页，您现在浏览的是第15页!例8求的导数。解这一步可省略。求函数的导数。例9复合函数求导高阶导数共22页，您现在浏览的是第16页!例10

求曲线在点处的切线方程。解曲线在点处的切线斜率，且因为

所以

这样所求切线方程为

即

复合函数求导高阶导数共22页，您现在浏览的是第17页!一、高阶导数的概念速度即加速度即引例：变速直线运动机动目录上页下页返回结束复合函数求导高阶导数共22页，您现在浏览的是第18页!设求解:依次类推,例1.思考:设问可得机动目录上页下页返回结束复合函数求导高阶导数共22页，您现在浏览的是第19页!例4.

设求解:一般地,类似可证:机动目录上页下页返回结束复合函数求导高阶导数共22页，您现在浏览的是第20页!用数学归纳法可证莱布尼兹公式成立.机动目录上页下页返回结束复合函数求导高阶导数共22页，您现在浏览的是第21页!