四边形知识点经典总结

四边形知识点：一、关系构造图：二、知识点解说：1．平行四边形的性质（要点）：（1）两组对边分别平行；（2）两组对边分别相等；ABCD是平行四边形?（3）两组对角分别相等；（4）对角线相互均分；（5）邻角互补.平行四边形的判断（难点）：.矩形的性质：（1）拥有平行四边形的全部通性;由于ABCD是矩形?（2）四个角都是直角;（3）对角线相等.(4)是轴对称图形.它有两条对称轴．矩形的判断：矩形的判断方法：(1)有一个角是直角的平行四边形；有三个角是直角的四边形；对角线相等的平行四边形；对角线相等且相互均分的四边形．?四边形ABCD是矩形.菱形的性质：（1）拥有平行四边形的全部通性；由于ABCD是菱形?（2）四个边都相等；（3）对角线垂直且均分对角.菱形的判断：（1）平行四边形一组邻边等（2）四个边都相等?四边形四边形ABCD是菱形.（3）对角线垂直的平行四边形正方形的性质：（1）拥有平行四边形的全部通性；ABCD是正方形?（2）四个边都相等，四个角都是直角；（3）对角线相等垂直且均分对角.正方形的判断：（1）平行四边形一组邻边等（2）菱形一个直角（3）矩形一组邻边等

一个直角

?四边形

ABCD是正方形

.名定义性质判断面积称两组对边分①对边平行；①定义；S=ah(a为一边别平行的四②对边相等；②两组对边分别相等的四边长.h为这条边上平的高)边形叫做平③对角相等；形；行行四边形。④邻角互补；③一组对边平行且相等的四四⑤对角线相互均分；边形；边⑥是中心对称图形④两组对角分别相等的四边形形；⑤对角线相互均分的四边形。有一个角是除拥有平行四边形的性质外.还有：①有三个角是直角的四边形S=ab(a为一边矩直角的平行①四个角都是直角；②对角线相等；是矩形；②对角线相等的平行长.b为另一边长)形四边形叫做③既是中心对称图形又是轴对称图四边形是矩形；③定义。矩形形。有一组邻边除拥有平行四边形的性质外.还有①①四条边相等的四边形是菱①S=ah(a为一边相等的平行四边形相等；②对角线相互垂直.且形；②对角线垂直的平行四边长.h为这条边上菱的高)；四边形叫做每一条对角线均分一组对角；③既是形是菱形；③定义。形②(b、c为两条对菱形。中心对称图形又是轴对称图形。角线的长)有一组邻边拥有平行四边形、矩形、菱形的性质：①有一组邻边相等的矩形是①(a为边长)；正相等且有一①四个角是直角.四条边相等；②对正方形；②有一个角是直角的②(b为对角线长)方个角是直角角线相等.相互垂直均分.每一条对菱形是正方形；③定义。形的平行四边角线均分一组对角；③既是中心对称形叫做正方图形又是轴对称图形。形三．精典例题解答：1．已知：如图.E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点.AE=CF。求证：（1）△ADF≌△CBE；（2）EB∥DF。证明：（1）∵AE=CF∴AE+EF=CF+FE即AF=CE又ABCD是平行四边形.∴AD=∥BC∴∠DAF=∠BCE在△ADF与△CBE中∴△ADF≌△CBE（SAS）（2）∵△ADF≌△CBE∴∠DFA=∠BEC∴DF∥EB例1图

例2图2．如图.平行四边形

ABCD的对角线

AC、BD订交于点、F是直线

AC上的两点

.而且

AE=CF.求证：四边形

BFDE是平行四边形。证明：∵四边形ABCD是平行四边形OA==OD又∵AE=CFOA+AE=OC+CF即OE=OF四边形BFDE是平行四边形3．如图.在梯形纸片ABCD中.AD∥>CD.将纸片沿过点D的直线折叠.使点C落在AD上的点C’处.折痕DE交BC于点E.连结。求证：四边形是菱形。证明：依据题意可知则..∵AD∥BC∴∴∠CDE=∠CED∴CD=CE∴∴四边形为菱形例3图问线段

4．把正方形ABCD绕着点A.按顺时针方向旋转获得正方形HG与线段HB相等吗请先察看猜想.而后再证明你的猜想。

AEFG.边

FG与

BC交于点

H（如图）。试解：HG=HB。证法1：连结AH.∵四边形都是正方形∴∠B=∠G=90°由题意知AG=AB.又AH=AH∴Rt△AGH≌Rt△ABH（HL）∴HG=HB证法2：连结GB∵四边形都是正方形∴∠ABC=∠AGF=90°由题意知AB=AG∴∠AGB=∠ABG∴∠ABC-∠ABG=∠AGF-∠AGB即∠HBG=∠HGBHG=HB5．如图.正方形ABCD绕点A逆时针旋转n°后获得正方形AEFG.边EF与CD交于点O。（1）以图中已标有字母的点为端点连结两条线段（正方形的对角线除外）.要求所连结的两条线段相交且相互垂直.交说明这两条线段相互垂直的原因；（2）若正方形的边长为2cm.重叠部分（四边形AEOD）的面积为.求旋转的角度n。解：（1）我连结的两条订交且相互垂直的线段是____AO____和____DE____。原因以下：∵在Rt△ADO与Rt△AEO中.AD==AO.Rt△ADO≌Rt△AEO∠DAO=∠OAE（即AO均分∠DAE）AO⊥DE（等腰三角形的三线合一）注：其余的结论也建立如GD⊥BE。2）∵四边形AEOD的面积为三角形ADO的面积=AD=2∴∴∠DAO=30°∴∠EAB=30°即旋转的角度是30°例5图例6图6．四边形ABCD、DEFG都是正方形.连结AE、CG。1）求证：AE=CG；2）察看图形.猜想AE与CG之间的地点关系.并证明你的猜想。证明：（1）如图.AD==DG.∠ADC=∠GDE=90°又∠CDG=90°+∠ADG=∠ADE∴△ADE≌△CDGAE=CG2）猜想：AE⊥CG。证明：如图.设AE与CG交点为与CG交点为N∵△ADE≌△CDG∴∠DAE=∠DCG又∵∠ANM=∠CND∴△AMN∽△CDN∴∠AMN=∠ADC=90°AE⊥CG7．已知：如图.在△ABC中.AB=⊥BC.垂足为点是△ABC外角∠CAM的均分线.CE⊥AN.垂足为点E.1）求证：四边形ADCE为矩形；2）当△ABC知足什么条件时.四边形ADCE是一个正方形并给出证明。证明：（1）在△ABC中.AB=⊥BC∴∠BAD=∠DACAN是△ABC外角∠CAM的均分线∴∠MAE=∠CAE∴又∵AD⊥⊥AN∴∠ADC=∠CEA=90°∴四边形ADCE为矩形2）当时（答案不独一）.四边形ADCE是正方形。证明：∵AB=⊥BC于D∴又DC=AD由（1）四边形ADCE为矩形∴矩形ADCE是正方形例8图8．将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠.使点C与A重合.点D落各处.折痕为EF。1）求证：△ABE≌△AD′F；2）连结CF.判断四边形AECF是什么特别四边形证明你的结论。证明：（1）由折叠可知：..∵四边形ABCD是平行四边形∴∠B=∠=CD.∠C=∠BAD∴∠B=∠D′.AB=AD′D′AE=∠BAD.即∠1+∠2=∠2+∠3∴∠1=∠3∴△ABE≌△AD′F2）四边形AECF是菱形。由折叠可知：AE=EC.∠4=∠5∵四边形ABCD是平行四边形AD∥BC∠5=∠6∠4=∠6AF=AEAE=ECAF=EC又∵AF∥EC∴四边形AECF是平行四边形AF=AE∴四边形AECF是菱形。9．以下列图.已知P正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合).PE⊥BC于点⊥CD于点F．1）求证：BP=DP；2）若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转.在旋转过程中能否总有BP=DP假如.请赐予证明；若不是.请用反例加以说明；3）试选用正方形ABCD的两个极点.分别与四边形PECF的两个极点连结.使获得的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度一直相等.并证明你的结论．思路剖析：（1）解法一：在△ABP与△ADP中.利用全等可得BP=DP．解法二：利用正方形的轴对称性.可得BP=DP．（2）不是总建立．当四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转.点P旋转到BC边上时DP>DC>BP此.时BP=DP不建立．说明：未用举反例的方法说理的不得分．3）连结BE、DF.则BE与DF一直相等．在图中.可证四边形PECF为正方形.在△BEC与△DFC中.可证△BEC≌△DFC．进而有BE=DF10．为创立绿色校园.学校决定对一块正方形的空地进行栽种花草.现向学生搜集设计图案．图案要求只好用圆弧在正方形内加以设计.使正方形和所画的图弧组成的图案.既是轴对称图形又是中心对称图形．栽种花草部分用暗影表示．请你在图③、图④、图⑤中画出三种不一样的的设计图案．提示：在两个图案中.只有半径变化而圆心不变的图案属于同一种.比如：图①、图②只好算一种．解：以下为不一样情况下的部分正确画法.答案不独一．11．如图.等腰梯形ABCD中.AB==20.∠C=30°。点M、N同时以同样速度分别从点A、点D开始在AB、AD（包含端点）上运动。1）设ND的长为x.用x表示出点N到AB的距离.并写出x的取值范围。2）设.用t表示△AMN的面积。3）求△AMN的面积的最大值.并判断取最大值时△AMN的形状。解：（1）过点N作BA的垂线NP.交BA的延伸线于点P。由已知：.。∵四边形ABCD是等腰梯形.AB∥CD.∠D=∠C=30°.∴∠PAN=∠D=30°。在Rt△APN中..即点N到AB的距离为。∵点N在AD上..点M在AB上..x的取值范围是。2）依据（1）.。3）∵.∴当t=0时.即x=10时.有最大值25。当x=10时.即ND=AM==AD-ND=10即.AM=AN。此时.△AMN为等腰三角形。12．（08通州22改编）如图.在ABCD中.AB==6cm.∠DAB=60°.点M是边AD上一点.且DM=2cm点.E、F分别是边AB、BC上的点.EM、CD的延伸线交于交AD于O.设AE=CF=x.1）试用含x的代数式表示△