点直线平面之间的位置关系随堂检测

1．(2022·高考浙江卷)设l是直线，α，β是两个不同的平面()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β答案：B2．如图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A、B、C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC的值为()A．180° B．120°C．60° D．45°解析：选C.折叠后如图所示，连接AB，BC，CA，则它们分别为正方形的对角线．∴△ABC为正三角形，故∠ABC＝60°.3．已知m，l是异面直必存在平面α过m且与l平行；②必存在平面β过m且与l垂直；③必存在平面γ与m，l都垂直；④必存在平面π与m，l距离都相等．其中正确的序号为________．解析：②中要求m与l垂直，③中要求m与l平行，但题中没有这样的已知条件，所以②③都是错误的．答案：①④4．长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离为________．解析：利用三棱锥A1－AB1D1的体积变换：VA1－AB1D1＝VA－A1B1D1，则eq\f(1,3)×2×4＝eq\f(1,3)×6×h，h＝eq\f(4,3).答案：eq\f(4,3)5．(2022·高考辽宁卷)如图，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝eq\r(2)，AA′＝1，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．(1)证明：MN∥平面A′ACC′；(2)求三棱锥A′－MNC的体积．(锥体体积公式V＝eq\f(1,3)Sh，其中S为底面面积，h为高)解：(1)证明：法一：AC′，如图，由已知∠BAC＝90°，AB＝AC，三棱柱ABC－A′B′C′为直三棱柱，所以M为AB′的中点．又因为N为B′C′的中点，所以MN∥AC′.又MN⊄平面A′ACC′，AC′⊂平面A′ACC′，所以MN∥平面A′ACC′.法二：取A′B′的中点P，连接MP，NP，AB′，因为M，N分别为AB′与B′C′的中点，所以MP∥AA′，PN∥A′C′.所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′.又MP∩NP＝P，所以平面MPN∥平面A′ACC′.而MN⊂平面MPN，所以MN∥平面A′ACC′.(2)法一：连接BN，由题意知A′N⊥B′C′，平面A′B′C′∩平面B′BCC′＝B′C′，所以A′N⊥平面NBC.又A′N＝eq\f(1,2)B′C′＝1，故VA′－MNC＝VN－A′MC＝eq\f(1,2)VN－A′BC＝eq\f(1,2)VA′－NBC＝eq\f(1,6).法二：VA′－MNC＝VA′－NBC－VM－NBC＝eq\f(1,2)VA′－NBC＝eq\f(1,6).6.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．(1)求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；(2)证明：平面ABM⊥平面A1B1M.解：(1)因为C1D1∥B1A1，所以∠MA1B1为异面直线A1M与C1D1所成的角．因为A1B1⊥平面BCC1B1，所以A1B1⊥B1M，即∠A1B1M＝90°.而A1B1＝1，B1M＝eq\r(B1C\o\al(2,1)＋MC\o\al(2,1))＝eq\r(2)，故tan∠MA1B1＝eq\f(B1M,A1B1)＝eq\r(2)，即异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值为eq\r(2).(2)证明：由A1B1⊥平面BCC1B1，BM⊂平面BCC1B1，得A1B1⊥BM.①由(1)知，B1M＝eq\r(2)，又BM＝eq\r(BC2＋CM2)＝eq\r(2)，B1B＝2，