2020高中数学 22 圆与圆的位置关系（含解析）苏教版2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE9-学必求其心得，业必贵于专精课时分层作业（二十二)（建议用时：60分钟)［合格基础练］一、选择题1．两圆x2＋y2＝r2，(x－3）2＋(y＋1）2＝r2外切，则正实数r的值是()A。eq\r（10)B.eq\f(\r(10），2)C。eq\r（5） D．5B[由题意知2r＝eq\r（32＋12)＝eq\r(10)，r＝eq\f（\r(10），2).］2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A,B两点,则AB的垂直平分线的方程是()A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0C[AB的垂直平分线过两圆的圆心,把圆心代入，验证知选C.］3．点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上,则|PQ｜的最小值是(）A．5 B．1C．3eq\r（5)－5 D．3eq\r(5)＋5C［圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0，即(x－4）2＋(y－2)2＝9，圆心为C1(4，2）；圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0，即（x＋2)2＋(y＋1)2＝4，圆心为C2(－2，－1），两圆相离，|PQ｜的最小值为|C1C2|－(r1＋r2）＝3eq\r(5）－5。］4．已知两圆分别为圆C1:x2＋y2＝81和圆C2:x2＋y2－6x－8y＋9＝0，这两圆的位置关系是()A．内切 B．相交C．相离 D．外切A[圆C1的圆心为C1(0，0),半径长r1＝9；圆C2的方程化为标准形式为（x－3)2＋（y－4)2＝42,圆心为C2（3，4),半径长r2＝4,所以|C1C2｜＝eq\r（(3－0）2＋（4－0)2）＝5。因为r1－r2＝5,所以|C1C2｜＝r1－r2，所以圆C1和C2内切．］5．若圆x2＋y2＝r2与圆x2＋y2＋2x－4y＋4＝0有公共点,则r满足的条件是（)A．r〈eq\r（5)＋1 B．r>eq\r(5)＋1C．｜r－eq\r（5）|〈1 D．｜r－eq\r（5）|≤1D［由x2＋y2＋2x－4y＋4＝0,得(x＋1)2＋（y－2)2＝1，两圆圆心之间的距离为eq\r(（－1）2＋22）＝eq\r(5）。∵两圆有公共点，∴|r－1|≤eq\r(5)≤r＋1，∴eq\r（5)－1≤r≤eq\r（5）＋1，即－1≤r－eq\r（5)≤1，∴|r－eq\r（5）｜≤1。]二、填空题6．两圆相交于点A（1,3），B(m,－1)，两圆的圆心均在直线l：x－y＋c＝0上，则m＋c＝________．3［由题意可知，AB⊥l，由于kl＝1，故kAB＝－1，即eq\f（3＋1，1－m)＝－1，解得m＝5.又AB的中点在直线l上,故3－1＋c＝0,解得c＝－2，所以m＋c＝5－2＝3。］7．已知半径为1的动圆与圆（x－5)2＋（y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是________________．（x－5)2＋（y＋7)2＝25或（x－5）2＋（y＋7）2＝9［动圆圆心的轨迹是以已知圆的圆心（5,－7)为圆心，以3或5为半径的圆．］8．过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l:2x＋4y－1＝0上的圆的方程为______________________．x2＋y2－3x＋y－1＝0[设所求圆的方程为x2＋y2－4x＋2y＋λ(x2＋y2－2y－4）＝0，则（1＋λ)x2－4x＋(1＋λ)y2＋（2－2λ)y－4λ＝0，把圆心坐标eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（2,1＋λ),\f（λ－1，1＋λ）))代入直线l的方程：2x＋4y－1＝0,可得λ＝eq\f（1，3),故所求圆的方程为x2＋y2－3x＋y－1＝0.］三、解答题9．圆C的半径为3，圆心C在直线2x＋y＝0上且在x轴的下方，x轴被圆C截得的弦长BD为2eq\r(5)。(1）求圆C的方程；(2）若圆E与圆C关于直线2x－4y＋5＝0对称，试判断两圆的位置关系．［解]（1)设圆心坐标为C（a，－2a)，则圆的方程为(x－a)2＋（y＋2a）2作CA⊥x轴于点A,在Rt△ABC中,CB＝3,AB＝eq\r（5)，∴CA＝2，所以|－2a｜＝2⇒a＝±1又因为点C在x轴的下方，所以a＝1，即C（1，－2)，所以圆的方程为：（x－1)2＋(y＋2）2＝9.（2)点C（1，－2)到直线的距离为d＝eq\f（|Ax0＋By0＋C|，\r(A2＋B2）)＝eq\f（|2＋8＋5|，\r(4＋16)）＝eq\f（3\r(5),2)＞3，所以圆C与直线2x－4y＋5＝0相离．而圆E与圆C关于直线2x－4y＋5＝0对称，所以圆E与直线2x－4y＋5＝0也相离，故两圆相离．10．已知圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0。(1)求证:圆C1和圆C2相交；(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．[解］(1)证明：圆C1的圆心C1(1，3),半径r1＝eq\r(11）,圆C2的圆心C2（5，6），半径r2＝4，两圆圆心距d＝｜C1C2｜＝5,r1＋r2＝eq\r（11)＋4，｜r1－r2|＝4－eq\r(11），∴|r1－r2｜〈d〈r1＋r2，∴圆C1和C2相交．（2)圆C1和圆C2的方程相减,得4x＋3y－23＝0,∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0.圆心C2（5，6）到直线4x＋3y－23＝0的距离d＝eq\f(｜20＋18－23｜,\r(16＋9)）＝3，故公共弦长为2eq\r(16－9）＝2eq\r(7)。［等级过关练]1．圆O1：x2＋y2－6x＋16y－48＝0与圆O2：x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切线条数为()A．4条 B．3条C．2条 D．1条C［圆O1为(x－3）2＋（y＋8)2＝121，O1（3，－8)，r＝11，圆O2为(x＋2)2＋（y－4)2＝64，O2(－2,4）,R＝8，∴|O1O2｜＝eq\r（(3＋2）2＋(－8－4）2）＝13,∴r－R〈｜O1O2｜<R＋r，∴两圆相交．∴公切线有2条．]2．圆（x＋2)2＋y2＝5关于直线x－y＋1＝0对称的圆的方程为(）A．（x－2)2＋y2＝5B．x2＋（y－2)2＝5C．(x－1)2＋（y－1）2＝5D．(x＋1）2＋（y＋1)2＝5D[由圆(x＋2）2＋y2＝5，可知其圆心为(－2,0)，半径为eq\r(5)。设点(－2，0）关于直线x－y＋1＝0对称的点为（x，y)，则eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（\f(y－0,x＋2)＝－1，，\f（x－2,2)－\f（y＋0,2)＋1＝0,）)解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1，))∴所求圆的圆心为（－1,－1)．又所求圆的半径为eq\r（5)，∴圆(x＋2）2＋y2＝5关于直线x－y＋1＝0对称的圆的方程为（x＋1)2＋(y＋1）2＝5.］3．圆C1:x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在直线被圆C3：(x－1）2＋（y－1）2＝eq\f(25,4）截得的弦长是__________．eq\r（23）［圆C1，C2方程相减得公共弦所在的直线方程为x＋y－1＝0，则圆心C3(1,1)到直线的距离d＝eq\f(｜1＋1－1|，\r(2））＝eq\f(\r（2)，2)，所以所求弦长为2eq\r(r2－d2）＝2×eq\r(\f(25，4）－\f（1，2)）＝eq\r（23).]4．如图所示,A，B是直线l上的两点,且|AB|＝2。两个半径长相等的动圆分别与l相切于A,B两点，C是两个圆的公共点，则圆弧AC，CB与线段AB围成的图形面积S的最大值是________．2－eq\f(π，2)[如图所示，由题意知，当两动圆外切时,围成的图形面积S取得最大值,此时四边形ABO2O1为矩形，且Smax＝2×1－eq\f（1,2)×eq\f(π，2）×12×2＝2－eq\f（π,2）.]5．已知半径为5的动圆C的圆心在直线l:x－y＋10＝0上．（1)若动圆C过点(－5，0），求圆C的方程；（2）是否存在正实数r,使得动圆C满足与圆O:x2＋y2＝r2相外切的圆有且仅有一个？若存在，请求出来;若不存在，请说明理由．［解］(1）依题意，可设动圆C的方程为(x－a)2＋(y－b）2＝25，其中圆心(a，b)满足a－b＋10＝0.又因为动圆过点（－5，0）,故（－5－a)2＋（0－b)2＝25.解方程组eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(a－b＋10＝0，，（－5－a)2＋(0－b)2＝25，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（a＝－10，，b＝0))或eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（a＝－5，，b＝5，））故所求圆C的方程为(x＋10)2＋y2＝25或（x＋5)2＋(y－5)2＝25.（2)圆O的圆心（0，0）到直线l的距离d＝eq\f(|1