实变函数-53new第五节Lesbesgue积分与Riemann关系

第五章分第五节第五节Lesbesgue积分与Riemannnbaf(x)dxlimf(i||T||0((L)f(x)dx[a,b]niiixi-xi-)f(x)Riemann可积当且仅当f(x的不连续点全体为

0分割T，使得ixinnbaf(x)dxlimMin||T||0||T||0nmixibafMMisup{f(x):xi1xxi}miinf{f(x):xi1xxi}iMi 对[a,b]作分划|T

|max{x(n)

(n)

1

lim|T(n)

|ix:ix:

xi- Darboux下积分

(n)

(n)

(n)

(x)dx

lim

(xi

xi1T(T(n):ax(n)x(n)x(n)x(n)012nM(n)sup{f(x):x(n)xx(n)}iim(n)inf{f(x):x(n)xx(n)}iibaf(x)dxnM(n)(xi (n)(n)i1

bbbb

(x)dx

f(x)dx

f

(x)dx

xi- 又对任意实数t{xE:(x)

为闭集故ω(x)为[a,b]上的可测函数，从而ω(x)L可积xxx对[a,b]作分划序xxx

引理的证T(n)

:a

(n)

(n)

(n)

(n)xknxk

n|T(|T(n)|max{x(n)x(n)i1iknlim|T(n)|M(n)im(n)x(x(n),x(n)T(n(x)iii1,2,3,,knx是T(n)的分n

xi- 令Ex令Ex[ab]:x是T(nn1,2,3,)},则mE0,且limT(n)(x)(x),x[a,b]令AB为f(x)[ab]上的上、下则对一切n有|n)(x|BA,由控制收敛定理可T[a,b]T(n(x)dx[a,b](x)dx,xi- [a[a,b]T(n(x)dx[a,b](x)dx,另一方lim[a,b]T(n(x)dxkn(M(n)i(n)(n)i)(xi(n))M(n)(x(n)ix(n))m(n)(n)i(xi(n))baf(x)dx bf(x)dxxi- Riemann可积的内在

证明：若f(x)Riemann可积,则f(x)bDarboux上、下积分相等b从 []b

xdxbab

xfdx

xf故(x)[ab]又(x)故(x)在[ab]上几乎处从而f(x)在[a,b]上的不连续点全体为零测度集上述过程反之也成立引理：设f(x)是E上有限实函数，则f(x)在x0∈E(L)f(x)dx(L)f(x)dx(R)[a,b]baf(x)dx定理：若f(x)在[a,b]上Riemann可积，则f(x)[a,b]上Lebesgue可积，f(x)在[a,b]上Riemann可积，Lesbesgue积分与RiemannT:a

xn [a,b]f(x)dx[nf(x)dx ,x另m(xi1x)i[f(x)dxM(x ,xi1xi sup{f(x):xi1xxi inf{f(x):xi1xxi根据Lesbesgue积分的可加性，我们 另外mi

xi)

,x

f(x)dx

Mi

xi其中M

sup{f(x):xi1

xi

miinf{f(x):xi1x

从而从而mi(xi1xi[a,b]f(x)dxMi(xi1xinn[a,b]f(x)dxbaf(x)dxbaf(x)dxxi- (R)1x1(1x2)解解令f(xnx2(1x2,x则fn

[1,1](1x2xdx1(1x212x从而dxn2 x2[(L)例 例n141312证明ln21(1x)(x2x3)(x2n2x2n1),0x11n解：令f(xx2n2x2n1x(0,1nnfn

(0,1)1 dx(L)f(x)dxnf(x)dxn(R) f1n0(R) (x12n20( 1)2n11121314n另外另外(0,1)1 dx(R)1 dxln01例Dirichlet函数不Riemann可 D(x)

Riemann函数Riemann可

( 0f(x)dx0f(x)dx2f(x)sinxx155例：f(x)有暇积分但不Lebesgue可(1)n1

xf(x)

x0

((R)10f(x)dx1ln 意实数c(0≤c≤1)总有那么f(x)=0a.e.于[0,c]f(x)dx证明：证明：由c[0,1[0,c]f(x)dx故故a，b[0,1ab有(a,b)f(x)dx(0,b)f(x)dx(0,a]f(x)dx若结若结论不成立，则E0,1]，mE且在E上的f(x)0，不妨令f(x)在E上大于证明（续 f(x)dx f(x)dx

xfdxGxfdx),(xfdxFxfdx所以f(x)=0a.e.于第五章分Lesbesgue积分的几何意义与Fubini我们定义Lebesgue积分的初衷之一是求函数下方图形G(f,E)(以非负函数形G(f,E)是可测集，因本身不是可测函数的f而未定义积分值呢？为此，我们先

(x,

y)dxdy

f

f(x,

[a,b][c,d

badcf(x,badcf(x,定理1设ERpq

是可测集， 对Rp中几乎所有的x，Ex是Rq中的可测（其中Ex{y|xy)m(E)

m(Ex证明参

AB定理2：设A,B分别是Rp和Rq中的可测集则A×B是Rp+q中的可测集且m(AB)mA

证明参 定理3设f(x)为可测集ERn上的非负函数G(E;f)={(x,y)|x∈E，0≤yf(x)}

Ef(x)dxmG(E;f证明参

f(p)