地基基础-柱下条形基础课件

基础设计

主讲：庄鹏基础设计

主讲：庄鹏1第二章柱下条形基础1.适用：上部结构荷载较大，地基承载力较低。柱下条形基础柱下十字交叉条形基础2.目的：减小地基反力，调整不均匀沉降。3.单向条形基础：把一个方向的单列柱基连在一起。4.双向条形基础：又称十字交叉条形基础。第一节概述

第二章柱下条形基础1.适用：上部结构荷载较大，地基2(a)条形基础(b)十字交叉条形基础柱下条形基础5.柱下条基设计横向：翼板抗剪、抗弯

纵向：基础梁抗剪、抗弯(a)条形基础(b)十字交叉条形基础5.柱下3第二节柱下条形基础的构造

1.翼板：h=200~250bHb1h250i1:3bHb1200

宽度b：按地基承载力计算确定。

厚度h：根据抗剪计算确定。一般h

200mm；

h=200~250mm时，宜用等厚度翼板；

h

>250mm时，宜用变厚度翼板，坡度i1:3。

第二节柱下条形基础的构造1.翼板：h=200~242.肋梁：

高度H：由计算确定，一般宜为柱距的1/4~1/8

宽度b1：应比该方向的柱截面稍大2.肋梁：高度H：由计算确定，一般宜为5条基两端外伸长度外伸长度宜为第一跨距的1/4。基础梁顶面和底面的纵向受力钢筋由计算确定。顶部钢筋按计算配筋全部贯通；底部通长钢筋不应少于底部受力钢筋总面积的1/3。基础梁的纵向构造钢筋与拉筋当肋梁的腹板高度大于450mm时，应在肋梁的两侧加配纵向构造钢筋，每侧的面积不应少于腹板截面面积的0.1%，间距不宜大于200mm。条基两端外伸长度6梁两侧的纵向构造钢筋，宜用拉筋连接，拉筋直径与箍筋相同，间距500~700mm，一般为两倍的箍筋间距。翼板的钢筋横向受力钢筋由计算确定。其直径不应小于10mm，间距100~200mm。纵向分布钢筋可用8~10mm，间距不大于300mm。柱下条形基础的混凝土强度等级不应低于C20。梁两侧的纵向构造钢筋，宜用拉筋连接，拉筋7条形基础底板横向受力钢筋布置示意图条形基础底板横向受力钢筋布置示意图8第三节简化计算法

一、基础底面尺寸的确定

地基承载力计算（复习）

中心受压

偏心受压

第三节简化计算法一、基础底面尺寸的确定偏9确定基础底面尺寸的步骤：

(1)求荷载合力重心位置

合力作用点距Fl的距离为

F1M1F2M2F3M3F4M4aa1a2Lxc基础计算简图(2)确定基础梁的长度和悬臂尺寸选定基础梁从左边柱轴线的外伸长度为a1

从右边柱轴线的外伸长度a2

a2=Laal

基础梁的总长度L

L=2（xc+a1）

确定基础底面尺寸的步骤：F1F2F3F4aa1a2Lxc基础10(3)按地基承载力计算所需的条形基础底面积A，进而确定底板宽度b。

二、翼板的计算1．地基净反力计算基底沿宽度b方向的地基净反力翼板的计算简图

2．翼板厚度确定按斜截面抗剪能力确定。柱或墙边的剪力设计值为(3)按地基承载力计算所需的条形基础底面积A，进而确定底11翼板厚度应满足抗剪要求

式中h截面高度影响系数，

h0800mm时，取800mm，

h02000mm时，取2000mm；

h0

翼板的有效高度。

求得翼板的有效高度h0，翼板厚度h为h=h0+40（基底有垫层）h=h0+70~75（基底无垫层）翼板厚度应满足抗剪要求式中h截面高度影响系数，123．翼板抗弯钢筋翼板作为悬臂，柱或墙边的弯矩设计值翼板的抗弯钢筋翼板的计算简图3．翼板抗弯钢筋翼板的抗弯钢筋翼板的计13三、基础内力分析

1．静力平衡法中心受压：偏心受压：基底单位宽度的净反力：

直线分布法的基底反力分布jjj三、基础内力分析1．静力平衡法中心受压：14基本思路：将基底净反力与柱荷载一起作用于基础梁上，按一般静定梁的内力分析方法，取隔离体计算各截面的弯矩和剪力。对于中心受压情况分段内力方程为静力平衡法计算简图基本思路：将基底净反力与柱荷载一起作用于基础梁上，按一般静定152．倒梁法基本思路：以柱脚为固定铰支座，以地基净反力当作基础梁上的荷载，将基础梁视作倒置的多跨连续梁，用弯矩分配法或连续梁系数法来计算其内力。荷载分解图pjpj=pjpj+倒梁法计算简图2．倒梁法荷载分解图pjpj=pjpj+倒梁法16（1）悬臂端处理

a.考虑对其它跨的影响。悬臂端弯矩传给其它支座。一般用弯矩分配法计算。

b.不考虑对其它跨的影响。悬臂端的弯矩，全由悬臂端承担，不再传给其它支座。（2）中间连续梁部分

a．用连续梁系数法计算。b．用弯矩分配法计算。荷载分解图pjpj=pjpj+（1）悬臂端处理荷载分解图pjpj=pjpj+17（3）不平衡力调整

不平衡力：按倒梁法计算的支座反力Ri一般与柱子的作用力Fi不相等。

原因：a.没有考虑土与基础以及上部结构的相互作用；b.假定地基反力按直线分布与事实不符。

调整方法：逐次调整法来消除不平衡力。

步骤如下：（3）不平衡力调整18c．继续计算调整荷载qi引起的内力和支座反力，并重复计算不平衡力，直至小于容许值（一般不超过荷载的20%)。d.将逐次计算的结果叠加，即为最终内力计算结果。l0l1li-1lili+1li+1l0l1/3l1/3li-1/3li-1/3li/3li/3q1qi-1qiqi+1调整荷载计算简图对边跨支座

对中间支座

a．计算各柱脚的不平衡力

Ri=FiRib．将各支座的不平衡力均匀分布在相邻两跨的各1/3跨度范围内，悬挑部分取全长。c．继续计算调整荷载qi引起的内力和支座反力，并重复计算不19倒梁法计算步骤如下（1）根据初步选定的柱下条形基础尺寸和作用荷载，确定计算简图。（2）计算基底净反力及分布。按刚性梁基底反力线性分布进行计算。（3）用弯矩分配法或弯矩系数法计算弯矩和剪力。（4）调整不平衡力。（5）继续用弯矩分配法或弯矩系数法计算内力，并重复步骤（4），直至不平衡力在计算容许精度范围内。一般不超过荷载的20%。（6）将逐次计算结果叠加，得到最终内力分布。倒梁法计算步骤如下20第四节弹性地基梁法

一、文克尔地基模型

假定:地基任一点所受的压力强度只与该点的地基变形成正比，而不影响该点以外的变形

p=ks式中p

——地基上任一点的压力强度，kN/m2

k

——地基基床系数，表示产生单位变形所需的压力强度，kN/m3

s

——压力作用点的地基变形，m

第四节弹性地基梁法一、文克尔地基模型21

（a）非均匀荷载（b）集中荷载（c）刚性荷载（d）均布柔性荷载文克尔地基模型（a）非均匀荷载（b）集22（a）基底反力（b）微分单元受力弹性地基梁计算简图二、弹性地基梁挠曲微分方程

设梁宽为b，根据微分梁单元上竖向力的平衡可得整理得（a）基底反力23根据文克尔地基假设，及地基沉降与基础梁的挠曲变形协调条件s=w，可知材料力学中梁的挠曲微分方程为M对x求二阶导数因此有p=ks=kw

代入上式得由知上式即为文克尔地基上梁的基本挠曲微分方程。根据文克尔地基假设，及地基沉降与基础梁的挠曲变形协调条件s24上式可写成为求解，先考虑梁上无荷载部分，或当梁上的分布荷载q=0时的情况。梁的挠曲微分方程变为齐次方程令

微分方程的通解为

式中C1、C2、C3、C4——待定参数，根据荷载及边界条件确定上式可写成为求解，先考虑梁上无荷载部分，或当梁上的分布荷载25弹性地基梁可按x值的大小分为下列三种类型：（1）无限长梁：荷载作用点与两端的距离都大于/；又称柔性梁。x/x

/Fx

/x

/Fx

/x

/F（2）半无限长梁：荷载作用点与一端的距离大于/，与另一端的距离小于/；又称有限刚度梁。（3）有限长梁：荷载作用点与两端的距离都小于/；又称刚性梁。

弹性地基梁可按x值的大小分为下列三种类型：x/x26三、无限长梁的解1．无限长梁受集中力F0作用(向下为正)

设集中力作用点为坐标原点O，边界条件为（1）当x∞时，w=0；（2）当x=0时，dw/dx=0；（3）当x=0+（为无限小量)时，V=F0/2；将边界条件（1）代入挠度方程，可得C1=C2=0。三、无限长梁的解设集中力作用点为坐标原点O，边界条件为27于是梁的挠度方程为

由此可得将边界条件(2)代入，可得C3=C4=C

，则上式改写为边界条件（3）挠度公式(x0)于是梁的挠度方程为由此可得将边界条件(2)代入，可得C328转角

=dw/dx，弯矩M=EId2w/dx2，和剪力Q=EId3w/dx3。计算公式（x0情况）如下上式Ax，Bx，Cx，Dx四个系数均是x的函数，可查表。挠度

转角

弯矩剪力

其中转角=dw/dx，弯矩M=EId2w/dx2，和剪29对于梁的左半部(x0)可利用对称关系求得，其中挠度w、弯矩M和地基反力p是关于原点O对称的，而转角、剪力V是关于原点反对称的。在计算时，x取距离的绝对值，w和M的正负号与x0时相同，但

和V取相反符号。

集中力作用下的挠度、转角、弯矩M、剪力V分布图

对于梁的左半部(x0)可利用对称关系求得，其中挠度w、弯302．无限长梁受集中力偶M0的作用(顺时针方向为正)

以集中力偶M0作用点为坐标原点O，边界条件有（1）当x∞时，w=0；（2）当x=0时，w=0；（3）当x=0时，M=EId2w/dx2=M0/2；由以上边界条件可得C1=C2=0

C3=0

2．无限长梁受集中力偶M0的作用(顺时针方向为正)以集中力31可得x0时无限长梁受集中力偶M0

作用的计算公式

挠度转角弯矩剪力对于梁的左半部(x0)，x取距离的绝对值，w和M符号与上式相反，

和V

取相同符号。

集中力偶作用下的挠度、转角、弯矩M、剪力V分布图

可得x0时无限长梁受集中力偶M0作用的计算公式挠度323．若干集中荷载作用下的无限长梁

若干集中荷载作用下的无限长梁利用叠加原理，可求得O点的弯矩与剪力3．若干集中荷载作用下的无限长梁若干集中荷载作用下的无限长33例题：已知柱下条形基础上作用三个集中力，均为F=180kN，相距4.0m，基础梁宽度1.0m，抗弯刚度EbIb=3.48105kNm2，地基基床系数k=5.0104kN/m3。试求F2作用点处基础梁的弯矩和剪力。（设基础梁为无限长梁）

40004000F1F2F3例题：已知柱下条形基础上作用三个集中力，均为F=180kN，34四、半无限长梁的解

1．半无限长梁受集中力F0作用(向下为正)取坐标原点在F0作用点，边界条件有（1）当x∞时，w=0；（2）当x=0时，M=EId2w/dx2=0；（3）当x=0时，V=EId3w/dx3=F0；由以上边界条件可得C1=C2=0C4=0

四、半无限长梁的解1．半无限长梁受集中力F0作用(向下为正35半无限长梁受集中力F0

作用时的计算公式如下

挠度转角弯矩剪力半无限长梁受集中力F0作用时的计算公式如下挠度转角弯矩剪362．半无限长梁受集中力偶M0的作用(顺时针方向为正)

取坐标原点在M0作用点，边界条件有（1）当x∞时，w=0；（2）当x=0时，M=EId2w/dx2=M

0；（3）当x=0时，V=0

由以上边界条件可得C1=C2=02．半无限长梁受集中力偶M0的作用(顺时针方向为正)取坐标37半无限长梁受集中力M0

作用时的计算公式如下

挠度转角弯矩剪力半无限长梁受集中力M0作用时的计算公式如下挠度转角弯矩剪383．半无限长梁受离杆端c处集中荷载F0作用(向下为正)

将梁向左边延伸，使半无限梁成为无限长梁。半无限长梁在A处的边界条件是：M=0，V=0延伸为无限长梁后，A处便有内力（令=c）须在A处施加两个集中荷载（集中力FA和集中力偶MA），使梁在F0及集中荷载作用下，A处的内力叠加后满足原梁的实际边界条件。003．半无限长梁受离杆端c处集中荷载F0作用(向下为正)将39在KK截面上的、M、V值应是F0、FA、MA作用下叠加的结果。求得最后结果如下：

挠度弯矩剪力0A式中的、、是=x、的函数，可查表确定。

在KK截面上的、M、V值应是F0、FA、MA404．半无限长梁受离杆端c处集中力偶M0作用(顺时针方向为正)

将半无限长梁向左延伸为无限长梁，端部A处便有内力FA、MA，在A处施加两个集中荷载，使梁在M0及集中荷载作用下，A处的内力叠加后满足原梁的实际边界条件。4．半无限长梁受离杆端c处集中力偶M0作用(顺时针方向为正)41在KK截面上的、M、V值应是M0、FA、MA作用下叠加的结果，求得结果如下

挠度弯矩剪力式中的、、是、的函数，可查表确定。

在KK截面上的、M、V值应是M0、FA、MA作用下叠42例题：某柱下条形基础如图，F1=1400kN，F2=2100kN，地基柔度系数=0.35，求F1与F2作用下地基梁A的总弯矩与总剪力。F1F2F3F4F5F6F7F81200078000=56000A例题：某柱下条形基础如图，F1=1400kN，F2=210043作业题：某柱下条形基础如图，F1=1200kN，F2=2000kN，地基柔度系数=0.40，求F1与F2作用下地基梁A的总弯矩与总剪力。F1F2F3F4F5F6F7F8900076000=42000A作业题：某柱下条形基础如图，F1=1200kN，F2=20044五、有限长梁的解

对于有限长梁，荷载作用对梁端的影响不可忽略。此时可利用无限长梁解和叠加原理求解。有限长梁的计算具体的计算步骤如下：（1）把有限长梁I延长到无限长，计算无限长梁II上相应于有限长梁I的两端A和B截面由于外荷载引起的内力Ma、Va和Mb、Vb；（2）按无限长梁计算梁端附加荷载MA、VA和MB、VB；（3）再按叠加原理计算在已知荷载和虚拟荷载共同作用下无限长梁II上相应于有限长梁I各点的内力，这就是有限长梁I的解。五、有限长梁的解对于有限长梁，荷载作用对梁端的影响不可忽略45第五节十字交叉条形基础

十字交叉条形基础：是由柱网下的纵横两方向条形基础组成的空间结构，可以增大基础底面积及基础刚度，减少基底附加压力和基础不均匀沉降。柱下十字交叉条形基础内力计算方法：一般常采用简化方法。简化计算时，将柱荷载按一定原则分配到纵、横两个方向的条形基础上，然后分别按单向条形基础进行内力计算与配筋。第五节十字交叉条形基础十字交叉条形基础：是由柱网下的46柱下十字交叉条形基础节点荷载一、节点荷载的初步分配1．节点荷载的分配原则节点荷载一般按下列原则进行分配：（1）满足静力平衡条件

Fi=Fix+Fiy（2）满足变形协调条件

ix=iy=s

各节点纵、横两个方向的力矩分别由纵、横方向的基础梁单独承担，不再分配。柱下十字交叉条形基础节点荷载一、节点荷载的初步分配各节点47柱下十字交叉条形基础节点类型柱下十字交叉条形基础节点类型482．节点荷载的分配方法（1）内柱节点

根据无限长梁受集中荷载作用的解，可得x向条形基础在Fix作用下i

节点的沉降（x=0时，Ax=1）为其中为x向梁的刚度特征值（m）

2．节点荷载的分配方法根据无限长梁受集中荷载作用的解，可得49同理由节点变形协调条件ix=iy得根据静力平衡条件Fi=Fix+Fiy，可解得

（2）边柱节点

假定x

向是无限长梁，y

向是半无限长梁，节点基本方程为（x=0时，Ax=1，Dx=1）同理由节点变形协调条件ix=iy得根据静力平衡条件F50求解得

Fi=Fix

+Fiy

当边柱有伸出悬臂长度时，可取悬臂长度ly=(0.6~0.75)Sy。节点的荷载分配为

式中——系数，可查表。、值表l/S0.600.620.640.650.660.670.680.690.700.710.730.751.431.411.381.361.351.341.321.311.301.291.261.242.802.842.912.942.973.003.033.053.083.103.183.23求解得Fi=Fix+Fiy当边柱有伸出悬臂长度时，51（3）角柱节点柱荷载可分解为作用在两个半无限长梁的荷载Fix和Fiy，根据半无限长梁的解，可推导出节点荷载分配公式同内柱节点（x=0时，Dx=1）。式中——系数，可查表。当角柱节点仅在一个方向伸出悬臂时，悬臂长度取lx=(0.6~0.75)Sx，节点荷载分配公式为（3）角柱节点柱荷载可分解为作用在两个半无限长梁的荷载Fix52二、节点荷载的调整原因：柱荷载分配后分别按纵、横两个方向的条形基础计算，在交叉点处基础重叠部分面积重复计算了一次，人为地扩大了承载面积。结果使地基反力减小，致使计算结果偏于不安全，故在节点荷载分配后还需进行调整。1．计算调整前的地基平均反力

式中∑F——交叉条形基础上竖向荷载的总和；

∑A——交叉条形基础支承总面积；

∑A——交叉条形基础节点处重叠面积之和。二、节点荷载的调整1．计算调整前的地基平均反力式中∑F532．地基反力增量调整后的地基平均反力为式中，m为修正系数，代入上式得于是有其中式中p——地基反力增量。2．地基反力增量式中，m为修正系数，代入上式得于是有其543．x、y方向分配荷载增量将p按节点分配荷载和节点荷载的比例折算成分配荷载增量，对任一节点

i，x、y方向分配荷载增量Fix、Fiy分别为式中，Ai——为节点i处基础重叠面积。3．x、y方向分配荷载增量式中，Ai——为节点i处基础55基础重叠面积计算（1）内柱和带悬挑的板带

A=bx·by（2）边柱、无悬挑的板带和边缘横向板带

A=bx·by

/2

节点处基础重叠面积按下面方法计算

4．调整后的分配荷载

调整后节点荷载在x、y方向分配荷载分别为

基础重叠面积计算（1）内柱和带悬挑的板带节点处基础重叠面积56基础设计

主讲：庄鹏基础设计

主讲：庄鹏57第二章柱下条形基础1.适用：上部结构荷载较大，地基承载力较低。柱下条形基础柱下十字交叉条形基础2.目的：减小地基反力，调整不均匀沉降。3.单向条形基础：把一个方向的单列柱基连在一起。4.双向条形基础：又称十字交叉条形基础。第一节概述

第二章柱下条形基础1.适用：上部结构荷载较大，地基58(a)条形基础(b)十字交叉条形基础柱下条形基础5.柱下条基设计横向：翼板抗剪、抗弯

纵向：基础梁抗剪、抗弯(a)条形基础(b)十字交叉条形基础5.柱下59第二节柱下条形基础的构造

1.翼板：h=200~250bHb1h250i1:3bHb1200

宽度b：按地基承载力计算确定。

厚度h：根据抗剪计算确定。一般h

200mm；

h=200~250mm时，宜用等厚度翼板；

h

>250mm时，宜用变厚度翼板，坡度i1:3。

第二节柱下条形基础的构造1.翼板：h=200~2602.肋梁：

高度H：由计算确定，一般宜为柱距的1/4~1/8

宽度b1：应比该方向的柱截面稍大2.肋梁：高度H：由计算确定，一般宜为61条基两端外伸长度外伸长度宜为第一跨距的1/4。基础梁顶面和底面的纵向受力钢筋由计算确定。顶部钢筋按计算配筋全部贯通；底部通长钢筋不应少于底部受力钢筋总面积的1/3。基础梁的纵向构造钢筋与拉筋当肋梁的腹板高度大于450mm时，应在肋梁的两侧加配纵向构造钢筋，每侧的面积不应少于腹板截面面积的0.1%，间距不宜大于200mm。条基两端外伸长度62梁两侧的纵向构造钢筋，宜用拉筋连接，拉筋直径与箍筋相同，间距500~700mm，一般为两倍的箍筋间距。翼板的钢筋横向受力钢筋由计算确定。其直径不应小于10mm，间距100~200mm。纵向分布钢筋可用8~10mm，间距不大于300mm。柱下条形基础的混凝土强度等级不应低于C20。梁两侧的纵向构造钢筋，宜用拉筋连接，拉筋63条形基础底板横向受力钢筋布置示意图条形基础底板横向受力钢筋布置示意图64第三节简化计算法

一、基础底面尺寸的确定

地基承载力计算（复习）

中心受压

偏心受压

第三节简化计算法一、基础底面尺寸的确定偏65确定基础底面尺寸的步骤：

(1)求荷载合力重心位置

合力作用点距Fl的距离为

F1M1F2M2F3M3F4M4aa1a2Lxc基础计算简图(2)确定基础梁的长度和悬臂尺寸选定基础梁从左边柱轴线的外伸长度为a1

从右边柱轴线的外伸长度a2

a2=Laal

基础梁的总长度L

L=2（xc+a1）

确定基础底面尺寸的步骤：F1F2F3F4aa1a2Lxc基础66(3)按地基承载力计算所需的条形基础底面积A，进而确定底板宽度b。

二、翼板的计算1．地基净反力计算基底沿宽度b方向的地基净反力翼板的计算简图

2．翼板厚度确定按斜截面抗剪能力确定。柱或墙边的剪力设计值为(3)按地基承载力计算所需的条形基础底面积A，进而确定底67翼板厚度应满足抗剪要求

式中h截面高度影响系数，

h0800mm时，取800mm，

h02000mm时，取2000mm；

h0

翼板的有效高度。

求得翼板的有效高度h0，翼板厚度h为h=h0+40（基底有垫层）h=h0+70~75（基底无垫层）翼板厚度应满足抗剪要求式中h截面高度影响系数，683．翼板抗弯钢筋翼板作为悬臂，柱或墙边的弯矩设计值翼板的抗弯钢筋翼板的计算简图3．翼板抗弯钢筋翼板的抗弯钢筋翼板的计69三、基础内力分析

1．静力平衡法中心受压：偏心受压：基底单位宽度的净反力：

直线分布法的基底反力分布jjj三、基础内力分析1．静力平衡法中心受压：70基本思路：将基底净反力与柱荷载一起作用于基础梁上，按一般静定梁的内力分析方法，取隔离体计算各截面的弯矩和剪力。对于中心受压情况分段内力方程为静力平衡法计算简图基本思路：将基底净反力与柱荷载一起作用于基础梁上，按一般静定712．倒梁法基本思路：以柱脚为固定铰支座，以地基净反力当作基础梁上的荷载，将基础梁视作倒置的多跨连续梁，用弯矩分配法或连续梁系数法来计算其内力。荷载分解图pjpj=pjpj+倒梁法计算简图2．倒梁法荷载分解图pjpj=pjpj+倒梁法72（1）悬臂端处理

a.考虑对其它跨的影响。悬臂端弯矩传给其它支座。一般用弯矩分配法计算。

b.不考虑对其它跨的影响。悬臂端的弯矩，全由悬臂端承担，不再传给其它支座。（2）中间连续梁部分

a．用连续梁系数法计算。b．用弯矩分配法计算。荷载分解图pjpj=pjpj+（1）悬臂端处理荷载分解图pjpj=pjpj+73（3）不平衡力调整

不平衡力：按倒梁法计算的支座反力Ri一般与柱子的作用力Fi不相等。

原因：a.没有考虑土与基础以及上部结构的相互作用；b.假定地基反力按直线分布与事实不符。

调整方法：逐次调整法来消除不平衡力。

步骤如下：（3）不平衡力调整74c．继续计算调整荷载qi引起的内力和支座反力，并重复计算不平衡力，直至小于容许值（一般不超过荷载的20%)。d.将逐次计算的结果叠加，即为最终内力计算结果。l0l1li-1lili+1li+1l0l1/3l1/3li-1/3li-1/3li/3li/3q1qi-1qiqi+1调整荷载计算简图对边跨支座

对中间支座

a．计算各柱脚的不平衡力

Ri=FiRib．将各支座的不平衡力均匀分布在相邻两跨的各1/3跨度范围内，悬挑部分取全长。c．继续计算调整荷载qi引起的内力和支座反力，并重复计算不75倒梁法计算步骤如下（1）根据初步选定的柱下条形基础尺寸和作用荷载，确定计算简图。（2）计算基底净反力及分布。按刚性梁基底反力线性分布进行计算。（3）用弯矩分配法或弯矩系数法计算弯矩和剪力。（4）调整不平衡力。（5）继续用弯矩分配法或弯矩系数法计算内力，并重复步骤（4），直至不平衡力在计算容许精度范围内。一般不超过荷载的20%。（6）将逐次计算结果叠加，得到最终内力分布。倒梁法计算步骤如下76第四节弹性地基梁法

一、文克尔地基模型

假定:地基任一点所受的压力强度只与该点的地基变形成正比，而不影响该点以外的变形

p=ks式中p

——地基上任一点的压力强度，kN/m2

k

——地基基床系数，表示产生单位变形所需的压力强度，kN/m3

s

——压力作用点的地基变形，m

第四节弹性地基梁法一、文克尔地基模型77

（a）非均匀荷载（b）集中荷载（c）刚性荷载（d）均布柔性荷载文克尔地基模型（a）非均匀荷载（b）集78（a）基底反力（b）微分单元受力弹性地基梁计算简图二、弹性地基梁挠曲微分方程

设梁宽为b，根据微分梁单元上竖向力的平衡可得整理得（a）基底反力79根据文克尔地基假设，及地基沉降与基础梁的挠曲变形协调条件s=w，可知材料力学中梁的挠曲微分方程为M对x求二阶导数因此有p=ks=kw

代入上式得由知上式即为文克尔地基上梁的基本挠曲微分方程。根据文克尔地基假设，及地基沉降与基础梁的挠曲变形协调条件s80上式可写成为求解，先考虑梁上无荷载部分，或当梁上的分布荷载q=0时的情况。梁的挠曲微分方程变为齐次方程令

微分方程的通解为

式中C1、C2、C3、C4——待定参数，根据荷载及边界条件确定上式可写成为求解，先考虑梁上无荷载部分，或当梁上的分布荷载81弹性地基梁可按x值的大小分为下列三种类型：（1）无限长梁：荷载作用点与两端的距离都大于/；又称柔性梁。x/x

/Fx

/x

/Fx

/x

/F（2）半无限长梁：荷载作用点与一端的距离大于/，与另一端的距离小于/；又称有限刚度梁。（3）有限长梁：荷载作用点与两端的距离都小于/；又称刚性梁。

弹性地基梁可按x值的大小分为下列三种类型：x/x82三、无限长梁的解1．无限长梁受集中力F0作用(向下为正)

设集中力作用点为坐标原点O，边界条件为（1）当x∞时，w=0；（2）当x=0时，dw/dx=0；（3）当x=0+（为无限小量)时，V=F0/2；将边界条件（1）代入挠度方程，可得C1=C2=0。三、无限长梁的解设集中力作用点为坐标原点O，边界条件为83于是梁的挠度方程为

由此可得将边界条件(2)代入，可得C3=C4=C

，则上式改写为边界条件（3）挠度公式(x0)于是梁的挠度方程为由此可得将边界条件(2)代入，可得C384转角

=dw/dx，弯矩M=EId2w/dx2，和剪力Q=EId3w/dx3。计算公式（x0情况）如下上式Ax，Bx，Cx，Dx四个系数均是x的函数，可查表。挠度

转角

弯矩剪力

其中转角=dw/dx，弯矩M=EId2w/dx2，和剪85对于梁的左半部(x0)可利用对称关系求得，其中挠度w、弯矩M和地基反力p是关于原点O对称的，而转角、剪力V是关于原点反对称的。在计算时，x取距离的绝对值，w和M的正负号与x0时相同，但

和V取相反符号。

集中力作用下的挠度、转角、弯矩M、剪力V分布图

对于梁的左半部(x0)可利用对称关系求得，其中挠度w、弯862．无限长梁受集中力偶M0的作用(顺时针方向为正)

以集中力偶M0作用点为坐标原点O，边界条件有（1）当x∞时，w=0；（2）当x=0时，w=0；（3）当x=0时，M=EId2w/dx2=M0/2；由以上边界条件可得C1=C2=0

C3=0

2．无限长梁受集中力偶M0的作用(顺时针方向为正)以集中力87可得x0时无限长梁受集中力偶M0

作用的计算公式

挠度转角弯矩剪力对于梁的左半部(x0)，x取距离的绝对值，w和M符号与上式相反，

和V

取相同符号。

集中力偶作用下的挠度、转角、弯矩M、剪力V分布图

可得x0时无限长梁受集中力偶M0作用的计算公式挠度883．若干集中荷载作用下的无限长梁

若干集中荷载作用下的无限长梁利用叠加原理，可求得O点的弯矩与剪力3．若干集中荷载作用下的无限长梁若干集中荷载作用下的无限长89例题：已知柱下条形基础上作用三个集中力，均为F=180kN，相距4.0m，基础梁宽度1.0m，抗弯刚度EbIb=3.48105kNm2，地基基床系数k=5.0104kN/m3。试求F2作用点处基础梁的弯矩和剪力。（设基础梁为无限长梁）

40004000F1F2F3例题：已知柱下条形基础上作用三个集中力，均为F=180kN，90四、半无限长梁的解

1．半无限长梁受集中力F0作用(向下为正)取坐标原点在F0作用点，边界条件有（1）当x∞时，w=0；（2）当x=0时，M=EId2w/dx2=0；（3）当x=0时，V=EId3w/dx3=F0；由以上边界条件可得C1=C2=0C4=0

四、半无限长梁的解1．半无限长梁受集中力F0作用(向下为正91半无限长梁受集中力F0

作用时的计算公式如下

挠度转角弯矩剪力半无限长梁受集中力F0作用时的计算公式如下挠度转角弯矩剪922．半无限长梁受集中力偶M0的作用(顺时针方向为正)

取坐标原点在M0作用点，边界条件有（1）当x∞时，w=0；（2）当x=0时，M=EId2w/dx2=M

0；（3）当x=0时，V=0

由以上边界条件可得C1=C2=02．半无限长梁受集中力偶M0的作用(顺时针方向为正)取坐标93半无限长梁受集中力M0

作用时的计算公式如下

挠度转角弯矩剪力半无限长梁受集中力M0作用时的计算公式如下挠度转角弯矩剪943．半无限长梁受离杆端c处集中荷载F0作用(向下为正)

将梁向左边延伸，使半无限梁成为无限长梁。半无限长梁在A处的边界条件是：M=0，V=0延伸为无限长梁后，A处便有内力（令=c）须在A处施加两个集中荷载（集中力FA和集中力偶MA），使梁在F0及集中荷载作用下，A处的内力叠加后满足原梁的实际边界条件。003．半无限长梁受离杆端c处集中荷载F0作用(向下为正)将95在KK截面上的、M、V值应是F0、FA、MA作用下叠加的结果。求得最后结果如下：

挠度弯矩剪力0A式中的、、是=x、的函数，可查表确定。

在KK截面上的、M、V值应是F0、FA、MA964．半无限长梁受离杆端c处集中力偶M0作用(顺时针方向为正)

将半无限长梁向左延伸为无限长梁，端部A处便有内力FA、MA，在A处施加两个集中荷载，使梁在M0及集中荷载作用下，A处的内力叠加后满足原梁的实际边界条件。4．半无限长梁受离杆端c处集中力偶M0作用(顺时针方向为正)97在KK截面上的、M、V值应是M0、FA、MA作用下叠加的结果，求得结果如下

挠度弯矩剪力式中的、、是、的函数，可查表确定。

在KK截面上的、M、V值应是M0、FA、MA作用下叠98例题：某柱下条形基础如图，F1=1400kN，F2=2100kN，地基柔度系数=0.35，求F1与F2作用下地基梁A的总弯矩与总剪力。F1F2F3F4F5F6F7F81200078000=56000A例题：某柱下条形基础如图，F1=1400kN，F2=210099作业题：某柱下条形基础如图，F1=1200kN，F2=2000kN，地基柔度系数=0.40，求F1与F2作用下地基梁A的总弯矩与总剪力。F1F2F3F4F5F6F7F8900076000=42000A作业题：某柱下条形基础如图，F1=1200kN，F2=200100五、有限长梁的解

对于有限长梁，荷载作用对梁端的影响不可忽略。此时可利用无限长梁解和叠加原理求解。有限长梁的计算具体的计算步骤如下：（1）把有限长梁I延长到无限长，计算无限长梁II上相应于有限长梁I的两端A和B截面由于外荷载引起的内力Ma、Va和Mb、Vb；（2）按无限长梁计算梁端附加荷载MA、VA和MB、VB；（3）再按叠加原理计算在已知荷载和虚拟荷载共同作用下无限长梁II上相应于有限长梁I各点的内力，这就是有限长梁I的解。五、有限长梁的解对于有限长梁，荷载作用对梁端的影响不可忽略101第五节十字交叉条形基础

十字交叉条形基础：是由柱网下的