2021年高考理科数学试卷(全国乙卷真题)-(含答案和解析)

绝密★启用前河南省2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）理科数学注意事项：.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上..回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效..考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的..设2(z+Z)+3(z—Z)=4+6i,则2=()A.l-2z B.1+2/ C.1+/ D.1-Z.己知集合5={5卜=2〃+1,〃£2},T=(r|r=47?+lj7eZ},则SnT=()TOC\o"1-5"\h\zA.0 B.S C.T D.Z.已知命题p:3x£R,sinx<l；命题aTxeR,e|x|>1,则下列命题中为真命题的是（）A.PM B.八q C.P八F D.-i（pvq）—r4.设函数/（X）=——，则下列函数中为奇函数是（ ）1+XA.f（X—1）—1 B./（X-1）+1 C. 1 D./（x+l）+l5.在正方体ABC。—A瓦GR中，P为用。的中点，则直线P3与AR所成的角为（）7［兀 兀 兀A.- B.— C.- D.一2 3 4 66,将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A.60种 B.120种 C.240种 D.480种.把函数丁=/（工）图像上所有点的横坐标缩短到原来的1倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移巳个2 3单位长度，得到函数丁=5山|\一。］的图像，则/（X）=（）\ 4

(XA.sm--12lx\(XA.sm--12lx\12；B.sinX7t—+一212D.sin2x+—I12JD.sin2x+—I12JI12)7.在区间（01）与（L2）中各随机取1个数，则两数之和大于一的概率为（47A.一97A.一923B.—329

C.—

322D--9.魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高.如图，点E，”,G在水平线AC上，OE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”,GC和后”都称为“表目距”，GC与£7/的差称为“表目距的差”则海岛的高AB二（）A.C.表高x表距+表高表目距的差表高x表距表目距的差+表距口表高xA.C.表高x表距+表高表目距的差表高x表距表目距的差+表距口表高x表距表目距的差一表回D.表高x表距表目距的差一表距.设owO,若x为函数/（1）=4（1一4）2（1-与的极大值点，则（）Aa<bB.a>bCAa<bB.a>bC・ab<a2D.ab>a21L设8是椭圆C:二+二=1伍>8>0）上顶点，若C上的任意一点P都满足区2〃，则C的离心cr率的取值范围是（A.B.C.D.°4A.B.C.D.°412.设12.设q=21nL01,/?=1111.02,c=5/T04-1.则( )A.a<b<cb<c<ab<a<cD.A.a<b<cb<c<ab<a<cD.c<a<b二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知双曲线C:--y2=1(/h>0)的一条渐近线为0+my=0,则C的焦距为14.已知向量〃二(1,3)]=(3,4),若则2=.13.15.记△A6C的内角A,8,C的对边分别为a",c,面积为,B=60。，+c?=3oc，则〃二.16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为(写出符合要求的一组答案即可).图④图⑤16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为(写出符合要求的一组答案即可).图④图⑤三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60分.17.某厂研制了一种生产高精产品设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为7和y，样本方差分别记为s；和S〉(1)求1y,S；,S；；

（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果y-无之2匡，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.匡，则认为18.如图，四棱锥P—45CD的底面是矩形，底面A5CQ,PD=DC=1,"为5c的中点，且PB1AM.（1）求6C：（2）求二面角4一/>“一3的正弦值.

2 1.记S”为数列｛q｝前〃项和，2为数列｛S〃｝的前〃项积，己知三+厂=2.(1)证明：数列也｝是等差数列；(2)求｛可｝的通项公式..设函数/(x)=ln(a-x),己知x=0是函数y=，4(x)的极值点.(1)求a；(2)设函数(2)设函数g(%)=x+/(x)

VU)证明:g(x)vL.已知抛物线C.x2=2py（p>0）的焦点为F，且尸与圆W:V+（y+4）2=1上点的距离的最小值为4.（1）求〃；（2）若点。在"上，尸4尸5是C的两条切线，43是切点，求△尸46面积的最大值.（二）选考题，共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.［选修4・4：坐标系与参数方程1（10分）.在直角坐标系X。），中，OC的圆心为c（2』），半径为1.（1）写出OC的一个参数方程；（2）过点尸（4,1）作的两条切线.以坐标原点为极点，大轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程.［选修4・5：不等式选讲］（10分）.己知函数/（力=卜-4+卜+3|.（1）当。=1时，求不等式/（x）之6的解集;（2）若/（x）＞—〃，求a的取值范围.答案解析理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的..设2（z+z）+3（z—z）=4+6i,则2=（）A.1-2/ B.1+2/ C.1+z D.1-i【答案】C【解析】【分析】设z=a+bi,利用共筑更数的定义以及复数的加减法可得出关于。、〃的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数"【详解】设1=4+次，则2=4—初，则2卜+2）+3卜一司=4。+6万=4+6,，=4所以，V/,,解得〃=b=l,因此，z=l+i.[6b=6故选：C..己知集合5={5b=2〃+1,〃£2},7={力=4〃+1,〃eZ},则snr=（）A.0 B.S C.T D.z【答案】c【解析】【分析】分析可得TqS,由此可得出结论.【详解】任取则f=4〃+l=2・（2〃）+l,其中〃£Z,所以，res,故T=S,因此，SC\T=T.故选：C..已知命题p:去£R,sinx<l；命题,ew>l>则下列命题中为真命题的是（）A.〃八夕 B.f人C.PAf D.-n（pV<7）【答案】A【解析】【分析】由正弦函数的有界性确定命题〃的真假性，由指数函数的知识确定命题q的真假性，由此确定正确选项.【详解】由于一IKsinxKl,所以命题〃为真命题：由于凶之0,所以6凶之1,所以命题9为真命题；所以〃八4为真命题，n、PII、-为假命题.故选：A.—r4,设函数/(X)=——，则下列函数中为奇函数的是( )1+XA.f(X-1)-1 B./(X—1)+1 C.-1D./(x+l)+l【答案】B【解析】【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.1-Y 2【详解】由题意可得/")=一-=-1+——，1+X 1+X9对于A,/(1一1)一1二——2不是奇函数；X2对于B,7(1-1)+1=—是奇函数；X2对于C,/(x+l)-l=——一2,定义域不关于原点对称，不是奇函数：' / x+22对于D,/(x+l)+l=-定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选:B【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.5.在正方体ABC。—A4G2中，P为42的中点，则直线必与AR所成的角为()TOC\o"1-5"\h\z兀 兀 兀 兀A.- B.- C.- D.一2 3 4 6【答案】D【解析】【分析】平移直线至8Q,将直线必与AR所成的角转化为总与6G所成的角，解三角形即可.

【详解】【详解】如图，连接6G，PG，P8,因为AR〃8C\,所以NP5G或其补角为直线pb与g所成的角，因为平面 所以B4_LPQ,又PCJBQ1，BB]CBiQ=Bi，所以PG_l平面P6耳，所以尸g，pb，设正方体棱长为2,则BQ=2&,pq=g。固=企,PC1 ksmNPBQ=U=w，所以NPBC1=工.故选:D.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A.60种 B.120种 C.240种 D.480种【答案】C【解析】【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4!种，根据乘法原理，完成这件事，共有C：x4!=240种不同的分配方案，故选：C.【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排

思想求解..把函数丁=/(工)图像上所有点的横坐标缩短到原来的;倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移手个单位长度，得到函数》=$111|\—f]的图像，则/(])=()\ 4JA.SuQ—1212,B.sinA.SuQ—1212,B.sinX71

一十—1212J.、 71D.sin2x+—I12J【答案】B【解析】【分析】解法一：从函数)，=/(#的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到y=/2x—g,即得了2x—g=sinx—3,再利用换元思想求得y=/(x)的解析表达式;解法二：从函数y=sm(x-7)出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到)，=/(用的解析表达式.【详解】解法一：函数y=/(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的;倍，纵坐标不变，得到y=/(2x)的图象，再把所得曲线向右平移J个单位长度，应当得到了=/ 的图象，3 L13人根据已知得到了函数y=sm(x—7)的图象，所以/'(x-=sin(x-：),，则X=t 7t 7t t，则X=-+—,X =—+一,2 3 4 212所以= + 所以/(x)=sin［；+^!)；解法二：由己知的函数y=sm(x-7)逆向变换，第一步：向左平移£个单位长度，得到y=sin(x+g-9]=sin[x+=]的图象,3 I34JI12；

Xrr\第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到>=sm不+方的图象,(x兀即为>=/(x)的图象，所以/(x)=sin-+—故选：B.【点睛】本题考查三角函数的图象的平移和伸缩变换，属基础题，可以正向变换，也可以逆向变换求解，关键是要注意每一步变换，对应的解析式中都是X的变换，图象向左平移。个单位，对应X替换成x+a,图象向右平移。个单位，对应了替换成牢记“左加右减I诀；图象上每个点的横坐标伸长或缩短到原X来的左倍，对应解析式中X替换成7.K78.在区间（0,1）与（1,2）中各随机取1个数，则两数之和大于一的概率为（42D--9TOC\o"1-5"\h\z7 23 92D--9A.- B.— C.—9 32 32【答案】B【解析】【分析】设从区间0」，L2中随机取出的数分别为羽y,则实验的所有结果构成区域为Q=｛（x,y）|0<x<l,l<y<2）,设事件A表示两数之和大于;，则构成的区域为A=/（X,y）|0<%<1,1<y（2,y）^\,分别求出QA对应的区域面枳，根据几何概型的的概率公式即【详解】如图所示:—^丁一Aq,认7【详解】如图所示:—^丁一Aq,认7、、旧设从区间0/，1,2中随机取出的数分别为x,y,则实验的所有结果构成区域为O={(x,y)|0c<l/<)Y2},其面枳为“=1x1=1.

2332#设事件A表示两数之和大于（，则构成的区域为人=｛（苍>）|0<]<1,1<>〈2/+），）（，，2332#13323部分，其面积为SA=1——x—x—=—,A24432故选：B.【点睛】本题主要考查利用线性规划解决几何概型中的面积问题，解题关键是准确求出事件QA对应的区域面枳，即可顺利解出.9.魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高.如图，点E，”，G在水平线AC上，OE和尸G是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”,GC和后”都称为“表目距”，GC与的差称为“表目距的差”则海岛的高A3二（）表高x表距A 表目距的差+表高口表高X表距主旨表目距的差一表回C.表高x表高x表距A 表目距的差+表高口表高X表距主旨表目距的差一表回C.表高x表距表目距的差+表距D.表高x表距表目距的差一表距【答案】A【解析】【分析】利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出.【详解】如图所示:DFEHFGCG由平面相似可知，—= =-t而DE=FG,所以ABAHABACDE_EH_CG_DE_EH_CG_CG-EH_CG-EHAB~AH~AC~AC-AH~CH而C"=CE-EH=CG-EH+EG,即AB=CG*+巴小二生生+小建曾慧即AB=CG*+巴小二生生+小建曾慧十表高CG-EH CG-EH 表目距的差故选：A.【点睛】本题解题关键是通过相似建立比例式，闱绕所求目标进行转化即可解出.10.设4工0,若1=。为函数/(1)=4(工一4『(工一6)的极大值点，则()A.a<b B.a>b C.ab<a2 D.ab>a2【答案】D【解析】【分析】结合对。进行分类讨论，画出/(x)图象，由此确定正确选项.【详解】若。二人则/(1)=。(工一。)3为单调函数，无极值点，不符合题意，故axb.依题意，1=。为函数/(工)=4(不一〃『(工一6)的极大值点，当〃<0时，由x〉〃，f(x)<0,画出/(x)的图象如下图所示：由图可知be。，«<0,故当〃>0时，由时，/(x)>0,画出/(x)的图象如下图所示:由图可知〃>0,故ab>c『.综上所述,ab>标成立.故选：D【点睛】本小题主要考杳三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.11.设8是椭圆。：［+;=1伍>}>0）的上顶点，若。上的任意一点P都满足|夕5区2〃，则C的离心cr率的取值范围是（）【答案】C【解析】【分析】设尸（天,%），由5（0⑼，根据两点间的距离公式表示出|「耳，分类讨论求出|P目的最大值，再构建齐次不等式，解出即可.TOC\o"1-5"\h\z2 7【详解】设尸（见,%）,由6（0㈤，因为至+g_=i,a2=b2+c2,所以crb-（v2\ 2 /3\2 14|。8『=4+（"一匕『=标I-*+（）'。一/?『=一百K+r+—+a2+b2,Ib-） 以）c-因为一〃当一白—b,即〃飞/时，|尸比田=4〃，即|P6|皿小2〃，符合题意，由〃飞/可得标之2c2,即o<e«巫；2当一g〉—b,即//时，+即*+ 化简得,(c2-b2^<0,显然该不等式不成立.故选：C.【点睛】本题解题关键是如何求出归目的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值..设4=21nl.Ol,b=lnl.O2,c=VL04-1.则( )A.a<b<c B.b<c<a C.b<a<c D.c<a<b【答案】B【解析】【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对。》的大小作出判定，对于。与c,〃与c的大小关系,将001换成x,分别构造函数/(x)=21n(l+x)—Jl+4x+l,g(x)=ln(l+2x)—Jl+4x+l,利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范闱内的单调性，结合共0尸0y(0)=0即可得出。与c,〃与c的大小关系.【详解】67=21ii1.01=1ii1.012=lii(l+0.01)2=1ii(1+2x0.01+0.012)>1ii1.02=Z;,所以/?<〃；下面比较c与。力的大小关系./ । 9 7 2(J1+4—-1—X)记"x)=21n(l+x)—VI7Z7+l恻/(O)=O，r(x)=^_^^==J__, L］+xy/l+4x (1+x)>/l+4x由于l+4x-(l+x)-=2x-x2=x(2-x)所以当0v%<2时，l+4x-(l+x『>0,即Jl+4x>(l+x)J'(+)>0,所以f(x)在［0,2］上单调递增,所以/(0.01)>/(0)=0即21nL01〉VT^—1,即。〉C；I / 2 ? 2(Jl+4x-1-2x)令g(x)=ln(l+2x)-Jl+4x+l,则g⑼=0,g'(x)= z=- / ，,l+2xJ1+4- (l+x)Vl+4x由于l+4x-(l+2x『=-4x2,在Q0时,1+4x-(1+2x)2<0,所以g'(x)<0,即函数g(x)在［0,+8)上单调递减，所以g(O.Ol)vg(O)=O,即lnl.02cmz-1,即从C综上，b<c<a,

故选：B.【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数,利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.填空,：本，共4填空,：本，共4小题，每小题5分，共20分..已知双曲线。上—俨=1(〃7〉0)的一条渐近线为出工+团),=0,则。的焦距为m【答案】4【解析】【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出。力的关系，再结合双曲线中对应关系，联立求解川，再由关系式求得C,即可求解【详解】由渐近线方程+ =0化简得>=-且x,即2=更，同时平方得匕=之，又双曲线中mam 。-nra2=m,b2=1,故三=工,解得=3/〃=0(舍去)，=/+//=3+l=4nc=2,故焦距2c=4nrm故答案为：4【点睛】本题为基础题，考查由渐近线求解双曲线中参数，焦距，正确计算并联立关系式求解是关键.己知向量4=(L3),B=(3,4),若则2=.【答案】I【解析】【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出.【详解】因为14=(1,3)—2(3,4)=(1—343—4/1),所以由，一码_L5可得，3(1—34)+4(3—42)=。，解得/l=|.故答案为：—.【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设£=(.7);),B=(.q，K),〃J_Bu>4-B=0oxtx2+);乃-0，注意与平面向量平行的坐标表示区分..记6c的内角A,B,。的对边分别为a,b,C,而枳为岔，3=60。，a2+c2=3ac，则〃=.【答案】2&【解析】【分析】由三角形面积公式可得收=4,再结合余弦定理即可得解.

【详解】由题意，S\Bc=LacsmB=®ac=小,所以4c=4,/+/=12,所以/=/+/-24ccos6=12—2x4xL=8,解得6=2点（负值舍去）.2故答案为：2应..以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组答案即可）.图① 图② 图③图④2-H图④2-H图⑤【答案】③④【解析】【分析】由题意结合所给的图形确定一组三视图的组合即可.【详解】选择侧视图为③，俯视图为④，

D】D】如图所示，长方体A5c0—44GA中，AB=BC=2,BB]=1,旦尸分别为棱8£,8C的中点,则正视图①，侧视图③，俯视图④对应的几何体为三棱锥E—A0/L故答案为：③④.【点睛】三视图问题解决的关键之处是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分..某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如卜.:旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为7和亍，样本方差分别记为S；和S>(1)求x,y,S；,S；；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果了-无之2新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.【答案】（1）7=103=10.3,S：=0.036,S；=0.04：（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备没有显著提高.

【解析】【分析】（1）根据平均数和方差的计算方法，计算出平均数和方差.（2）根据题目所给判断依据，结合（1）的结论进行判断..、冲皿、,、一【解析】【分析】（1）根据平均数和方差的计算方法，计算出平均数和方差.（2）根据题目所给判断依据，结合（1）的结论进行判断..、冲皿、,、一9.8+10.3+10+10.2+9.9+9.8+10+10.1+10.2+9.7in［详解］x= =10,1010.1+10.4+10.1+10+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5 =10.3,100.22+0.3?+0+0.22+0.12+0.22+0+0.12+0.22+0.32八 =U.U36，10…0.22+0.12+0.22+0.32+0.22+0+0.32+0.22+0.F+0.22八〜S；= =0.04・- 10(2)依题意，y-x=0.3=2x0.15=2V0.152=2^0.025»2卜=2,0.038，,所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备没有显著提高.18.如图，四棱锥P—A5CD的底面是矩形，?。，底面458,PD=DC=l,M为5c的中点，且（2）求二面角4一月必一3的正弦值.【答案】（1）JJ；（2）叵14【解析】【分析】（1）以点。为坐标原点，DA.DC、OP所在直线分别为％、）'、z轴建立空间直角坐标系，设5c=2〃，由已知条件得出户从4^=0,求出。的值，即可得出5c的长；

（2）求出平面Q4M、出加的法向量，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果.【详解】（1）•.•PZ）_L平面45c0,四边形A5CZ）为矩形，不妨以点Z）为坐标原点，DA.DC、。尸所在直线分别为工、V、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系。一a），z,设6C=2a,则0（0,0,0）、尸（0。1）、8（2<1,0）、M（4,1,0）、A（2a,0,0）,则方=（2a,LT）,AM=（-«,L0）,•.•P6_L4W，则万=疗+1=0,解得。=孚，故8c=2〃=应;（2）设平面（2）设平面Q4M的法向量为诟二（/44）,则AM'='与。AP=(-5/2,0,l),取玉=无，可得用=（应,1,2卜m-AM=_孝&+取玉=无，可得用=（应,1,2卜m-AP=->/2xl+Zi=0设平面的法向量为1=（9，）%么），6M'=一3,0,01BP=（-V2,-1,1）,J/b的"也尤二0 一由］_ 2 - ,取力=1,可得〃二（04,1）,n-BP=一应尤_4+乙=0.1—一cos<〃?，〃>=in-n〃?・cos<〃?，〃>=in-n〃?・〃3 _35/14不又近一14所以,sm<〃7,〃>=V1所以,sm<〃7,〃>=V1-cos?<加；;>=叵14因此，二面角—5的正弦值为画.14【点睛】思路点睛：利用空间向量法求解二面角的步骤如下：（1）建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标；（2）设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量即可）：（3）计算（2）中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角还是钝角,从而得到二面角的余弦值.2 119.记S”为数列｛q｝的前〃项和，2为数列｛S〃｝的前〃项积，己知不+厂=2.（1）证明：数列也｝是等差数列；（2）求｛可｝的通项公式.2【答案】（1）证明见解析；（2）an=lTOC\o"1-5"\h\z—一1 〃22♦【解析】2 1 2〃【分析】（1）由己知不+二=2得5〃=丁\，且〃尸0,取〃=1,得,由题意得3”么 小一1 22bl 2A 2bfj. 2bmb.. ..北士.刃口…不1="，消积得到项的递推关系无。=臂，进而证明数列也｝是等差数列；2（2）由（1）可得"的表达式，由此得到S〃的表达式,然后利用和与项的关系求得q=彳 .—一1 之2【详解】（1）由己知不+厂=2得5”=蜡、■，且“了之,J""n —I 2取〃=1,由S]=4得4=g,由于“为数列｛s,J的前1项积,

2bl所以不2b22b,—12b.所以右2a2b.-1所以由于4+1所以北二口丁，即%「"二；其中〃2bl所以不2b22b,—12b.所以右2a2b.-1所以由于4+1所以北二口丁，即%「"二；其中〃£*所以数列｛“｝是以a=g为首项，以♦=；为公差等差数列;(2)由(1)可得，数列｛0｝是以&=|为首项:.b=-+(n-l)x—=l+—,

“2' 72 2,以d=9为公差的等差数列,23当n=l时，a=S=—,2当〃N2时=S〃一S〃t2+7?1+〃，显然对于〃=1不成立,P=11【点睛】本题考查等差数列的证明，考查数列的前〃项和与项的关系，数列的前〃项积与项的关系，其中由2bl 2AX 一2b2bl 2AX 一2b〃=bn，得到2bl 2AX .2b1—12A—12b—1, 2b..b..="+】，进而得到"\=产是关键一步；要熟练掌握前〃项和，积与数列的项的关系，消和(积)得到项(或项的递推关系)，或者消项得到和(积)的递推关系是常用的重要的思想方法.20.设函数/(x)=ln(a—x),已知x=0是函数丁=,4(x)的极值点.(1)求a；

（2）设函数（2）设函数g*）=x+/(x)

VU)证明:g(x)<L【答案】1；证明见详解【解析】x+ln(l—x)⑵由⑴得g”画言x+ln(l—x)⑵由⑴得g”画言工＜1且无工0,分类讨论X£（O,1）和X£（—8,O）,可等价转化为要证g(x)<l,即证x+ln(l—x)>xln(l—x)在xe((M)和x£(—s,O)上恒成立，结合导数和换元法即可求解1 、 Kx【详解】(1)由/(x)=ln(4—x)=>/〈x)=--,y=V\x)=>)"=ln(a-x)+——,.XCl XCl又x=0是函数y=-4(x)的极值点，所以>'(0)=1114=0,解得a=l；(2)由(1)得/(x)=ln(l—x),g(x)=-+/")= ：),xvl且XW0,7 \ 7 xf(x)xlll(l-x)当xe(o,l)时，要证85)=)土一V<1,vx>o,hi(l-x)<o,;.xln(l-x)<Ot即证x+lll(l-x)>xlll(l-x),化简得入+(1-1)111(1-1)>0；同理，当xe(-s,0)时，要证-—<1,・.F<0,ln(l—x)>0,;.xln(l-x)<0,即证\ 7 xhi(l-x)x+hi(l-x)>xhi(l-x),化简得工+(1-1)111(1一.丫)〉0；令〃3=x+(l—x)ln(l—x),再令/=l—x,则f<O1)U(L+s),x=l-t,令g(f)=l-f+flnr,g'a)=-l+lnf+l=lnf,当f£(O,l)时，g[x)<0,g(x)单减,假设g(l)能取到,则g⑴=0,故g«)>g(l)=O;当1£。,+8）时,g＜x）＞0,g（x）单增，假设g（l）能取到,则g（l）=O,故g（，）＞g（l）=。；综上所述,g(x)=X+lll(l-X)综上所述,g(x)=X+lll(l-X)

xhi(l-x)＜1在工e（—s,0）U（。」）恒成立【点睛】本题为难题，根据极值点处导数为o可求参数。，第二问解法并不唯一，分类讨论对函数进行等价转化的过程，一定要注意转化前后的等价性问题，构造函数和换元法也常常用于解决更杂函数的最值与恒成立问题.21.已知抛物线C:x2=2py（p＞0）的焦点为F，且尸与圆W:V+（y+4）2=1上点的距离的最小值为4.（1）求〃；（2）若点户在"上，尸4尸5是。的两条切线，43是切点，求△P45面积的最大值.【答案】（1）p=2；（2）20B【解析】【分析】（1）根据圆的几何性质可得出关于〃的等式，即可解出〃的值；（2）设点4（%,到）、5（天,8）、尸（见，儿），利用导数求出直线尸A、PB,进一步可求得直线AB的方程，将直线A5的方程与抛物线的方程联立，求出|4耳以及点夕到直线A6的距离，利用三角形的面枳公式结合二次函数的基本性质可求得△P48面积的最大值.【详解】（1）抛物线C的焦点为尸|FM|=§+4,所以，尸与圆/：V+（y+4）2=l上点的距离的最小值为"+4-1=4,解得〃=2；2（2）抛物线C的方程为/=4＞，即），=：,对该函数求导得＞=1,设点a（n，m）、B（W，K）、尸C%,）'o），直线丛的方程为y-%=｝（x—xj,即y=乎一其，即x/-2y「2y=0,乙 乙同理可知，直线P3的方程为公1-2），2-2），=0,由于点夕为这两条直线公共点，则:I° ;°八，[x2xQ-2y2-2yQ=0所以，