广东省惠州市惠东中学2022-2023学年高一数学第一学期期末学业水平测试试题含解析_第1页
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文档简介

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(本大题共10小题;在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合题意,请将正确选项填涂在答题卡上.)1.在平面直角坐标系中,以为圆心的圆与轴和轴分别相切于两点,点分别在线段上,若,与圆相切,则的最小值为A. B.C. D.2.棱长分别为1、、2的长方体的8个顶点都在球的表面上,则球的体积为A. B.C. D.3.的图像是端点为且分别过和两点的两条射线,如图所示,则的解集为A.B.C.D.4.已知,且α是第四象限角,那么的值是()A. B.-C.± D.5.下列四个函数,最小正周期是的是()A. B.C. D.6.函数的零点所在的一个区间是()A. B.C. D.7.已知函数,若函数有四个零点,则的取值范围是A. B.C. D.8.某几何体的三视图如图所示(图中小正方形网格的边长为),则该几何体的体积是A. B.C. D.9.且,则角是()A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角10.如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.△ABC的三边所围成的区域记为I,黑色部分记为II,其余部分记为III.在整个图形中随机取一点,此点取自I,II,III的概率分别记为p1,p2,p3,则A.p1=p2 B.p1=p3C.p2=p3 D.p1=p2+p3二、填空题(本大题共5小题,请把答案填在答题卡中相应题中横线上)11.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为:弧田面积=(弦矢+).弧田(如图),由圆弧和其所对弦所围成,公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为,弦长等于9m的弧田.按照上述经验公式计算所得弧田的面积是________.12.某房屋开发公司用14400万元购得一块土地,该地可以建造每层的楼房,楼房的总建筑面积(即各层面积之和)每平方米平均建筑费用与建筑高度有关,楼房每升高一层整幢楼房每平方米建筑费用提高640元.已知建筑5层楼房时,每平方米建筑费用为8000元,公司打算造一幢高于5层的楼房,为了使该楼房每平米的平均综合费用最低(综合费用是建筑费用与购地费用之和),公司应把楼层建成____________层,此时,该楼房每平方米的平均综合费用最低为____________元13.已知函数若关于x的方程有4个解,分别为,,,,其中,则______,的取值范围是______14.已知函数是定义在上的奇函数,且当时,,则的值为__________15.函数在上是x的减函数,则实数a的取值范围是______三、解答题(本大题共6小题.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)16.已知是幂函数,是指数函数,且满足,(1)求函数,的解析式;(2)若,,请判断“是的什么条件?(“充分不必要条件”或“必要不充分条件”或“充要条件”或“既不充分也不必要条件”)17.已知函数(且).(1)当时,,求的取值范围;(2)若在上最小值大于1,求的取值范围.18.定义在D上的函数,如果满足:存在常数,对任意,都有成立,则称是D上的有界函数,其中M称为函数的上界.(1)证明:在上有界函数;(2)若函数在上是以3为上界的有界函数,求实数a的取值范围.19.如图所示,A,B分别是单位圆与x轴、y轴正半轴的交点,点P在单位圆上,∠AOP=θ(0<θ<π),C点坐标为(-2,0),平行四边形OAQP的面积为S.(1)求·+S的最大值;(2)若CB∥OP,求sin的值20.已知.(1)若关于x的不等式的解集为区间,求a的值;(2)设,解关于x的不等式.21.设n是不小于3的正整数,集合,对于集合Sn中任意两个元素.定义.若,则称A,B互为相反元素,记作或(1)若n=3,A=(0,1,0),B=(1,1,0),试写出,,以及A·B的值;(2)若,证明:;(3)设k是小于n的正奇数,至少含有两个元素的集合,且对于集合M中任意两个不同的元素,都有,试求集合M中元素个数的所有可能的取值

参考答案一、选择题(本大题共10小题;在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合题意,请将正确选项填涂在答题卡上.)1、D【解析】因为为圆心的圆与轴和轴分别相切于两点,点分别在线段上,若,与圆相切,设切点为,所以,设,则,,故选D.考点:1、圆的几何性质;2、数形结合思想及三角函数求最值【方法点睛】本题主要考查圆的几何性质、数形结合思想及三角函数求最值,属于难题.求最值的常见方法有①配方法:若函数为一元二次函数,常采用配方法求函数求值域,其关键在于正确化成完全平方式,并且一定要先确定其定义域;②三角函数法:将问题转化为三角函数,利用三角函数的有界性求最值;③不等式法:借助于基本不等式求函数的值域,用不等式法求值域时,要注意基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”;④单调性法:首先确定函数的定义域,然后准确地找出其单调区间,最后再根据其单调性求凼数的值域,⑤图像法:画出函数图像,根据图像的最高和最低点求最值,本题主要应用方法②求的最小值的2、A【解析】球的直径为长方体的体对角线,又体对角线的长度为,故体积为,选A.3、D【解析】作出g(x)=图象,它与f(x)的图象交点为和,由图象可得4、B【解析】由诱导公式对已知式子和所求式子进行化简即可求解.【详解】根据诱导公式:,所以,,故.故选:B【点睛】诱导公式的记忆方法:奇变偶不变,符号看象限.5、C【解析】依次计算周期即可.【详解】A选项:,错误;B选项:,错误;C选项:,正确;D选项:,错误.故选:C.6、B【解析】判断函数的单调性,再借助零点存在性定理判断作答.【详解】函数在R上单调递增,而,,所以函数的零点所在区间为.故选:B7、B【解析】不妨设,的图像如图所示,则,,其中,故,也就是,则,因,故.故选:B.【点睛】函数有四个不同零点可以转化为的图像与动直线有四个不同的交点,注意函数的图像有局部对称性,而且还是倒数关系.8、A【解析】利用已知条件,画出几何体的直观图,利用三视图的数据求解几何体的体积即可【详解】由题意可知几何体的直观图如图:是直四棱柱,底面是直角梯形,上底为:1,下底为2,高为2,棱柱的高为2,几何体的体积为:V6故选A【点睛】本题考查几何体的直观图与三视图的关系,考查空间想象能力以及计算能力9、D【解析】直接由三角函数的象限符号取交集得答案.【详解】由,可得为第二或第四象限角;由,可得为第一、第四及轴非负半轴上的角∴取交集可得,是第四象限角故选:D10、A【解析】首先设出直角三角形三条边的长度,根据其为直角三角形,从而得到三边的关系,然后应用相应的面积公式求得各个区域的面积,根据其数值大小,确定其关系,再利用面积型几何概型的概率公式确定出p1,p2,p3的关系,从而求得结果.【详解】设,则有,从而可以求得的面积为,黑色部分的面积为,其余部分的面积为,所以有,根据面积型几何概型的概率公式,可以得到,故选A.点睛:该题考查的是面积型几何概型的有关问题,题中需要解决的是概率的大小,根据面积型几何概型的概率公式,将比较概率的大小问题转化为比较区域的面积的大小,利用相关图形的面积公式求得结果.二、填空题(本大题共5小题,请把答案填在答题卡中相应题中横线上)11、.【解析】如下图所示,在中,求出半径,即可求出结论.【详解】设弧田的圆心为,弦为,为中点,连交弧为,则,所以矢长为,在中,,,所以,,所以弧田的面积为.故答案为:.【点睛】本题以数学文化为背景,考查直角三角形的边角关系,认真审题是解题的关键,属于基础题.12、①.15②.24000【解析】设公司应该把楼建成层,可知每平方米的购地费用,已知建筑5层楼房时,每平方米建筑费用为8000元,从中可得出建层的每平方米的建筑费用,然后列出式子求得其最小值,从而可求得答案【详解】设公司应该把楼建成层,则由题意得每平方米购地费用为(元),每平方米的建筑费用为(元),所以每平方米的平均综合费用为,当且仅当,即时取等号,所以公司应把楼层建成15层,此时,该楼房每平方米的平均综合费用最低为24000元,故答案为:15,2400013、①.1②.【解析】作出图象,将方程有4个解,转化为图象与图象有4个交点,根据二次函数的对称性,对数函数的性质,可得的、的范围与关系,结合图象,可得m的范围,综合分析,即可得答案.【详解】作出图象,由方程有4个解,可得图象与图象有4个交点,且,如图所示:由图象可知:且因为,所以,由,可得,因为,所以所以,整理得;当时,令,可得,由韦达定理可得所以,因为且,所以或,则或,所以故答案为:1,【点睛】解题的关键是将函数求解问题,转化为图象与图象求交点问题,再结合二次函数,对数函数的性质求解即可,考查数形结合,分析理解,计算化简的能力,属中档题.14、-1【解析】因为为奇函数,故,故填.15、【解析】首先保证真数位置在上恒成立,得到的范围要求,再分和进行讨论,由复合函数的单调性,得到关于的不等式,得到答案.【详解】函数,所以真数位置上的在上恒成立,由一次函数保号性可知,,当时,外层函数为减函数,要使为减函数,则为增函数,所以,即,所以,当时,外层函数为增函数,要使为减函数,则为减函数,所以,即,所以,综上可得的范围为.故答案为.【点睛】本题考查由复合函数的单调性,求参数的范围,属于中档题.三、解答题(本大题共6小题.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)16、(1),(2)“”是“”的必要不充分条件【解析】(1)利用待定系数法求得.(2)通过求函数的值域求得,由此确定充分、必要条件.【小问1详解】设,,则则,代入,∴,.【小问2详解】由(1)知,,,当时,,有,得,又由,有,得,故,当时,,有,得,又由,有,,解得,故,由,故“”是“”的必要不充分条件17、(1).(2).【解析】(1)当时,得到函数的解析式,把不等式,转化为,即可求解;(2)由在定义域内单调递减,分类讨论,即可求解函数的最大值,得到答案.【详解】(1)当时,,,得.(2)在定义域内单调递减,当时,函数在上单调递减,,得.当时,函数在上单调递增,,不成立.综上:.【点睛】本题主要考查了指数函数的图象与性质的应用问题,其中解答中由指数函数的解析式转化为相应的不等式,以及根据指数函数的单调性分类讨论求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.18、(1)证明见解析(2)【解析】(1)根据,利用求解单调性求解;(2)根据在上是以3为上界的有界函数,令,则,转化,在时恒成立求解.【小问1详解】解:,则在上是严格增函数,故,即,故,故是有界函数;【小问2详解】因为在上是以3为上界的有界函数,所以在上恒成立,令,则,所以在时恒成立,所以,在时恒成立,函数在上严格递减,所以;函数在上严格递增,所以.所以实数a的取值范围是.19、(1)+1(2)【解析】求出,的坐标,然后求解,以及平行四边形的面积,通过两角和与差的三角函数,以及正弦函数的值域求解即可;利用三角函数的定义,求出,利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数求解表达式的值解析:(1)由已知得,的坐标分别为,,因为四边形是平行四边形,所以,又因为平行四边形的面积为,所以又因为,所以当时,的最大值为(2)由题意知,,因为,所以,因为,所以由,,得,,所以,,所以20、(1);(2)答案见解析.【解析】(1)先将分式不等式转化成一元二次不等式,再根据解集与根的关系,即得结果;(2)先将分式不等式转化成一元二次不等式,再结合根的大小对a进行分类讨论求解集即可.【详解】(1)由,得,即,即,等价于,由题意得,则;(2)即,即.①当时,不等式即为,则,此时原不等式解集为;②当时,不等式即为.1°若,则,所以,此时原不等式解集为;2°若,则,不等式为,x不存在,此时原不等式解集为;3°若,则,所以,此时原不等式解集为.【点睛】分式不等式的解法:等价于;等价于;等价于或;等价于或.21、(1)(2)证明见解析(3)集合M中元素的个数只可能是2【解析】(1)根据定义直接求解即可;(2)设,进而结合题意得,,再计算即可;(3)假设为集合M中的三个不相同的元素,进而结合题意,推出矛盾,得出假设不成立,即集合M中至多有两个元素,且时符合题意,故集合M中元素的个数只可能是2【小问1详解】解:因为若,则称A,B互为相反元素,记作或,所以,所以.【小问2详解】解:设,由,可得所以,当且仅当,即时上式“=”成立由题意可知即所以【小问3详解】解:解法1:假设为集合M中的三个不相同的元素则即又由题意可知或1,i=1,2,,n恰有k个1,与n-k个0设其中k个等于1项依次为n-k个等于0的项依次为由题意可知所以,同理所以即因为由(2

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