2020高中数学 第1章 集合与常用逻辑术语 单元质量测评 第一册

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE14-学必求其心得，业必贵于专精第1章集合与常用逻辑术语单元质量测评本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题）两部分．满分150分,考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1．下列语句是命题的是（）A．2x2＋3x－1〉0 B．比较两数大小C．撸起袖子加油干！ D．cos45°＝eq\f(\r(2),2)答案D解析A项不能判断真假，不是命题；B，C两项不是陈述句，不是命题；D项是命题．2．下面所给三个命题中真命题的个数是()①若ac2〉bc2,则a〉b；②若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；③若二次函数y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac〈0，则该二次函数的图象与x轴有公共点．A．0 B．1C．2 D．3答案C解析①该命题为真命题，由ac2〉bc2,得c2>0，则有a>b。②该命题为真命题，根据圆内接四边形的定义可进行判定．③该命题为假命题,因为当b2－4ac<0时,一元二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，因此二次函数的图象与x轴无公共点．综上所述，故选C.3．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0"的否定是（）A．∀x∈R，|x|＋x2<0B．∀x∈R，｜x｜＋x2≤0C．∃x∈R,|x|＋x2〈0D．∃x∈R，｜x｜＋x2≥0答案C解析“∀x∈R，|x｜＋x2≥0”的否定是“∃x∈R,｜x|＋x2<0”．4．已知x1，x2∈R，则“x1〉1且x2>1"是“x1＋x2>2且x1x2>1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析由x1＞1且x2＞1得x1＋x2＞1＋1＝2，x1x2＞1×1＝1,所以“x1＞1且x2＞1"是“x1＋x2＞2且x1x2＞1”的充分条件；设x1＝3，x2＝eq\f（1,2），则x1＋x2＝eq\f（7,2)＞2且x1x2＝eq\f(3,2)＞1，但x2＜1，所以不满足必要性．故选A。5．下列命题中，真命题有（）①mx2＋2x－1＝0是关于x的一元二次方程；②抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何集合的真子集．A．1个 B．2个C．3个 D．4个答案A解析对于①来说，当m＝0时，mx2＋2x－1＝0是一元一次方程；对于②来说,抛物线y＝ax2＋2x－1对应的一元二次方程的判别式Δ＝4＋4a，当a<－1时，方程无实数根,此时抛物线与x轴无交点；③正确，A⊆B，B⊆A⇔A＝B;空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集，故④错误．6．“a2＋(b－1）2＝0”是“a(b－1）＝0”的(）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析a2＋(b－1）2＝0⇒a＝0且b＝1，而a(b－1）＝0⇒a＝0或b＝1，故“a2＋(b－1）2＝0”是“a(b－1)＝0”的充分不必要条件．7．已知集合A＝｛1,2，3,4，5｝，B＝｛(x,y）|x∈A,y∈A，x－y∈A｝，则B中所含元素的个数为()A．3 B．6C．8 D．10答案D解析当x＝5时，y＝1，2,3，4;当x＝4时，y＝1,2,3;当x＝3时,y＝1，2;当x＝2时，y＝1,共10个．故选D.8．在下列命题中，真命题的个数是(）①∀x∈R，x2＋x＋3〉0；②∀x∈Q，eq\f(1，3)x2＋1是有理数；③关于x的方程x2＋｜x｜－6＝0有四个实数根；④∃x，y∈Z，3x－2y＝10。A．1 B．2C．3 D．4答案C解析①中,x2＋x＋3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)））2＋eq\f(11,4)>0，故①是真命题;②中,∵x∈Q，∴eq\f(1,3）x2＋1是有理数,故②是真命题;③中，由x2＋|x｜－6＝0，得｜x|＝2，∴x＝±2，方程有两个实数根，故③是假命题；④中，当x＝4，y＝1时，结论成立，故④是真命题．由以上可知，正确选项为C.9．给出下列四个命题:①设集合X＝{x|x>－1},则｛0}∈X;②空集是任何集合的真子集；③集合A＝｛y|y＝eq\r(x2－1)｝，B＝｛x｜y＝eq\r（x2－1)}表示同一集合；④集合P＝{a，b｝,集合Q＝{b，a},则P＝Q.其中正确的命题是(）A．①② B．①③C．③④ D．④答案D解析①中{0｝与X均表示集合，不能用∈来表示集合与集合之间的关系,①不正确；②中空集是任何非空集合的真子集，②不正确；③中A＝{y|y≥0｝，B＝{x|x≥1或x≤－1},故不是同一集合，③不正确；④中根据集合中元素的无序性知④正确．故选D。10．下列命题中，是全称量词命题且是真命题的是(）A．对任意的a,b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0B．菱形的两条对角线相等C．∀x∈R，eq\r（x2)＝xD．正方形是矩形答案D解析A中的命题是全称量词命题，但a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋（b－1)2≥0，故是假命题；B中的命题是全称量词命题，但是假命题;C中的命题是全称量词命题,但eq\r(x2）＝|x｜，故是假命题；D中的命题是全称量词命题且是真命题，故选D。11．设U为全集,A,B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC"是“A∩B＝∅"的（）A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件答案C解析若存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC，则可以推出A∩B＝∅；若A∩B＝∅，由Venn图可知，存在A＝C，同时满足A⊆C，B⊆∁UC。故“存在集合C使得A⊆C,B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的充要条件．12．已知△ABC的边长为a，b，c，定义它的等腰判别式为D＝max｛a－b,b－c,c－a}＋min{a－b，b－c，c－a｝,则“D＝0”是“△ABC为等腰三角形”的（)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析充分性：若“D＝0"，设c≥b≥a，则D＝max{a－b，b－c，c－a}＋min{a－b,b－c,c－a｝＝c－a＋b－c＝0或c－a＋a－b＝0，∴a＝b或b＝c，则△ABC一定为等腰三角形,所以充分性成立．必要性:若△ABC为等腰三角形，设a＝b，当c≠a时，则b－c与c－a中必然有一个为最大值，另一个为最小值，则D＝b－c＋c－a＝b－a＝0；当c＝a时，D＝0＋0＝0，所以必要性成立．故选C。第Ⅱ卷(非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分．将答案填在题中的横线上)13．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．"这是唐代诗人王维的《相思》诗,在这四句诗中，可作为命题的是________________．答案红豆生南国解析“红豆生南国”是陈述句，意思是“红豆生长在中国南方”，这在唐代是事实，故本语句是命题，且是真命题；“春来发几枝"是疑问句,“愿君多采撷"是祈使句，“此物最相思”是感叹句,都不是命题．14．设x∈R,则“x〉1”是“x3〉1”的________条件．答案充要解析因为x∈R，“x>1”⇔“x3>1”，所以“x>1”是“x3〉1”的充要条件．15．命题p:∀x∈R,x2＋x＋1≠0，则命题綈p为________________．答案∃x∈R,x2＋x＋1＝0解析命题p是全称量词命题，根据全称量词命题的否定是改量词,否结论，则是∃x∈R，x2＋x＋1＝0。16．由命题“∃x∈R，x2＋2x＋m＝0”是假命题，求得实数m的取值范围是m>a，则实数a＝________。答案1解析因为命题“∃x∈R，x2＋2x＋m＝0”是假命题，所以其否定“∀x∈R，x2＋2x＋m≠0”是真命题，等价于方程x2＋2x＋m＝0无实根，所以Δ＝4－4m〈0，解得m〉1，又因为m的取值范围是(a,＋∞)，所以实数a＝1。三、解答题（本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．（本小题满分10分)写出下列命题的否定,并判断真假．(1)p1：∃x∈R，x2－x＋1≤0；(2）p2：所有的菱形都是平行四边形；（3）p3：有的梯形是等腰梯形;（4)p4:任意x∈Z，x2的个位数字不等于3;（5）p5:有一个素数含三个正因数．解(1)綈p1：∀x∈R，x2－x＋1〉0；真命题．(2）綈p2:存在一个菱形，它不是平行四边形；假命题．(3)綈p3：所有的梯形都不是等腰梯形；假命题．(4)綈p4：存在x∈Z，使x2的个位数字等于3；假命题．(5）綈p5：所有的素数都不含三个正因数；真命题．18．(本小题满分12分)已知集合A＝{x｜－2≤x≤5｝，B＝｛x｜m＋1≤x≤2m－1｝，且B≠∅.(1）若“命题p：∀x∈B,x∈A”是真命题，求m的取值范围;（2）若“命题q:∃x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围．解（1)∵A＝｛x｜－2≤x≤5}，B＝｛x|m＋1≤x≤2m－1｝，且B≠∅，“命题p：∀x∈B，x∈A"是真命题，∴B⊆A，B≠∅,∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≤2m－1,,m＋1≥－2，，2m－1≤5,)）解得2≤m≤3.(2）q为真,则A∩B≠∅。∵B≠∅，∴m≥2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（－2≤m＋1≤5，,m≥2，）)∴2≤m≤4。19．（本小题满分12分）已知集合A＝{x｜－1〈x<3｝，B＝｛x｜x≤m－1或x≥m＋1}．（1）当m＝0时,求A∩B；(2）若p:－1<x〈3，q：x≤m－1或x≥m＋1，且q是p的必要不充分条件,求实数m的取值范围．解(1）当m＝0时,B＝{x｜x≤－1或x≥1}，又A＝｛x｜－1〈x〈3｝，所以A∩B＝{x|1≤x<3｝．（2）因为p：－1〈x<3，q:x≤m－1或x≥m＋1。q是p的必要不充分条件，所以m－1≥3或m＋1≤－1，所以m≤－2或m≥4.20．（本小题满分12分)求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0的实数根中有且只有一个负实数根的充要条件．解若方程ax2＋2x＋1＝0有且仅有一个负实数根,则:当a＝0时，x＝－eq\f(1，2），符合题意．当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0有实数根,则Δ＝4－4a≥0,解得a≤1，当a＝1时，方程有且仅有一个负实数根x＝－1，当a〈1且a≠0时,若方程有且仅有一个负实数根，则eq\f(1,a)〈0，即a〈0。又以上过程均可逆，所以方程ax2＋2x＋1＝0有且仅有一个负实数根”的充要条件为“a≤0或a＝1”．21．（本小题满分12分)设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°。证明必要性：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根ξ，则eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（ξ2＋2aξ＋b2＝0，,ξ2＋2cξ－b2＝0)）⇒ξ＝eq\f（－b2，a－c）＝eq\f（b2,c－a)。∴eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(b2，c－a)））2＋2c·eq\f(b2,c－a)－b2＝0⇒a2＝b2＋c2，∴∠A＝90°。充分性:若∠A＝90°，则a2＝b2＋c2，解方程x2＋2ax＋b2＝0得x＝eq\f（－2a±\r（4a2－4b2）,2）＝－a±c，解方程x2＋2cx－b2＝0得x＝eq\f（－2c±\r（4c2＋4b2）,2)＝－c±a，得x0＝－a－c是方程的公共根．综上可知,方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.22．(本小题满分12分)已知两个关于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0和x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，其中m∈Z，求这两个方程的根均为整数的充要条件．解∵mx2－4x＋4＝0是一元二次方程,∴m≠0.又另一方程为x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，且两方程都有实根,∴eq\b\lc\｛\rc\