教学第三节有效数字的修约规则课件

目录误差及其表示方法偶然误差的正态分布有效数字的修约目录误差及其表示方法偶然误差的正态分布有效数字的修约第一节误差及其表示方法第一节误差及其表示方法问题用丁二酮肟重量法测定钢铁中Ni的百分含量，结果为10.48%,10.37%,10.47%,10.43%,10.40%;计算单次分析结果的平均偏差，相对平均偏差，标准偏差和相对标准偏差。问题用丁二酮肟重量法测定钢铁中Ni的百分含量，结果为10.4一、误差及其来源第一节误差及其表示方法1.系统误差(Systematicerror)

—由某种固定的因素造成的误差(1)特点a.对分析结果的影响比较恒定；b.在同一条件下，重复测定，重复出现；c.影响准确度，不影响精密度；d.可以消除。

产生的原因?

一、误差及其来源第一节误差及其表示方法1.系统误差(Sys第一节误差及其表示方法(2)产生的原因a.方法误差——选择的方法不够完善例：重量分析中沉淀的溶解损失；滴定分析中指示剂选择不当。b.仪器和试剂误差——仪器本身的缺陷；所用试剂有杂质例：天平两臂不等，砝码未校正；滴定管，容量瓶未校正。例：去离子水不合格；试剂纯度不够（含待测组份或干扰离子）。

c.操作误差－分析操作与正确操作不同。例：称取试样未防潮

d.主观误差——操作人员主观因素造成例：对指示剂颜色辨别偏深或偏浅；滴定管读数不准。第一节误差及其表示方法(2)产生的原因a.方法误差——选第一节误差及其表示方法（二）偶然误差（随机误差，不可定误差）

--由不确定原因引起特点：1)不具单向性（大小、正负不定）2)不可消除（原因不定）但可减小（测定次数↑）3)分布服从统计学规律（正态分布）2.产生的原因

a.偶然因素第一节误差及其表示方法（二）偶然误差（随机误差，不可定误差第一节误差及其表示方法3、过失误差（Grosserror,mistake)

—指工作中的差错，一般是由于粗枝大叶或违反操作规程引起的。第一节误差及其表示方法3、过失误差（Grosserror第一节误差及其表示方法a.砝码腐蚀；b.称量时，试样吸收了空气的水分；c.天平零点稍有变动；d.读取滴定管读数时，最后一位数字估测不准；e.以含量为98%的金属锌作为基准物质标定EDTA溶液的浓度；f.试剂中含有微量待测组分；g.重量法测定SiO2时，试液中硅酸沉淀不完全；h.天平两臂不等长；第一节误差及其表示方法a.砝码腐蚀；习题判断正误1系统误差是重复的以固定形式出现，增加平行测定的次数，采取数理统计的方法可以消除系统误差。2由于引起偶然误差的因素是无法控制的，偶然误差的变化不能预先确定，所以偶然误差不能修正，仅仅只能估计而已。3进行重复多次的平行实验，并取结果的平均值，可以消除偶然误差。第一节误差及其表示方法习题判断正误第一节误差及其表示方法第一节误差及其表示方法二、误差的表示方法（一）准确度与误差（二）精密度与偏差（三）准确度与精密度的关系第一节误差及其表示方法二、误差的表示方法（一）准确度与误差第一节误差及其表示方法2.误差（Error)准确度的高低用误差的大小来衡量。(一)准确度与误差1．准确度：指测量结果与真值的接近程度定义：误差(E)是指测定值(x)与真实(xT)之间的差。误差越小，表示测定结果与真实值越接近，准确度越高，反之，误差越大，准确度越低。误差一般用绝对误差(absoluteerror)和相对误差(relativeerror)来表示。第一节误差及其表示方法2.误差（Error)准确度的高低第一节误差及其表示方法绝对误差（Ea)表示测定结果(x)与真实值(mo)之差。即相对误差是指绝对误差(Ea)在真实值中所占百分率。即注：a）Ea和Er都有正负误差，正误差表示分析结果偏高；负误差表示分析结果偏低

b）分析结果的准确度通常用Er来表示。Ea=X–mo第一节误差及其表示方法绝对误差（Ea)表示测定结果(x)与例题：两个样：一个是1.0001g，另一个是0.1001g，用同一台绝对误差为±0.0002g的分析天平称,问Er分别为多少？第一节误差及其表示方法例题：第一节误差及其表示方法注：1）测高含量组分，RE可小；测低含量组分，RE可大

2）仪器分析法——测低含量组分，RE大化学分析法——测高含量组分，RE小第一节误差及其表示方法注：1）测高含量组分，RE可小；测低含量第一节误差及其第一节误差及其表示方法（二）精密度与偏差1．精密度：平行测量的各测量值间的相互接近程度2．偏差：（1）绝对偏差：单次测量值与平均值之差（2）相对偏差：绝对偏差占平均值的百分比第一节误差及其表示方法（二）精密度与偏差1．精密度：平行测第一节误差及其表示方法续前（3）平均偏差：各测量值绝对偏差的算术平均值

（4）相对平均偏差：平均偏差占平均值的百分比第一节误差及其表示方法续前（3）平均偏差：各测量值绝对偏差第一节误差及其表示方法（5）标准偏差：更好的说明数据的分散程度

（6）相对标准偏差（变异系数）μ未知μ已知第一节误差及其表示方法（5）标准偏差：更好的说明数据的分散第一节误差及其表示方法（三）准确度与精密度的关系例：A、B、C、D四个分析工作者对同一铁标样（WFe=37.40%)中的铁含量进行测量，得结果如图示，比较其准确度与精密度。36.0036.5037.0037.5038.00测量点平均值真值DCBA准确度高，精密度高准确度低，精密度高准确度低，精密度低（不可靠）表观准确度高，精密度低第一节误差及其表示方法（三）准确度与精密度的关系例：A、B第一节误差及其表示方法1.关系：准确度高，精密度一定也要高；精密度高，不一定准确度高；只有在克服系统误差的前提下，精密度高，才可以准确度也高。

2.实质：准确度反映了测量结果的正确性精密度反映了测量结果的重现性第一节误差及其表示方法1.关系：准确度高，精密度一定也第一节误差及其表示方法例：用丁二酮肟重量法测定钢铁中Ni的百分含量，结果为10.48%,10.37%,10.47%,10.43%,10.40%;计算单次分析结果的平均偏差，相对平均偏差，标准偏差和相对标准偏差。解：第一节误差及其表示方法例：用丁二酮肟重量法测定钢铁中Ni的第一节误差及其表示方法第一节误差及其表示方法第一节误差及其表示方法第一节误差及其表示方法第二节偶然误差的正态分布第二节偶然误差的正态分布一、偶然误差的正态分布和标准正态分布二、偶然误差的区间概率第二节偶然误差的正态分布一、偶然误差的正态分布和标准正态分布第二节偶然误差的正态分第二节偶然误差的正态分布一、偶然误差的正态分布和标准正态分布正态分布的概率密度函数式1．x表示测量值，y为测量值出现的概率密度2．正态分布的两个重要参数（1）μ为无限次测量的总体均值，表示无限个数据的集中趋势（无系统误差时即为真值）（2）σ是总体标准差，表示数据的离散程度3．x-μ为偶然误差第二节偶然误差的正态分布一、偶然误差的正态分布和标准正态分第二节偶然误差的正态分布x=μ时，y最大→大部分测量值集中在算术平均值附近；曲线以x=μ的直线为对称→正负误差出现的概率相等；当x→﹣∞或﹢∞时，曲线渐近x轴，小误差出现的几率大，大误差出现的几率小，极大误差出现的几率极小；σ↑，y↓,数据分散，曲线平坦

σ↓，y↑,数据集中，曲线尖锐测量值都落在－∞～＋∞，总概率为1。以y～（x-μ）作图

特点

第二节偶然误差的正态分布x=μ时，y最大→大部分测量值第二节偶然误差的正态分布标准正态分布曲线——x～N(0,1)曲线以u～y作图

注：u是以σ为单位来表示随机误差x-μ第二节偶然误差的正态分布标准正态分布曲线——x～N第二节偶然误差的正态分布二、偶然误差的区间概率

从－∞～＋∞，所有测量值出现的总概率P为1，即偶然误差的区间概率P——用一定区间的积分面积表示该范围内测量值出现的概率标准正态分布

区间概率%

第二节偶然误差的正态分布二、偶然误差的区间概率从－∞～＋第二节偶然误差的正态分布例：已知某试样中Co的百分含量的标准值为1.75%，

σ=0.10%，又已知测量时无系统误差，求分析结果落在(1.75±0.15)%范围内的概率。解：第二节偶然误差的正态分布例：已知某试样中Co的百分含量的标第三节有效数字的修约规则第三节有效数字的修约规则一、有效数字二、有效数字的修约规则三、有效数字的运算法则第三节有效数字的修约规则一、有效数字第三节有效数字的修约规则一、有效数字的定义、组成及意义1、有效数字

（1）定义：实际上能测量到的数字

(2）组成：准确数字＋最后一位可疑数字（3）意义：反映了测定的准确度如：1.0000g1.000g1.0g20.00ml20ml第三节有效数字的修约规则一、有效数字的定义、组成及意义1、有效数字如：1.000前三位是准确的，最后一位是估计的，稍有差别。第四位不甚准确，但它不是臆造的。记录时应保留这一位。这四位都是有效数字。例如，滴定管读数第三节有效数字的修约规则前三位是准确的，最后一位是估计的，稍有差别。例如，滴定管读数3.6×103

2位

1.0×102

2位

3.60×103

3位1.0008431.81五位有效数字0.100010.98%四位有效数字0.03821.98×10-10

三位有效数字0.540.00040二位有效数字3600100有效数字位数含糊应根据实际有效数字位数写成：2、有效数字的位数的确定3.6×1032位

“0”的确定

数字前面的“0”只定位不是有效数字；只有数字中间的和数字后面的“0”才是有效数字。0.00

40

数字前面的“0”

，后面的“0”是有效数字

pH,pOH,logC等对数的有效数字取决于小数点后数字的位数pH=11.20两位有效数字

[H+]=6.3×10-12molL-1

常数、e、、等位数可视为无限多位有效数字，根据需要取。

变换单位时，有效数字的位数不变。10.00ml＝0.01000L第三节有效数字的修约规则“0”的确定0.0040数字前面的“0”，后面的二、有效数字的修约规则2．四舍六入五留双。五后非零就进一，五后皆零视奇偶，五前为偶应舍去，五前为奇则进一。3．只能对数字进行一次性修约例：0.37456

，0.3745

均修约至三位有效数字例：6.549，2.451

一次修约至两位有效数字0.3740.375

6.5

2.51．只保留一位可疑数字第三节有效数字的修约规则二、有效数字的修约规则2．四舍六入五留双。五后非零就进一，3例：将下列数字修约为两位有效数字修约前

修约后1.434261.4

1.46311.51.45071.51.45001.4

1.35001.4第三节有效数字的修约规则例：将下列数字修约为两位有效数字修约前三、有效数字的运算法则1．加减法：以小数点后位数最少的数为准（即以绝对误差最大的数为准）2．乘除法：以有效数字位数最少的数为准（即以相对误差最大的数为准）例：

50.1+1.45+0.5812=？δ±0.1±0.01±0.000152.1

例：0.0121×25.64×1.05782=？δ±0.0001±0.01±0.00001RE±0.8%±0.4%±0.009%0.328保留三位有效数字保留三位有效数字第三节有效数字的修约规则三、有效数字的运算法则1．加减法：以小数点后位数最少的数为准3、乘方和开方所得结果的有效数字位数保留应与原数据相同。例如（保留3位有效数字）4、对数计算所取对数的小数点后的位数（不包括整数部分）应与原数据的有效数字的位数相等。例如（保留3位有效数字）（保留3位有效数字）第三节有效数字的修约规则3、乘方和开方所得结果的有效数字位数保留应与原（保留3位8、表示分析方法的准确度和精密度时，大多数取1一2位有效数字5、在计算中常遇到分数、倍数等，可视为多位有效数字6、在乘除运算过程中，首位数为“8”或“9”的数据，有效数字位数可以多取一位。7、在混合计算中，有效数字的保留以最后一步计算的规则执行。第三节有效数字的修约规则8、表示分析方法的准确度和精密度时，大多数取1一2位5、在计第三节有效数字的修约规则第三节有效数字的修约规则第三节有效数字的修约规则第三节有效数字的修约规则第三节有效数字的修约规则第三节有效数字的修约规则目录误差及其表示方法偶然误差的正态分布有效数字的修约目录误差及其表示方法偶然误差的正态分布有效数字的修约第一节误差及其表示方法第一节误差及其表示方法问题用丁二酮肟重量法测定钢铁中Ni的百分含量，结果为10.48%,10.37%,10.47%,10.43%,10.40%;计算单次分析结果的平均偏差，相对平均偏差，标准偏差和相对标准偏差。问题用丁二酮肟重量法测定钢铁中Ni的百分含量，结果为10.4一、误差及其来源第一节误差及其表示方法1.系统误差(Systematicerror)

—由某种固定的因素造成的误差(1)特点a.对分析结果的影响比较恒定；b.在同一条件下，重复测定，重复出现；c.影响准确度，不影响精密度；d.可以消除。

产生的原因?

一、误差及其来源第一节误差及其表示方法1.系统误差(Sys第一节误差及其表示方法(2)产生的原因a.方法误差——选择的方法不够完善例：重量分析中沉淀的溶解损失；滴定分析中指示剂选择不当。b.仪器和试剂误差——仪器本身的缺陷；所用试剂有杂质例：天平两臂不等，砝码未校正；滴定管，容量瓶未校正。例：去离子水不合格；试剂纯度不够（含待测组份或干扰离子）。

c.操作误差－分析操作与正确操作不同。例：称取试样未防潮

d.主观误差——操作人员主观因素造成例：对指示剂颜色辨别偏深或偏浅；滴定管读数不准。第一节误差及其表示方法(2)产生的原因a.方法误差——选第一节误差及其表示方法（二）偶然误差（随机误差，不可定误差）

--由不确定原因引起特点：1)不具单向性（大小、正负不定）2)不可消除（原因不定）但可减小（测定次数↑）3)分布服从统计学规律（正态分布）2.产生的原因

a.偶然因素第一节误差及其表示方法（二）偶然误差（随机误差，不可定误差第一节误差及其表示方法3、过失误差（Grosserror,mistake)

—指工作中的差错，一般是由于粗枝大叶或违反操作规程引起的。第一节误差及其表示方法3、过失误差（Grosserror第一节误差及其表示方法a.砝码腐蚀；b.称量时，试样吸收了空气的水分；c.天平零点稍有变动；d.读取滴定管读数时，最后一位数字估测不准；e.以含量为98%的金属锌作为基准物质标定EDTA溶液的浓度；f.试剂中含有微量待测组分；g.重量法测定SiO2时，试液中硅酸沉淀不完全；h.天平两臂不等长；第一节误差及其表示方法a.砝码腐蚀；习题判断正误1系统误差是重复的以固定形式出现，增加平行测定的次数，采取数理统计的方法可以消除系统误差。2由于引起偶然误差的因素是无法控制的，偶然误差的变化不能预先确定，所以偶然误差不能修正，仅仅只能估计而已。3进行重复多次的平行实验，并取结果的平均值，可以消除偶然误差。第一节误差及其表示方法习题判断正误第一节误差及其表示方法第一节误差及其表示方法二、误差的表示方法（一）准确度与误差（二）精密度与偏差（三）准确度与精密度的关系第一节误差及其表示方法二、误差的表示方法（一）准确度与误差第一节误差及其表示方法2.误差（Error)准确度的高低用误差的大小来衡量。(一)准确度与误差1．准确度：指测量结果与真值的接近程度定义：误差(E)是指测定值(x)与真实(xT)之间的差。误差越小，表示测定结果与真实值越接近，准确度越高，反之，误差越大，准确度越低。误差一般用绝对误差(absoluteerror)和相对误差(relativeerror)来表示。第一节误差及其表示方法2.误差（Error)准确度的高低第一节误差及其表示方法绝对误差（Ea)表示测定结果(x)与真实值(mo)之差。即相对误差是指绝对误差(Ea)在真实值中所占百分率。即注：a）Ea和Er都有正负误差，正误差表示分析结果偏高；负误差表示分析结果偏低

b）分析结果的准确度通常用Er来表示。Ea=X–mo第一节误差及其表示方法绝对误差（Ea)表示测定结果(x)与例题：两个样：一个是1.0001g，另一个是0.1001g，用同一台绝对误差为±0.0002g的分析天平称,问Er分别为多少？第一节误差及其表示方法例题：第一节误差及其表示方法注：1）测高含量组分，RE可小；测低含量组分，RE可大

2）仪器分析法——测低含量组分，RE大化学分析法——测高含量组分，RE小第一节误差及其表示方法注：1）测高含量组分，RE可小；测低含量第一节误差及其第一节误差及其表示方法（二）精密度与偏差1．精密度：平行测量的各测量值间的相互接近程度2．偏差：（1）绝对偏差：单次测量值与平均值之差（2）相对偏差：绝对偏差占平均值的百分比第一节误差及其表示方法（二）精密度与偏差1．精密度：平行测第一节误差及其表示方法续前（3）平均偏差：各测量值绝对偏差的算术平均值

（4）相对平均偏差：平均偏差占平均值的百分比第一节误差及其表示方法续前（3）平均偏差：各测量值绝对偏差第一节误差及其表示方法（5）标准偏差：更好的说明数据的分散程度

（6）相对标准偏差（变异系数）μ未知μ已知第一节误差及其表示方法（5）标准偏差：更好的说明数据的分散第一节误差及其表示方法（三）准确度与精密度的关系例：A、B、C、D四个分析工作者对同一铁标样（WFe=37.40%)中的铁含量进行测量，得结果如图示，比较其准确度与精密度。36.0036.5037.0037.5038.00测量点平均值真值DCBA准确度高，精密度高准确度低，精密度高准确度低，精密度低（不可靠）表观准确度高，精密度低第一节误差及其表示方法（三）准确度与精密度的关系例：A、B第一节误差及其表示方法1.关系：准确度高，精密度一定也要高；精密度高，不一定准确度高；只有在克服系统误差的前提下，精密度高，才可以准确度也高。

2.实质：准确度反映了测量结果的正确性精密度反映了测量结果的重现性第一节误差及其表示方法1.关系：准确度高，精密度一定也第一节误差及其表示方法例：用丁二酮肟重量法测定钢铁中Ni的百分含量，结果为10.48%,10.37%,10.47%,10.43%,10.40%;计算单次分析结果的平均偏差，相对平均偏差，标准偏差和相对标准偏差。解：第一节误差及其表示方法例：用丁二酮肟重量法测定钢铁中Ni的第一节误差及其表示方法第一节误差及其表示方法第一节误差及其表示方法第一节误差及其表示方法第二节偶然误差的正态分布第二节偶然误差的正态分布一、偶然误差的正态分布和标准正态分布二、偶然误差的区间概率第二节偶然误差的正态分布一、偶然误差的正态分布和标准正态分布第二节偶然误差的正态分第二节偶然误差的正态分布一、偶然误差的正态分布和标准正态分布正态分布的概率密度函数式1．x表示测量值，y为测量值出现的概率密度2．正态分布的两个重要参数（1）μ为无限次测量的总体均值，表示无限个数据的集中趋势（无系统误差时即为真值）（2）σ是总体标准差，表示数据的离散程度3．x-μ为偶然误差第二节偶然误差的正态分布一、偶然误差的正态分布和标准正态分第二节偶然误差的正态分布x=μ时，y最大→大部分测量值集中在算术平均值附近；曲线以x=μ的直线为对称→正负误差出现的概率相等；当x→﹣∞或﹢∞时，曲线渐近x轴，小误差出现的几率大，大误差出现的几率小，极大误差出现的几率极小；σ↑，y↓,数据分散，曲线平坦

σ↓，y↑,数据集中，曲线尖锐测量值都落在－∞～＋∞，总概率为1。以y～（x-μ）作图

特点

第二节偶然误差的正态分布x=μ时，y最大→大部分测量值第二节偶然误差的正态分布标准正态分布曲线——x～N(0,1)曲线以u～y作图

注：u是以σ为单位来表示随机误差x-μ第二节偶然误差的正态分布标准正态分布曲线——x～N第二节偶然误差的正态分布二、偶然误差的区间概率

从－∞～＋∞，所有测量值出现的总概率P为1，即偶然误差的区间概率P——用一定区间的积分面积表示该范围内测量值出现的概率标准正态分布

区间概率%

第二节偶然误差的正态分布二、偶然误差的区间概率从－∞～＋第二节偶然误差的正态分布例：已知某试样中Co的百分含量的标准值为1.75%，

σ=0.10%，又已知测量时无系统误差，求分析结果落在(1.75±0.15)%范围内的概率。解：第二节偶然误差的正态分布例：已知某试样中Co的百分含量的标第三节有效数字的修约规则第三节有效数字的修约规则一、有效数字二、有效数字的修约规则三、有效数字的运算法则第三节有效数字的修约规则一、有效数字第三节有效数字的修约规则一、有效数字的定义、组成及意义1、有效数字

（1）定义：实际上能测量到的数字

(2）组成：准确数字＋最后一位可疑数字（3）意义：反映了测定的准确度如：1.0000g1.000g1.0g20.00ml20ml第三节有效数字的修约规则一、有效数字的定义、组成及意义1、有效数字如：1.000前三位是准确的，最后一位是估计的，稍有差别。第四位不甚准确，但它不是臆造的。记录时应保留这一位。这四位都是有效数字。例如，滴定管读数第三节有效数字的修约规则前三位是准确的，最后一位是估计的，稍有差别。例如，滴定管读数3.6×103

2位

1.0×102

2位

3.60×103

3位1.0008431.81五位有效数字0.100010.98%四位有效数字0.03821.98×10-10

三位有效数字0.540.00040二位有效数字3600100有效数字位数含糊应根据实际有效数字位数写成：2、有效数字的位数的确定3.6×1032位

“0”的确定

数字前面的“0”只定位不是有效数字；只有数字中间的和数字后面的“0”才是有效数字。0.00

40

数字前面的“0”

，后面的“0”是有效数字

pH,pOH,logC等对数的有效数字取决于小数点后数字的位数pH=11.20两位有效数字

[H+]=6.3×10-12molL-1

常数、e、、等位数可视为无限多位有效数字，根据需要取。

变换单位时，有效数字的位数不变。10.00ml＝0.01000L第三节有效数字的修约规则“0”的确定0.004