微积分下-大一下课件变速直线运动路程

定积分习题主要内典型例af(x)dxaf(x)dxF(b)F(a)b问题问题曲边问题变速的法算计-莱的法算计-莱布尼茨公的定性积质广义积存在定1、问题的提实例1（求曲边梯形的面积

y

(x)(

f(x)

0)x轴与两条直线xn

ax

b所围成Alim

f(i

i实例2（求变速直线运动的路程设某物体作直线运动，已知速度

t间 ][t 续函数，

tv0(求nslimv(i

i方法:分割、求和、取极限2、定积分的定定义设函

fx在[ab]上有界在[ab]中任xxxx01a xx01

xxb xxb2把区间[ab]n2[x0,x1],[x1,x2],[xn1,xn各小区间的长度依次为

xi

在各小区间上任一点i（ixi

f(

(i

并作和

i

f

)xi记max{x1x2,xn}如果[a怎样的也不论xi1xi]上点i怎的取法只要当

0和S总趋于确定的极限I我们称这个极限Ifx)在区[ab]上的定积分bb

f(x)dx

lim

i1

f

)xi3、存在定可积的两个充分条件定理

x在区[ab]上连续时fx)在区[ab]上可积定理 设函数f(x)在区间[a,b]上有界[ab]上可积

x在区bbb4、定积分的性bbbb性质b

f(x)

g(x)]dx

f(x)dx

ag(x)dx性质

(x)dx

k

f(

cb性质cb

假设

cbb bb

(x)dx

f(x)dx

f(x)dxb性质b

a1dx

dx

bb性质 如果在区间[a,b]bb

f(x)0，则afx)dx

(ab推论b

如果在区间[ab]

f(x)

g(x)，bb则bb

f(

g(

(abb

a

(x)dx

f(x)dx

(ab)性质

设M及m分别是函上的最大值及最小值

x[ab m(ba)b

f(x)dx

M(b

a).性质7(定积分中值定理

则在积分区间(a,b)上至少存在一个点b积分中值公使 f(x)dxf()(ba) (a积分中值公5 —莱布尼茨公定理1如果(xf 上连续，则积分上限的函xxd xxd

)dt 上具有导数，且它的导是

dx

dt

(a

xb)x定理2（原函数存在定理）如果f()x

连续，则积分上限的函数

dt就是f()

3（微积分基本公式）如果Fx)是连fx)在区[ab]上的一个原函数，bb f(x)dxF(b)F(a)b也可写

a

[F(x)]b

a—莱布尼茨公a表明

续函数在区间

上的定积它的任一原函数在区间 上的[,6、定积分的计算换元b b

(x)dx

f[(t)](t换元公分部积分公换元公分部积分公abbab

a７、广义积无穷限的广义积abb

f(f(

bbbbba

f(f(函数的广义积babbabb

(x)dx(x)dx

c

bb

f(f(bbab

(x)dx

f(x)dx

f(

c

c

f(二、典型例例1求0

1sin2xdx.解原式 0

sin

x 4(cos0

x)dx

2(sin

x

0(sinxcosx)0

(

xcosx)42 2 xex2,x44

(x)

,求I

f(

,x cos解：设t

x2,则

x时

时tI

f(t)dt

2tet220 11200

cost 2tant

1et2

tan11e41 2

0

例3

0

1e2xdx. 令exsint,

xt0xt02ln6xlnsint

sin

dt. sin

cos2sin原式 t(2

2 6

sin

3 32 2sin

ln(2

3) 例4

4lnsin2xdx.0 解I

4lnsin2xdx0

40

x

4(ln20

lnsin

x)dx4ln04

x 2

4I ln2

4ln

2ln4

I 0

lnsin ln2

4

xdx

2lnsin

ln24

20

2xt,

4lnsin2xdx

0ln22I

I

ln4可用换元法和加减运算求解的积分类型

ln(9x)ln(9x)ln(9x)ln(x 12

esinx

2

sinx

cos 1

(tanx)

特点：分子一项，分两项，其中一项与分同。步骤：(1)变量代换。要求：变后积分上下限不变变换前后被积函数和。(2)将变换前后两积分相其结果是原积分的1111121

u则I

12u1

12I1

121 2u

12 121

12u1du1I4ln(9x)2ln(9x)；ln(xln(9x)令9xln(9x)4则I

ln(9x) ln(xln(9x)ln(uln(9ln(uln(uln(9ln(u242I

2

2,

关于定积分换元法证明题：设fx)在0,2a(a0)上连续，证明f(0

a0

(x)

f(2a

设fx)是以T为周期的连续函数a为任意常数证明：1aT1

Tf(x)dxT

f(1证明 dx 122x1 122 sin例5

2 x1 x12

ln2(1

解原式00

2

x)dx1

1ln(12

x)dx

2ln(10

3ln3ln1 2例 2

1,x2}dx.x2

x解

1,x2}x

21x21

x

是偶函数原式

20

1,x2}dx1212

x2dx

1dx

23

2ln例7

f(x)

xey22ydy,

(

f(1 11x1 原式(x1)2[ey22 y221 y22

3 0x[1(0x3

0

ey22

1(131

ex22x

(

e(x1)21d[(

1)2161令x1)2u6

0ueudu1

1(e6

例

求下列广义积分

(2)

x24x 3x 3x22x0

原式

x2

4x

x2

4x0b 0b5aa(x5

2)2

b

(x

2)2550a0

1arctanx

1arctanx2555 555

f(x)

3 3x22x

,x1

fx的瑕点原式

lim 202

1

3x2

2xlim[

d(112 2

22

11lim

2

注意1、区间内是否有隐含的瑕点x '(x)例：设x)

x(

,求

1

2(x)解

2是x) '(x) '(x)I

1

dx(x)

21

(x)1arctan(x)2arctan(1

2

43测验题一、选择题1、n

2

n2

n2

（B）124

22、 xln(tdx

dt （A）ln(x21)； （B）ln(t21)；（C）2xln(x21)； （D）2tln(t21)3、x0

x

B 3

、定积分1 xdx的值是 0e1

；2（C）e2 33

,令1sin3x

xarctant

x31

x2dx，

xsint22

xln(1

x2

dx

1x

u； 1x 1xdx，令x 6、下列积分中，值为零的是 121（A）x2dx

x3dx11

（D）1x2sin 7

f

1

f(2)3

f'(2)5,2则2

xf''(

（

x8

f(x)

1

f(

1 1 ,x=（

1e（A）1

ln(1

1)； （B）2e

ln(1

e2)

3；（C）1

ln(1

1)e

ln2;（D）1

ln(1

1).e9

x2xln

0（C）1ln4 （D）发310、广义积分

20x2

4x（A）1

； （D）发散 2 1xn1xn

(n

2).1、Fx)

1t1tx t

x2sint2.、由方程0t

dt

dt

1，确定

yx函数，求dy1、

2、x(1xx(1xxa2x4

33、3

xdx 4、

x22

3dx5 1 55、 6、

x

4x x1 x 3x 3x22x2

81

dx

fx)在

0,

上有连续导数

f(0)0且0

fx)1,试证01f(x)dx20

10

(x)3dx

f(x)在[0，1]上有二阶连续导数，证明1f(x)dx1f(0)f(1)11x(11

x)

''(x)dx 2测验题答

3x11x

211x

；2、4

2ey

x2四、1、2

；2

3、3

4、；3335、16

5；752

arcsin3；84例8

f(

在[0,上连续证明

x)dx

01cos2

2

1cos2 令

dx

dt,

0(t)f(sint)(dt 1cos2(

x)

(sinx) 1

x)dx

01cos2 01cos22

x)dx

f

x)01cos2 01cos2

x)dx

f

x)01cos2

2

1cos2例2求

sin

xcos解

dx,

2