弹性力学热应力课件

十一章热应力

当弹性体的温度变化时，其体积将会有改变的趋势，但是弹性体受外在约束及其本身各部分之间的相互约束，这种体积改变的趋势不能自由地发生，从而产生应力，称为温度应力。为了决定弹性体内的温度应力,首先要按照热传导理论,计算弹性体内各点在各瞬时的温度,得到前后温度场的变温,然后根据热弹性力学,根据弹性体内的变温来求出各点的温度应力。1ppt课件十一章热应力当弹性体的温度变化时，第一节温度场与热传导的基本概念第二节热传导方程第三节温度场的边值条件第四节按位移求解温度应力的平面问题第五节微分方程的求解第六节轴对称温度场平面热应力问题第七节稳定温度场的差分解第八节应力函数差分解2ppt课件第一节温度场与热传导的基本概念2ppt课件第一节温度场与热传导的基本概念

当弹性体的温度变化时，其体积将会有改变的趋势，但是弹性体受外在约束及其本身各部分之间的相互约束，这种体积改变的趋势不能自由地发生，从而产生应力，称为温度应力。

一基本概念

1.温度场在同一时间，物体内各点处温度值的总体。一般说来，温度场是位移和时间的函数。即T=T（x,y,z,t）若T=T（x,y,z），即温度场不随时间的变化而变化，称为稳定温度场。3ppt课件第一节温度场与热传导的基本概念当弹性体的温度变2.等温面任一瞬间，同一温度场内温度相同的各点之间的连线，构成等温面，沿等温面移动，温度不变；沿等温面的法线方向移动，温度的变化率最快。

3.温度梯度沿着等温面的法线方向，指向温度增大的方向，其大小等于，取沿等温面法线方向的单位矢量为n0。则

n0为沿等温面法线方向的单位矢量。

若T=T（x,y,t），即温度随时间和平面内的两位置坐标变化而变化，称为平面温度场。(1)4ppt课件2.等温面任一瞬间，同一温度场内温度相温度梯度在各坐标轴的分量为:

4.熱流密度单位时间内通过等温面面积的热量，称为热流速度，用dQ

表示，通过单位等温面面积的热流速度称为热流密度，即q

熱流密度S

等温面面积

(2)5ppt课件温度梯度在各坐标轴的分量为:4.熱流密度熱流密度的矢量表示为

5.热传导基本定率热流密度与温度梯度成正比且方向相反。λ为导热系数

.由上述公式(1)、(3)、(4)得(3)(4)q(5)6ppt课件熱流密度的矢量表示为5.热传导基本定率

式（5）表明，导热系数等于单位温度梯度下通过等温面单位面积的热流速度。由式（1）和（4）知热流密度在坐标轴上的投影(6)7ppt课件式（5）表明，导热系数等于单位温度梯度下通过式（6）与式（2）比较得式（7）表明，热流密度在任一方向上的分量，等于导热系数乘以温度在该方向的递减率。

(7)8ppt课件式（6）与式（2）比较得式（7）表明，热流密度在任一方向上的第二节热传导微分方程的推导1.热平衡原理在任意一段时间内，物体的任一微小部分所积蓄的热量等于传入该微小部分的热量加上内部热源所供给的热量。2.热传导微分方程的推导

如图取微小六面体dxdydz,假定该六面体的它所积蓄热量是温度在dt时间内升高了，ρcdxdydzdt,其中ρ是物体密度，c是比热容。9ppt课件第二节热传导微分方程的推导1.热平衡原理

在时间dt内，由六面体ABA’B’

面传入的热量为qxdxdydzdt,由CDC’D’面传入的热量为由式

传入的静热量为：10ppt课件在时间dt内，由六面体ABA’B’面传入的同样可得：

由ADD’A’

和BCC’B’两面传入的静热量为：

由ABCD

和A’B’C’D’两面传入的静热量为：

因此，传入微小六面体的总静热量为：

11ppt课件同样可得：由ADD’A’和BCC’B’两

假定物体内部有正热源供热，在单位时间单位面积供热为W,则物体在时间dt内产生的热量为Wdxdydzdt根据热量平衡原理得：化简得：

记

称为温度系数,上式可简写为：

这就是热传导微分方程。

12ppt课件假定物体内部有正热源供热，在单位时间单位面积供第三节温度场的边值条件

为了能够求解热传导微分方程，从而求得温度场，必须已知物体在初始瞬间的温度分布，即所谓初始条件，同时还要知道初始瞬间以后物体表面与周围介质之间热交换的规律,即所谓边界条件。二者合成边值条件。

初始条件一般表示如下：

(T)t=0=f(x,y,z)13ppt课件第三节温度场的边值条件为了能够求解热传导微分

边界条件有四种形式：第一类边界条件已知物体表面上任一点在所有瞬间的温度，即：

Ts=f(t)其中Ts表示物体表面的温度。

第二类边界条件已知物体表面上任一点点处的法向热流密度，即：

(qn)s=f(t)14ppt课件边界条件有四种形式：第二类边界

第三类边界条件已知物体边界上任一点在所有瞬间的对流放热情况，按照热量的运流规律，在单位时间内从物体表面传向周围介质的热流密度和两者的温差成正比。即：

(qn)s=β(Ts-Te)其中：β

放热系数

Ts

物体表面温度Te

周围介质温度

或15ppt课件第三类边界条件已知物体边界上任一点在所有

第四类边界条件以知两物体完全接触，并以热传导方式进行热交换。即：

Ts=Te16ppt课件第四类边界条件以知两物体完全接触，并以热

设弹性体内各点的变温为T,从而引起弹性体内各点的微小长度发生应变αT，α为线热胀系数,弹性体内各点的形变分量为：第四节按位移求解温度应力的平面问题εx=εy=εz=αΤ，γyz=γzx=γxy=017ppt课件设弹性体内各点的变温为T,从而引起弹性体内各点

由于弹性体所受的外在约束及弹性体内各部分之间相互约束，上述形变不能自由发生，产生温度应力。因而总的形变分量为：(8)18ppt课件由于弹性体所受的外在约束及弹性体内各部分之间相

如图所示等厚薄板及坐标系中，没有体力和面力作用，只有变温T的作用且变温T是x和y的函数。因而有并由式（8）得出用应力分量与变温T所表示的形变分量的物理方程，即热弹力学物理方程：(9)19ppt课件如图所示等厚薄板及坐标系中，没有体力和面力作用

由上式求解应力分量，得出用形变分量与变温T所表示的应力分量物理方程：其中

(11)(10)20ppt课件由上式求解应力分量，得出用形变分量与变温T所将式（11）代入式（10）得：

为用位移分量和变温T表示的应力分量公式。又平面平衡微分方程为：

在此体力为零，

(12)(13)21ppt课件将式（11）代入式（10）得：为用位移分量和变温T表示的应将式（13）代入（12）并化简得：

又据平面问题的应力边界条件得：

(14)(15)22ppt课件将式（13）代入（12）并化简得：又据平面问题的应力边界条

把式（14）（15）与通常平面问题相比较可知：在温度应力的平面应力问题中，温度应力等于假想体力

和假想面力

所引起的应力。23ppt课件把式（14）（15）与通常平面问题相比较可知：

平面应变时假定τyz=τzx=εz=0，由式（8）可得物理方程：

因此和平面应力的热物理方程比较，将上述各方程中的则得到在平面应变条件下的相应方程。ν换成α(1+α)

E换成α换成24ppt课件平面应变时假定τyz=τzx=εz=0，由式

在求解微分方程（14）时，应分两步进行。

1.求出微分方程的任一组特解。

2.不计变温T,求出微分方程的一组补充解，并使它和特解叠加以后满足边界条件。

为了求得微分方程的一组特解，引用一个函数φ（x,y），使第五节微分方程的求解u.’v’为微分方程的特解。25ppt课件在求解微分方程（14）时，应分两步进行。即为

又u.v都是常量，所以取：

代入微分方程（14）并化简得：

时，φ（x,y）满足(14)式，因此可以作为微分方程(14)的一组特解。(16)26ppt课件即为又u.v都是常量，所以取：代入微分方程（14）并化简将

及式（16）代入式（12）得相应与位移特解的应力分量：位移的补充解u’’.v’’满足式（14）的齐次方程

27ppt课件将及式（16）代入式（12）得相应与位移特解的应力分量：位相应与位移补充解的应力分量，可由式（13）令T=0得出

从而得总的位移分量：

u=u’+u’’

v=v’+v’’并满足位移边界条件。28ppt课件相应与位移补充解的应力分量，可由式（13）令T=0得出从而满足应力边界条件。在平面应变条件下，将上述各方程中的换成α(1+)。

总的应力分量：E换成α换成29ppt课件满足应力边界条件。在平面应变条件下，将上述各方程中的换成α

下面分析轴对称温度场引起的平面热应力问题，对于该类问题，由于只存在位移分量，故可直接按位移法求解。设圆筒的内外径分别为a,b，不考虑体积力平面应力问题平衡微分方程中的第二式自然满足，而第一式成为：

第六节轴对称温度场平面热应力问题30ppt课件下面分析轴对称温度场引起的平面热应力问题，对于几何方程：

中的第三式自然满足，第一，二式成为：

物理方程：

31ppt课件几何方程：中的第三式自然满足，第一，二式成为：物理方程：中的第三式自然满足，而第一，二式成为：得按位移求解轴对称热应力的基本方程：

再代入代入可表示为32ppt课件中的第三式自然满足，而第一，二式成为：得按位移求解轴对称热应上式改写：

积分两次可得到轴对称问题位移分量：

式中c1,c2

为任意常数，积分下限可取圆筒内径a。33ppt课件上式改写：积分两次可得到轴对称问题位移分量：式中c1,由上式可得应力分量：在无面力条件下，由边界条件

可求出积分常数：

(17)34ppt课件由上式可得应力分量：在无面力条件下，由边界条件可求出积分将它们代入(17)得:

对于圆筒，作为平面应变问题，上式变为：35ppt课件将它们代入(17)得:对于圆筒，作为平面应变问题，上式变为按的条件，应力分量代入上式得：

(上式所示应力在无限长圆筒中或在两端受纵向完全约束的有限长圆筒中才可能发生。)

36ppt课件按的条件，应力分量代入上式得：(上

例：设圆筒从某一均匀温度加热，内表面增温Ta

，外表面增温Tb

，试求筒内无热源，热流稳定后的热应力。解：首先求温度场，由热传导微分方程TaTbab无热源，热流稳定后的热热传导微分方程为37ppt课件例：设圆筒从某一均匀温度加热，内表面增温Ta或

积分两次得:

由边界条件

TaTbab对于轴对称温度场有38ppt课件或积分两次得:由边界条件TaTbab对于轴对称温度场有将上式代入式(17)积分后得：TaTbab求出任意常数A和B后，再代入上式，得温度场：39ppt课件将上式代入式(17)积分后得：TaTbab求出任意常数A和第七节稳定温度场的差分解1.稳定温度场的差分解在无热源的平面稳定温度场中，有

热传导微分方程

简化为

40ppt课件第七节稳定温度场的差分解1.稳定温度场的差分解热传导微

为了用差分法求解，在温度场中织成网格，如图所示，在结点0处有将上式代入

得差分方程T0－T1－T3－T5－T7=0(18)41ppt课件为了用差分法求解，在温度场中织成网格，如图所

若温度场的全部边界都具有第一类边界条件，即每一个边界结点的T值都已知，只要对每一个结点分别建立形如式（18）的差分方程,即可求得弹性体内所有结点的T值。

具有第二类边界条件的结点0，如图，假定结点0的边界垂直与x轴，其外法线的方向沿x轴正向的，则边界条件（qx）0是结点0沿x方向的热流密度。42ppt课件若温度场的全部边界都具有第一类边界条件，即每解出T1后代入式（18）得修正差分方程如边界是绝热边界或对称轴，(qx)0=0,前二式可化简为：4T0－T7－2T5－T3=0(19)

具有第三类边界条件的边界结点0，如图，已知介质的温度为Te,则边界条件为：对上式用差分公式得对上式用差分公式得43ppt课件解出T1后代入式（18）得修正差分方程如边界是绝热边界或对称

具有第四类边界条件的边界结点，在完全接触的情况下，两个接触体的温度场是连续的，只要两个接触体具有相同的热性常数，这个边界接点就和内接点完全一样。

解出T1后代入式（18）得修正差分方程44ppt课件具有第四类边界条件的边界结点，在完全接触的情况第八节温度应力问题的应力函数差分解温度应力的平面问题的物理方程为

其中T是变温，代入形变相容方程得

令体力为零,由平衡微分方程得45ppt课件第八节温度应力问题的应力函数差分解温度应力的平面问上述二式分别对x,y求偏导相加得

代入式（26）化简得因在温度应力问题中，没有体力作用，令

代入式（19）得(19)(20)46ppt课件上述二式分别对x,y求偏导相加得代入式（26）化简得因在温

温度应力问题中，面力分量为零，故边界上所有各点都有成立。用差分法求解温度应力将式（20）化成差分方程,其中（图）：47ppt课件温度应力问题中，面力分量为零，故边界上所有利用上两式得到所需的差分方程：根据边界条件，可得到边界条件的差分形式

这样，求解温度应力问题就是在上述边界条件下求解差分方程，这些方程中只包含内结点处的应力函数值，然后求得各结点处的应力分量。48ppt课件利用上两式得到所需的差分方程：根据边界条件，可得到边界条件的

十一章热应力

当弹性体的温度变化时，其体积将会有改变的趋势，但是弹性体受外在约束及其本身各部分之间的相互约束，这种体积改变的趋势不能自由地发生，从而产生应力，称为温度应力。为了决定弹性体内的温度应力,首先要按照热传导理论,计算弹性体内各点在各瞬时的温度,得到前后温度场的变温,然后根据热弹性力学,根据弹性体内的变温来求出各点的温度应力。49ppt课件十一章热应力当弹性体的温度变化时，第一节温度场与热传导的基本概念第二节热传导方程第三节温度场的边值条件第四节按位移求解温度应力的平面问题第五节微分方程的求解第六节轴对称温度场平面热应力问题第七节稳定温度场的差分解第八节应力函数差分解50ppt课件第一节温度场与热传导的基本概念2ppt课件第一节温度场与热传导的基本概念

当弹性体的温度变化时，其体积将会有改变的趋势，但是弹性体受外在约束及其本身各部分之间的相互约束，这种体积改变的趋势不能自由地发生，从而产生应力，称为温度应力。

一基本概念

1.温度场在同一时间，物体内各点处温度值的总体。一般说来，温度场是位移和时间的函数。即T=T（x,y,z,t）若T=T（x,y,z），即温度场不随时间的变化而变化，称为稳定温度场。51ppt课件第一节温度场与热传导的基本概念当弹性体的温度变2.等温面任一瞬间，同一温度场内温度相同的各点之间的连线，构成等温面，沿等温面移动，温度不变；沿等温面的法线方向移动，温度的变化率最快。

3.温度梯度沿着等温面的法线方向，指向温度增大的方向，其大小等于，取沿等温面法线方向的单位矢量为n0。则

n0为沿等温面法线方向的单位矢量。

若T=T（x,y,t），即温度随时间和平面内的两位置坐标变化而变化，称为平面温度场。(1)52ppt课件2.等温面任一瞬间，同一温度场内温度相温度梯度在各坐标轴的分量为:

4.熱流密度单位时间内通过等温面面积的热量，称为热流速度，用dQ

表示，通过单位等温面面积的热流速度称为热流密度，即q

熱流密度S

等温面面积

(2)53ppt课件温度梯度在各坐标轴的分量为:4.熱流密度熱流密度的矢量表示为

5.热传导基本定率热流密度与温度梯度成正比且方向相反。λ为导热系数

.由上述公式(1)、(3)、(4)得(3)(4)q(5)54ppt课件熱流密度的矢量表示为5.热传导基本定率

式（5）表明，导热系数等于单位温度梯度下通过等温面单位面积的热流速度。由式（1）和（4）知热流密度在坐标轴上的投影(6)55ppt课件式（5）表明，导热系数等于单位温度梯度下通过式（6）与式（2）比较得式（7）表明，热流密度在任一方向上的分量，等于导热系数乘以温度在该方向的递减率。

(7)56ppt课件式（6）与式（2）比较得式（7）表明，热流密度在任一方向上的第二节热传导微分方程的推导1.热平衡原理在任意一段时间内，物体的任一微小部分所积蓄的热量等于传入该微小部分的热量加上内部热源所供给的热量。2.热传导微分方程的推导

如图取微小六面体dxdydz,假定该六面体的它所积蓄热量是温度在dt时间内升高了，ρcdxdydzdt,其中ρ是物体密度，c是比热容。57ppt课件第二节热传导微分方程的推导1.热平衡原理

在时间dt内，由六面体ABA’B’

面传入的热量为qxdxdydzdt,由CDC’D’面传入的热量为由式

传入的静热量为：58ppt课件在时间dt内，由六面体ABA’B’面传入的同样可得：

由ADD’A’

和BCC’B’两面传入的静热量为：

由ABCD

和A’B’C’D’两面传入的静热量为：

因此，传入微小六面体的总静热量为：

59ppt课件同样可得：由ADD’A’和BCC’B’两

假定物体内部有正热源供热，在单位时间单位面积供热为W,则物体在时间dt内产生的热量为Wdxdydzdt根据热量平衡原理得：化简得：

记

称为温度系数,上式可简写为：

这就是热传导微分方程。

60ppt课件假定物体内部有正热源供热，在单位时间单位面积供第三节温度场的边值条件

为了能够求解热传导微分方程，从而求得温度场，必须已知物体在初始瞬间的温度分布，即所谓初始条件，同时还要知道初始瞬间以后物体表面与周围介质之间热交换的规律,即所谓边界条件。二者合成边值条件。

初始条件一般表示如下：

(T)t=0=f(x,y,z)61ppt课件第三节温度场的边值条件为了能够求解热传导微分

边界条件有四种形式：第一类边界条件已知物体表面上任一点在所有瞬间的温度，即：

Ts=f(t)其中Ts表示物体表面的温度。

第二类边界条件已知物体表面上任一点点处的法向热流密度，即：

(qn)s=f(t)62ppt课件边界条件有四种形式：第二类边界

第三类边界条件已知物体边界上任一点在所有瞬间的对流放热情况，按照热量的运流规律，在单位时间内从物体表面传向周围介质的热流密度和两者的温差成正比。即：

(qn)s=β(Ts-Te)其中：β

放热系数

Ts

物体表面温度Te

周围介质温度

或63ppt课件第三类边界条件已知物体边界上任一点在所有

第四类边界条件以知两物体完全接触，并以热传导方式进行热交换。即：

Ts=Te64ppt课件第四类边界条件以知两物体完全接触，并以热

设弹性体内各点的变温为T,从而引起弹性体内各点的微小长度发生应变αT，α为线热胀系数,弹性体内各点的形变分量为：第四节按位移求解温度应力的平面问题εx=εy=εz=αΤ，γyz=γzx=γxy=065ppt课件设弹性体内各点的变温为T,从而引起弹性体内各点

由于弹性体所受的外在约束及弹性体内各部分之间相互约束，上述形变不能自由发生，产生温度应力。因而总的形变分量为：(8)66ppt课件由于弹性体所受的外在约束及弹性体内各部分之间相

如图所示等厚薄板及坐标系中，没有体力和面力作用，只有变温T的作用且变温T是x和y的函数。因而有并由式（8）得出用应力分量与变温T所表示的形变分量的物理方程，即热弹力学物理方程：(9)67ppt课件如图所示等厚薄板及坐标系中，没有体力和面力作用

由上式求解应力分量，得出用形变分量与变温T所表示的应力分量物理方程：其中

(11)(10)68ppt课件由上式求解应力分量，得出用形变分量与变温T所将式（11）代入式（10）得：

为用位移分量和变温T表示的应力分量公式。又平面平衡微分方程为：

在此体力为零，

(12)(13)69ppt课件将式（11）代入式（10）得：为用位移分量和变温T表示的应将式（13）代入（12）并化简得：

又据平面问题的应力边界条件得：

(14)(15)70ppt课件将式（13）代入（12）并化简得：又据平面问题的应力边界条

把式（14）（15）与通常平面问题相比较可知：在温度应力的平面应力问题中，温度应力等于假想体力

和假想面力

所引起的应力。71ppt课件把式（14）（15）与通常平面问题相比较可知：

平面应变时假定τyz=τzx=εz=0，由式（8）可得物理方程：

因此和平面应力的热物理方程比较，将上述各方程中的则得到在平面应变条件下的相应方程。ν换成α(1+α)

E换成α换成72ppt课件平面应变时假定τyz=τzx=εz=0，由式

在求解微分方程（14）时，应分两步进行。

1.求出微分方程的任一组特解。

2.不计变温T,求出微分方程的一组补充解，并使它和特解叠加以后满足边界条件。

为了求得微分方程的一组特解，引用一个函数φ（x,y），使第五节微分方程的求解u.’v’为微分方程的特解。73ppt课件在求解微分方程（14）时，应分两步进行。即为

又u.v都是常量，所以取：

代入微分方程（14）并化简得：

时，φ（x,y）满足(14)式，因此可以作为微分方程(14)的一组特解。(16)74ppt课件即为又u.v都是常量，所以取：代入微分方程（14）并化简将

及式（16）代入式（12）得相应与位移特解的应力分量：位移的补充解u’’.v’’满足式（14）的齐次方程

75ppt课件将及式（16）代入式（12）得相应与位移特解的应力分量：位相应与位移补充解的应力分量，可由式（13）令T=0得出

从而得总的位移分量：

u=u’+u’’

v=v’+v’’并满足位移边界条件。76ppt课件相应与位移补充解的应力分量，可由式（13）令T=0得出从而满足应力边界条件。在平面应变条件下，将上述各方程中的换成α(1+)。

总的应力分量：E换成α换成77ppt课件满足应力边界条件。在平面应变条件下，将上述各方程中的换成α

下面分析轴对称温度场引起的平面热应力问题，对于该类问题，由于只存在位移分量，故可直接按位移法求解。设圆筒的内外径分别为a,b，不考虑体积力平面应力问题平衡微分方程中的第二式自然满足，而第一式成为：

第六节轴对称温度场平面热应力问题78ppt课件下面分析轴对称温度场引起的平面热应力问题，对于几何方程：

中的第三式自然满足，第一，二式成为：

物理方程：

79ppt课件几何方程：中的第三式自然满足，第一，二式成为：物理方程：中的第三式自然满足，而第一，二式成为：得按位移求解轴对称热应力的基本方程：

再代入代入可表示为80ppt课件中的第三式自然满足，而第一，二式成为：得按位移求解轴对称热应上式改写：

积分两次可得到轴对称问题位移分量：

式中c1,c2

为任意常数，积分下限可取圆筒内径a。81ppt课件上式改写：积分两次可得到轴对称问题位移分量：式中c1,由上式可得应力分量：在无面力条件下，由边界条件

可求出积分常数：

(17)82ppt课件由上式可得应力分量：在无面力条件下，由边界条件可求出积分将它们代入(17)得:

对于圆筒，作为平面应变问题，上式变为：83ppt课件将它们代入(17)得:对于圆筒，作为平面应变问题，上式变为按的条件，应力分量代入上式得：

(上式所示应力在无限长圆筒中或在两端受纵向完全约束的有限长圆筒中才可能发生。)

84ppt课件按的条件，应力分量代入上式得：(上

例：设圆筒从某一均匀温度加热，内表面增温Ta

，外表面增温Tb

，试求筒内无热源，热流稳定后的热应力。解：首先求温度场，由热传导微分方程TaTbab无热源，热流稳定后的热热传导微分方程为85ppt课件例：设圆筒从某一均匀温度加热，内表面增温Ta或

积分两次得:

由边界条件

TaTbab对于轴对称温度场有86ppt课件或积分两次得:由边界条件TaT