高等数学117的课件

2º局部极值的计算首先研究极值点的特征,即研究必要条件设P0=(x0,y0)是z=f(x,y)的局部极小值点,

z=f(x,y)在P0处可微对任意的xN(P0,δ)则根据定义,存在N(P0,δ),使若令则有x=x0是h(x)的局部极小值点y=y0是g(y)的局部极小值点由f(x,y)在P0处可微h(x)在x=x0处可导g(y)在y=y0处可导于是在P0点处成立定理(可微函数极值点的必要条件)设z=f(x,y)在P0=(x0,y0)处可微,P0是

f(x,y)的极值点,则有说明:(1)使的点称为f(x,y)的稳定点(或驻点)(2)可微函数的极值点必为f(x,y)的稳定点,即为使梯度为零的点例讨论下列函数的极值(1)(2)(3)解(1)在R2上可微稳定点为(0,0)又(0,0)是f(x,y)的极小值点极小值:f(0,0)=1(2)在R2上可微稳定点为(0,0)又在点(a,0)处:在点(0,b)处:在(0,0)点的任意邻域内,都有大于f(0,0)=0及小于f(0,0)=0的点,所以(0,0)不是极值点(3)f(x,y)无稳定点又注意到(0,0)是f(x,y)的极小值点,极小值f(0,0)=0说明:上例说明(2)偏导数不存在的点也可能为极值点临界点:满足的点或者偏导数不存在的点称为临界点定理

(极值点的必要条件)极值点必是函数的临界点(即梯度为零的点或者偏导数不存在的点)说明:(1)临界点未必一定是极值点,仅是必要条件(2)不是极值点的临界点称为鞍点(1)稳定点未必一定是极值点定理

(二阶充分条件)设z=f(x,y)在临界点P0=(x0,y0)的某邻域N(P0,δ)内具有二阶连续偏导数,则有(1)当时,P0为f的极小值点(2)当时,P0为f的极大值点(3)当H<0时,P0为f的鞍点(4)当H=0时,对P0不能作出定性结论记解例讨论下列函数的极值(1)(2)(3)(1)f是R2上的可微函数解得临界点P=(1,0)又由,知P=(1,0)是f的极小值点极小值:(2)f是R2上的可微函数解得临界点:1)若a0在P1处:P1=(0,0)是鞍点在P2处:P2=(0,a)是鞍点在P3处:P3=(a,0)是鞍点在P4处:当a>0时,f在P4处取得极大值:当a<0时,f在P4处取得极小值:2)若a=0此时并且H(0,0)=0,f(x,y)=xy(x+y)可知:在第一象限上f(x,y)<0在第三象限上f(x,y)>0所以,(0,0)是鞍点(3)这是隐函数求极值的问题将方程两边对x,y求偏导数有(1)(2)令代入原方程有所以使的点:再将(1)两边对x求偏导数(3)将(2)两边对y求偏导数(1)(2)(4)将(2)两边对x求偏导数(5)在点处,从(3),(4),(5)知又P1是极大值点,极大值z=2又P1是极小值点,极小值z=2在点处,(3),(4),(5)知3º最值问题条件极值最值问题设z=f(x,y)在有界闭区域D上连续,则f在D上可取得最值(最小值及最大值)设PD为f的最值点(1)若P在D的内部,则P为f的局部极值点,从而可用求局部极值的方法求得(2)若PD,若设D:(x,y)=0,则需解(6)其中,f(x,y)称为目标函数;(x,y)=0称为约束条件;

问题(6)称为f(x,y)的条件极值问题(或等式约束极值问题)所以,求f在D上的最值问题必须求解下面的两个问题:(1)求f在D内部的局部极值点(2)求f在D上的条件极值点例求在直线x+y=6,x轴,y轴所界闭区域D上的最大值和最小值解(2)再求f在D上的最值稳定点P1=(2,1)(1)先求f在D内部的极值点1)在x=0(0y6)上,f(0,y)=02)在y=0(0x6)上,f(x,0)=03)在x+y=6上,即y=6xx=0,x=4在x+y=6上可能的最值点为所以,f在D上的最大值说明:以上解条件极值问题的方法从(x,y)=0确定y=y(x),代入f,解一元问题即将二元条件极值问题通过消元化为一元函数的极值问题来解问题:从(x,y)=0解得y=y(x)是困难的拉格朗日提出了一种不解y=y(x)的方法4º拉格朗日乘数法(乘子法)(x,y)=0及等值线f(x,y)=c如图所示(1)在f(x,y)=c与(x,y)=0的交点处(非切点)f(x,y)不能取得最优值(2)在f(x,y)=c与(x,y)=0的切点A,B处f(x,y)取得最优值可以看到:考虑下面的条件极值问题(6)

所以,在最优值A,B处:(x,y)=0与某等值线f(x,y)=c有公共的切线(x,y)=0与f(x,y)=c有公共的法线(x,y)与f(x,y)在A,B处共线存在

λR,使

(7)

即在最优点(x0,y0)处应满足:存在

λ0使(8)令L(x,y,λ)=f(x,y)+λ(x,y)(拉格朗日函数)则上式可等价地表示为(9)即条件极值的必要条件:如果点(x0,y0)是问题(6)的最优点,则存在常数λ0R使对于一般的等式约束的极值问题(或规划问题)引入拉格朗日函数:其中(10)如果点是问题(10)的解,则存在常数,使条件极值(10)的必要条件:例求f(x,y,z)=x+y+z在圆上的极值解构造拉格朗日函数(11)(13)(12)(15)(14)z=1μ=1y=x代入(14)得所以,可能的极值点:注意到f在圆上的最小值,最大值此时即为f在圆上的极小值,极大值,所以极小值:极大值:解例试求n个正数,在其和为定值l的条件下,什么时候其乘积最大,并由此证明:设n个正数为,则问题是解构造拉格朗日函数:由于此点为f唯一可能的最值点,且f的最大值存在.所以当