辽宁省大连市高二上期中数学试卷（含答案）

PAGE12PAGE12/222022-2023辽宁省大连市高二（上）期中数学试卷一、选择题（125601～103分，两个都选对得5分，选错或选错一个得0）A．﹣2B．﹣C．D．215分）直线24A．﹣2B．﹣C．D．225分）若圆C与圆2+（）＝1关于原点对称，则圆C的方程为（ ）35分如图在三棱锥OC中点D是棱C的中点若 ＝，35分如图在三棱锥OC中点D是棱C的中点若 ＝，＝，＝，则等于（）A．﹣B．C．﹣+D．﹣-

B2（21D（2﹣2155分如果存在三个不全为0的实数叙述正确的是（）A．两两互相垂直B．中只有两个向量互相垂直45分）直线＝（）是（ ）A．过点的一切直线B．过点的一切直线55分如果存在三个不全为0的实数叙述正确的是（）A．两两互相垂直B．中只有两个向量互相垂直C．共面D．中有两个向量互相平行65分）已知点（，1，）在平面α内，＝，）是平面C．共面D．中有两个向量互相平行65分）已知点（，1，）在平面α内，＝，）是平面α的一个法向量，P中，在平面α内的是（）A．P（1，﹣1，1）B．P（1，3，）C．P（1，﹣3，）D．P（﹣1，3，﹣）85分）设AB是椭圆C：＝1CP＝12085分）设AB是椭圆C：＝1CP＝120°，则k的取值范围是（）A（0，∪[1∞）B0，∪[+∞）C0，∪[1+∞）D（0，[+∞）95分）1C1的棱B和1的中点分别为FA．B．C．D．与平面A．B．C．D．A．B．C．D．15分）若方程所表示的曲线为C，则下面四个命题中错误的是（）1（5分）已知椭圆的左焦点为，有一质点A从1A．B．C．D．15分）若方程所表示的曲线为C，则下面四个命题中错误的是（）C1＜t＜3Ct＜1C可能是圆Cy1＜t＜215分）在平面直角坐标系y中，圆C的方程为2+240．若直线＝（）上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取可以是（ ）A．1 B．2 C．3 D．41（5分）在平面直角坐标系y中，双曲线的虚轴的一个端点到一条渐近线的距离为．1（5分）在平面直角坐标系y中，双曲线的虚轴的一个端点到一条渐近线的距离为．1（5分）已知双曲线：＝1a，＞0）的左、右焦点分别为F，，焦距2cy＝的离心率为（x+c）与双曲线的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF1（5分）已知双曲线：＝1a，＞0）的左、右焦点分别为F，，焦距2cy＝的离心率为（x+c）与双曲线的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则双曲线．1（5分）某隧道的拱线设计半个椭圆的形状，最大拱高h为6米（如图所示，路面设计是双向车道，车道总宽为米，如果限制通行车辆的高度不超过4.5米，那么隧道设d至少应是米．1（10分）求与双曲线有相同焦点，且经过点1（10分）求与双曲线有相同焦点，且经过点的双曲线的标准方程；（2）已知椭圆x2+（m+3）y2＝m（m＞0）的离心率m的值．1（12分）已知圆：+1与直线：x﹣y+m＝0相交于不同的A、B两点，O为坐标原点．（1）求实数m的取值范围；（2）若|AB|＝m的值．112分底面为菱形的直棱柱﹣1C1EF分别为棱（2）若|AB|＝m的值．（Ⅰ）在图中作一个平面α，使得，且平面（不必给出证明过程，只要求作出α与直棱柱1C1）2（12分）如图，设P是圆+252（12分）如图，设P是圆+25上的动点，点D是P在xM为D上一点，且|MD|＝|PD|．（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率的直线被C所截线段的长度．2（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率的直线被C所截线段的长度．2（12分）如图，在四棱锥﹣DA⊥平面∥＝＝CD＝2，BC＝3．EPDFPC上，且＝．（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；（Ⅲ）GPB上，且＝．判断直线AG（Ⅲ）GPB上，且＝．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．212212分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为（，O0，B的面积为4．（2）P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N．求证：|AN|为定值．2022-2023辽宁省大连市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（125601～103分，两个都选对得5分，选错或选错一个得0）A．﹣2B．﹣C．D．215分）直线24A．﹣2B．﹣C．D．2【解答】解：直线2x+4y+3＝0可化为y【解答】解：直线2x+4y+3＝0可化为y＝﹣x﹣，它的斜率是﹣．故选：B．【点评】本题考查了根据直线的一般式方程求斜率问题，是基础题．25分）若圆C与圆2+（）＝1关于原点对称，则圆C的方程为（ ）A（﹣2（121 B2（21C﹣）（21 D（2﹣21C与圆（x+2）2+（y﹣1）2＝1C半径即可．解：由题意可知圆+﹣）＝1的圆心（2，，半径为1，关于原点对称的圆心（2，﹣1，半径也是1（x﹣2）+（1）2＝1故选：A．335分如图在三棱锥OC中点D是棱C的中点若 ＝，＝，＝，则等于（）A．﹣B．C．﹣+D．﹣﹣﹣【解答解【解答解由题意在三棱锥O﹣ABC中点D是棱AC的中点若 ＝，＝，＝，可知：＝＝+，＝＝ ，，＝﹣+．故选：C．【点评】本题考查向量的三角形法则，空间向量与平面向量的转化，是基础题．45分）直线＝（R）是（ A．过点的一切直线B．过点的一切直线C．过点（1，0）且除直线x＝1外的一切直线D．过点（1，0）且除x轴外的一切直线方程1R）表示经过点10）且不垂直于x轴的一切直线．即可得出．＝（﹣1（R10且不垂直于x555分如果存在三个不全为0的实数叙述正确的是（）A．两两互相垂直B．中只有两个向量互相垂直C．共面D．中有两个向量互相平行【解答】解：根据题意得，x【解答】解：根据题意得，x，y，z不全为零，由平面向量基本定理知，，共面，故选：C．665分）已知点（，1，）在平面α内，＝，）是平面α的一个法向量，P中，在平面α内的是（）A．P（1，﹣1，1）B．P（1，3，）C．P（1，﹣3，）D．P（﹣1，3，﹣）【分析设（，，计算 ，由 ⊥得•＝0；【解答解：设（，【解答解：设（，，则 ＝（，﹣2；由题意知， ⊥，则•＝0；∴3（x﹣2）+（y+1）+2（z﹣2）＝0，化简得3x+y+2z＝9．B中，3×1+3+2×＝9，满足条件；验证得，在A中，3B中，3×1+3+2×＝9，满足条件；同理验证C、D不满足条件．故选：B．【点评】本题考查了空间向量的数量积与坐标运算问题，是基础题．75分）若直线＝2x与直线a﹣）﹣+0平行，则＝（ ）A．a＝﹣1 B．a＝2 C．a＝﹣1或2 D．a＝1或﹣2【分析】利用直线与直线平行的性质直接求解．【解答】解：∵直线y＝2x与直线（a2﹣a）x﹣y+a+1＝0平行，∴a2﹣a＝2，解得a＝﹣1或a＝2，当a＝﹣1时，两直线重合，∴a＝2．故选：B．885分）设AB是椭圆C：＝1CP＝120°，则k的取值范围是（）A（0，∪[1∞）B0，∪[+∞）C0，∪[1+∞）D（0，[+∞）PM位于短轴的端点时，∠AMBCM≥60°，tan∠AMO＝≥tan60k．②当椭圆的焦点在y轴上时，k＞4，同理可得k范围．时，CP满足∠APB＝120°，M取最大值，要使椭圆C上存在点M满足∠AMB＝120°，tan∠AMO＝≥tan60°，解得：0＜tan∠AMO＝≥tan60°，解得：0＜k≤．∴m的取值范围是，]∪[12，+∞）∴m的取值范围是，]∪[12，+∞）故选：A．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、三角函数的单调性、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．95分）1C1的棱B和1的中点分别为FA．B．C．D．与平面A．B．C．D．Dx轴，DCy轴，DD1z轴，建立空间直角坐标系，利EFAA1D1D所成角的正弦值．则（21，F（，，2， ＝（，﹣，2，平面则（21，F（，，2， ＝（，﹣，2，平面DD的法向量＝0，，，sinθ＝＝＝．EFAA1sinθ＝＝＝．EFAA1D1D所成角的正弦值为．故选：C．【点评】本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．A．B．C．D．1（5分）已知椭圆的左焦点为，有一质点A从1处以速度v内壁反射（无论经过几次反射速率始终保持不变，若质点第一次回到1A．B．C．D．利用椭圆的性质可得a＝×（a﹣，由此即可求得椭圆的离心率．【解答】解：假设长轴在x轴，短轴在y轴，以下分为三种情况：（1）F1x轴向左直线运动，碰到左顶点必然原路反弹，这时第一次回到F1是2a﹣；（2）F1xF1程是（+；（3）球从F1沿x轴斜向上（或向下）运动，碰到椭圆上的点A，反弹后经过椭圆的另一个焦点F2，再弹到椭圆上一点B，经F1反弹后经过点F1，此时小球经过的路程是4a．综上所述，从点F1沿直线出发，经椭圆壁反射后第一次回到点F1时，∴由题意可得a＝a﹣，即∴由题意可得a＝a﹣，即a＝，得＝．∴椭圆的离心率为．故选：D．115分）若方程所表示的曲线为C，则下面四个命题中错误的是（）C1＜t＜3Ct＜1C可能是圆Cy1＜t＜2【解答】解：方程CC【解答】解：方程CC是假命题；若C为椭圆，且长轴在y轴上，则2＜t＜3，所以D是假命题；若C为双曲线，可得（﹣1）0解得＞3或＜，所以B是真命题；故选：AD．【点评本题考查命题的真假的判断，二次曲线与方程的关系，是基本知识的考查．15分）在平面直角坐标系y中，圆C的方程为2+240．若直线＝（）上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取可以是（ ）由题意可得圆心为（0，半径由题意可得圆心为（0，半径R，设两个切点分别为、，则由题意可得四边形PACB为正方形，圆心到直线y＝k（x+1）的距离小于或等于PC＝2，即≤2，由此求得k的范围．APC＝R＝2，y＝k（x+1）PC＝2，即≤2，由此求得k的范围．APC＝R＝2，y＝k（x+1）PC＝2，即≤2k2≤8，可得≤k≤2，k故选：AB．【点评】本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．1（5分）在平面直角坐标系y中，双曲线的虚轴的一个端点到一条渐近线的距离为．1（5分）在平面直角坐标系y中，双曲线的虚轴的一个端点到一条渐近线的距离为．【解答】解：双曲线的虚轴的一个端点【解答】解：双曲线的虚轴的一个端点（01，一条渐近线方程为：2y＝0，由题意可得：＝．双曲线的虚轴的一个端点到一条渐近线的距离为：．故答案为： ．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，是基础题．1（5分）已知圆+m与圆+61＝0相交，则实数m的取值范围为1＜m＜121 ．【分析】求出两个圆的圆心坐标和半径，利用两个圆的圆心距大于半径差，小于半径和，即可求出m的范围．【解答】解：x2+y2＝m是以（0，0）为圆心，x2+y2+6x﹣8y﹣11＝0，（x+3）2+（y﹣4）2＝36，是以（﹣3，4）为圆心，6为半径的圆，两圆相交，则|半径差|＜圆心距离＜半径和，

为半径的圆，|6﹣|6﹣5＜6+

|＜|＜5＜6+且|6﹣

，|＜5，

＜6+ ，＞﹣1且﹣5＜6﹣ ＜5，＞﹣1且1＜所以1＜ 那么1＜m＜121，另，定义域

＜11，所以，1＜m＜121故答案为：1＜m＜121【点评】本题是基础题，考查两个圆的位置关系，注意两个圆的位置关系的各种形式，圆心距与半径和与差的大小比较，考查计算能力，转化思想．1（5分）

＝1a，＞0）的左、右焦点分别为F，，焦距2c的离心率为1

（x+c）与双曲线的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则双曲线．【分析】由已知直线过左焦点F1，且其倾斜角为60°，∠MF1F2＝2∠MF2F1，可得∠M2＝6M21301F13/22由离心率公式计算即可得到所求值．∠MF1F2＝2∠MF2F1，

（x+c）过左焦点F1，且其倾斜角为60°，∴∠MF1F2＝60°，∠MF2F1＝30°．∴∠F1MF2＝90°，即F1M⊥F2M．∴|MF1|＝|F1F2|＝c，|MF2|＝|F1F2|sin60°＝ c，由双曲线的定义有：|MF2|﹣|MF1|＝

c﹣c＝2a，∴离心率e＝＝ ＝ 故答案为．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和直角三角形的锐角三角函数的定义，考查运算能力，属于中档题．1（5分）某隧道的拱线设计半个椭圆的形状，最大拱高h为6米（如图所示4.5d至少应是32米．【分析】由已知可得椭圆短半轴长，设出椭圆方程，求得x＝4求得a的最大值，即可得到隧道设计的拱宽d的最小值．

yy≤4.5【解答解：由题意可知设椭圆方程为 ，则当x＝4 时， ，4.5米，∴y≤4.5．∴ a≤16．∴隧道设计的拱宽d至少应是a＝3（米．14/22PAGE22PAGE22/22故答案为：32．【点评】本题考查椭圆的性质，关键是对题意的理解，是基础题．1（10分）求与双曲线有相同焦点，且经过点1（10分）求与双曲线有相同焦点，且经过点的双曲线的标准方程；（2）已知椭圆x2+（m+3）y2＝m（m＞0）的离心率m的值．【分析】（1）求出双曲线的焦点坐标，利用双曲线方程求出a，b即可得到双曲线方程．【解答】（1【解答】（1）双曲线的焦点（±2，0，设所求的双曲线方程为：，可得：a2＝12，b2＝8，所求的双曲线方程为：．（2）椭圆x2+（m+3）y2＝m（m＞0）的离心率，可知椭圆的焦点坐标在x轴上，所以＝m＝1．11（12分）已知圆：+1与直线：x﹣y+m＝0相交于不同的A、B两点，O为坐标原点．（2）若|AB|（2）若|AB|＝m的值．【分析】（1）直线与圆的方程联立，利用判别式大于0，即可求实数m的取值范围；（2）求出圆心C（0，0）到直线的距离，利用|AB|＝，求实数m的值．（2）求出圆心C（0，0）到直线的距离，利用|AB|＝，求实数m的值．）由y得，由已知得，（2）因为圆心C（0，0）到直线的距离为，所以由已知得m＝±1．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．112分底面为菱形的直棱柱﹣1C1EF分别为棱B11的中点．（Ⅰ）在图中作一个平面α，使得，且平面（不必给出证明过程，只要求作出α与直棱柱1C1）（Ⅱ）若AB＝AA1＝2，∠BAD＝60°，求平面AEF与平面α的距离d．【分析】（Ⅰ）取B1C1的中点H，C1D1的中点G，平面BHGD就是所求平面α．（Ⅱ）BCMDx轴，DMyz轴，建立空间直AEF与平面α的距离．（Ⅰ）取1的中点C1的中点G，连结H，BHGD就是所求平面α，α与直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的截面为平面BHGD．（Ⅱ）∵菱形的直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，∠BAD＝60°，A（，，0，（，0B， A（，，0，（，0B， ，0（0，，2，＝（，00，＝（1，0， ＝（， 2，设平面（即平面）的法向量＝，，，则，取y＝2，得＝（﹣2，2，﹣，AEF与平面αd＝＝＝．22（12分）如图，设P是圆+25上的动点，点D是P在xM为D上一点，且|MD|＝|PD|．（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率的直线被C所截线段的长度．（Ⅰ）当（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率的直线被C所截线段的长度．（Ⅰ）Px（Ⅰ）Px2+y2＝25DPxPD|PD|，利用相关点法即可求轨迹；由已知得：（Ⅰ）设M的坐标为，）P的坐标为，p）由已知得：∴C的方程为∴C的方程为．（Ⅱ）过点（3，0）且斜率为的直线方程为：，将直线方程即：，AB＝＝．设直线与C的交点为（1，将直线方程即：，AB＝＝．22（12分）如图，在四棱锥﹣DA⊥平面∥＝＝CD＝2，BC＝3．EPDFPC上，且＝．（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；（Ⅲ）GPB上，且＝．判断直线AG（Ⅲ）GPB上，且＝．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．【分析】（Ⅰ）推导出PA⊥CD，AD⊥CD，由此能证明CD⊥平面PAD．（Ⅱ）以A为原点，在平面ABCD内过A作CD的平行线为x轴，AD为y轴，AP为z（Ⅲ）求出 ＝（，（Ⅲ）求出 ＝（，，平面F的法向量＝，1，＝0，从而AGAEF内．（Ⅰ）⊥平面，∵AD⊥CD，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD．（Ⅱ）以A为原点，在平面D内过A作D的平行线为x轴，A（，，0，A（，，0，（1F（，，，＝（，11， ＝（