江苏专转本高等数学-第六章-定积分的应用习题课课件

第六章习题课定积分的应用一、定积分应用的常用公式二、典型例题1第六章习题课定积分的应用一、定积分应用的常用公式二、典型例题元素法理论依据名称释译所求量的特点解题步骤定积分应用中的常用公式主要内容2元素法理论依据名称释译所求量解题步骤定一、定积分应用的常用公式1.平面图形的面积(1)直角坐标情形：【注意】根据实际情况还可选择y为积分变量3一、定积分应用的常用公式1.平面图形的面积(1)直角坐标情如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积(2)曲线用参数方程表示4如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积(2)曲线用参数方(3)极坐标情形【思考】若面积元素采用等腰三角形面积,即用等腰三角形面积近似代替小曲边扇形的面积,是否可以?5(3)极坐标情形【思考】若面积元素采用等腰三角形面积,即用等2.体积(1)旋转体的体积：ⅰ.绕x轴旋转ⅱ.绕y轴旋转绕坐标轴转xyo62.体积(1)旋转体的体积：ⅰ.绕x轴旋转ⅱ.绕y轴旋转绕坐绕非轴直线旋转yxoxx+dxⅰ.绕平行于x

轴的直线旋转ⅱ.绕平行于y

轴的直线旋转ⅲ.绕平行于y

轴的直线x=a旋转ⅳ类似可得绕平行于x

轴的直线y=b旋转的公式7绕非轴直线旋转yxoxx+dxⅰ.绕平行于x轴的直线旋转ⅱ(2)平行截面面积为已知的立体的体积8(2)平行截面面积为已知的立体的体积83.平面曲线的弧长弧长A．曲线弧为弧长B．曲线弧为C．曲线弧为弧长93.平面曲线的弧长弧长A．曲线弧为弧长B．曲线弧为C．曲线弧4.旋转体的侧面积（补充）xyo【警示】以上有关几何的几个问题，作题时尽量先画出图形，以得到直观的帮助.【注意】若侧面积元素取为2πxf(x)dx，是错误的,为什么?104.旋转体的侧面积（补充）xyo【警示】以上有关几何的几个5.变力所作的功（含抽水作功—变距离作功）6.水压力115.变力所作的功（含抽水作功—变距离作功）6.水压力7.引力8.函数的平均值9.均方根127.引力8.函数的平均值9.均方根12二、典型例题【例1】用定积分求半径为R的圆的的面积。【解Ⅰ】选取直角坐标系（如图所示）则圆的方程为取x为积分变量，考虑小区间相应的面积元素为（竖矩形条）则于是13二、典型例题【例1】用定积分求半径为R的圆的的面积。【解【解Ⅱ】选取极坐标系（如下图所示），圆的方程为：取θ为积分变量，考虑小区间元素为（小扇形）于是则【解Ⅲ】选取极坐标系（如下图所示），圆的方程为：取ρ

为积分变量，考虑小区间相应的面积元素为（圆环条）则于是相应的面积14【解Ⅱ】选取极坐标系（如下图所示），圆的方程为：取θ为积分【例2】【分析】再相加有改写为再相加,求极限.显然一曲线的折线之和的极限即为曲线之长.【解】所求曲线段之长为即不是所求之弧长.因此,小段弧长之近似应看成是弦长15【例2】【分析】再相加有改写为再相加,求极限.显然一曲线【例3】【解】由对称性,有由对称性,有16【例3】【解】由对称性,有由对称性,有16由对称性,有17由对称性,有17【例4】设y=f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数.(1)试证x0(0,1)，使得在区间[0,x0]上以f(x0)为高的矩形面积，等于在区间［x0,1］上以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积.(2)又设f(x)在区间(0,1)内可导，且证明(1)中的x0是唯一的.【证】则在[0,1]上连续、在(0,1)内可导据罗尔定理x0(0,1)，使得即则F(x)在[0,1]上连续、在(0,1)内可导单调减少，于是可知(1)中的x0是唯一的.故F(x)在[0,1]上18【例4】设y=f(x)是区间[0,1]上的任一非负连【例5】【解】如图所示建立坐标系.半圆方程为于是对半圆上任一点,有19【例5】【解】如图所示建立坐标系.半圆方程为于是对半圆上任一故所求速度为故将满池水全部提升到池沿高度所需功为(2)将满池的水全部抽出所需的最小功即将池内水全部提升到池沿高度所需的功20故所求速度为故将满池水全部提升到池沿高度所需功为(2)将满池【例6】【解】如图建立坐标系,此闸门一侧受到静水压力为21【例6】【解】如图建立坐标系,此闸门一侧受到静水压力为21第六章习题课定积分的应用一、定积分应用的常用公式二、典型例题22第六章习题课定积分的应用一、定积分应用的常用公式二、典型例题元素法理论依据名称释译所求量的特点解题步骤定积分应用中的常用公式主要内容23元素法理论依据名称释译所求量解题步骤定一、定积分应用的常用公式1.平面图形的面积(1)直角坐标情形：【注意】根据实际情况还可选择y为积分变量24一、定积分应用的常用公式1.平面图形的面积(1)直角坐标情如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积(2)曲线用参数方程表示25如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积(2)曲线用参数方(3)极坐标情形【思考】若面积元素采用等腰三角形面积,即用等腰三角形面积近似代替小曲边扇形的面积,是否可以?26(3)极坐标情形【思考】若面积元素采用等腰三角形面积,即用等2.体积(1)旋转体的体积：ⅰ.绕x轴旋转ⅱ.绕y轴旋转绕坐标轴转xyo272.体积(1)旋转体的体积：ⅰ.绕x轴旋转ⅱ.绕y轴旋转绕坐绕非轴直线旋转yxoxx+dxⅰ.绕平行于x

轴的直线旋转ⅱ.绕平行于y

轴的直线旋转ⅲ.绕平行于y

轴的直线x=a旋转ⅳ类似可得绕平行于x

轴的直线y=b旋转的公式28绕非轴直线旋转yxoxx+dxⅰ.绕平行于x轴的直线旋转ⅱ(2)平行截面面积为已知的立体的体积29(2)平行截面面积为已知的立体的体积83.平面曲线的弧长弧长A．曲线弧为弧长B．曲线弧为C．曲线弧为弧长303.平面曲线的弧长弧长A．曲线弧为弧长B．曲线弧为C．曲线弧4.旋转体的侧面积（补充）xyo【警示】以上有关几何的几个问题，作题时尽量先画出图形，以得到直观的帮助.【注意】若侧面积元素取为2πxf(x)dx，是错误的,为什么?314.旋转体的侧面积（补充）xyo【警示】以上有关几何的几个5.变力所作的功（含抽水作功—变距离作功）6.水压力325.变力所作的功（含抽水作功—变距离作功）6.水压力7.引力8.函数的平均值9.均方根337.引力8.函数的平均值9.均方根12二、典型例题【例1】用定积分求半径为R的圆的的面积。【解Ⅰ】选取直角坐标系（如图所示）则圆的方程为取x为积分变量，考虑小区间相应的面积元素为（竖矩形条）则于是34二、典型例题【例1】用定积分求半径为R的圆的的面积。【解【解Ⅱ】选取极坐标系（如下图所示），圆的方程为：取θ为积分变量，考虑小区间元素为（小扇形）于是则【解Ⅲ】选取极坐标系（如下图所示），圆的方程为：取ρ

为积分变量，考虑小区间相应的面积元素为（圆环条）则于是相应的面积35【解Ⅱ】选取极坐标系（如下图所示），圆的方程为：取θ为积分【例2】【分析】再相加有改写为再相加,求极限.显然一曲线的折线之和的极限即为曲线之长.【解】所求曲线段之长为即不是所求之弧长.因此,小段弧长之近似应看成是弦长36【例2】【分析】再相加有改写为再相加,求极限.显然一曲线【例3】【解】由对称性,有由对称性,有37【例3】【解】由对称性,有由对称性,有16由对称性,有38由对称性,有17【例4】设y=f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数.(1)试证x0(0,1)，使得在区间[0,x0]上以f(x0)为高的矩形面积，等于在区间［x0,1］上以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积.(2)又设f(x)在区间(0,1)内可导，且证明(1)中的x0是唯一的.【证】则在[0,1]上连续、在(0,1)内可导据罗尔定理x0(0,1)，使得即则F(x)在[0,1]上连续、在(0,1)内可导单调减少，于是可知(1)中的x0是唯一的.故F(x)在[0,1]上39【例4】设y=f(x)是区间[0,1]上的任一非负连【例5】【解】如图所示建立坐标系.半