《一次函数》培优题含答案解析

1．如图1，已知直线y=2x+2与x轴别交于B两点以B为角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC求点C的标，并求出直线AC的关系式．如图2线CB交轴于E直线CB上一点D接ADAD=AC证BE=DE．如图3，在（）条件下，直AC交于M，（，）是线段上点，在线段上是存在一点N，使线PN平分BCM面积？若存在，请求出点N的标；若不存在，请说明理由．考点：一次函数综合题。分析图1作CQ轴垂足为Q利用等腰直角三角形的性质证eq\o\ac(△,明)ABOeq\o\ac(△,≌)BCQ，根据全等三角形的性质求OQ，的长，确定坐标；同1）的方法证eq\o\ac(△,明)BCH≌BDF再根据线段的相等关系证明△BOEeq\o\ac(△,≌)DGE，出结论；依题意确定P点标，可eq\o\ac(△,知)中BN变上高，再由=S，BN，进而得eq\o\ac(△,S)△BCM出ON．解答：）如图1，作CQ⊥x轴垂足为，∵∠OBA+∠OAB=90°，∴∠OAB=∠QBC，又∵AB=BC，∠AOB=∠Q=90°，∴△ABO≌△BCQ，∴BQ=AO=2，OQ=BQ+BO=3，CQ=OB=1，∴C（﹣，由A（，（﹣3，）可知直线ACy=x+2；（）图2，作CH⊥x轴于H，DF⊥x于F，DG⊥y于，∵AC=AD，AB⊥CB，∴BC=BD，∴eq\o\ac(△,≌)BCH△BDF，∴BF=BH=2，∴OF=OB=1，∴DG=OB，∴eq\o\ac(△,≌)BOE△DGE，∴BE=DE；eq\o\ac(△,=)BCMeq\o\ac(△,=)BCM（）图3，直线BC：﹣x，（∴P（﹣，由x+2知M（﹣，∴BM=5，则S．假设存在点N使线PN平△的面积，

，）线段BC上一，则BN∴BN=

=×，，ON=，∵BN＜，∴点N在段BM上，∴N（﹣，点评本考查了一次函数的综运用键是根据等腰直角三角形的特殊性证明全等三角形，利用全等三角形的性质求解．3．如图直线ℓ：y=kx+6x轴、轴分交于点B、，点B的标（，0的坐标为（﹣，）求k的．若P（x，）直线ℓ在第二象限内一个动点，试写OPA的面积与x函数关系式，并写出自变量x的值范围．当点P运到什么位置时，△OPA的面为9，并说明理由．考点：一次函数综合题；待定系法求一次函数解析式；三角形的面积。专题：动点型。分析）B点标代入y=kx+6，可求k值；（OA的分表示△的底和高三角形的面积公式求S与x的函数关系式；（）S=9代入（）函数关式，求x、值，得出P位置．解答：）将B（﹣，）入y=kx+6中，得﹣8k+6=0，得k=；（）（）y=x+6，又OA=6，∴S=×6×y=x+188＜＜0（）S=9时，，得x=，此时x+6=3，∴P（﹣，点评：题考查了一次函数的综合运用，待定系数法求一次函数解析式，三角形面积的求法．关键是将面积问题转化为线段的长，点的坐标来表示．7．如图①，过点1，5）和（，2）两点的直线分别与x轴、轴于A、两．如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数有10个请直接写出结果设点（0关于线AB对称点为请直接写出点D的标（2）；（）图②，请在直线AB和y轴分别找一点、△CMN周长最短，在图②中作出图形，并求出点N的标．考点：一次函数综合题。分析）先利用待定系数法求得直线AB的解式为y=﹣x+6；分别把x=2、、、5代入，求出对应的纵坐标，从而得到图中阴影部分（不包括边界）所含格点的坐标；（）先根据直线AB的析式可eq\o\ac(△,知)OAB是腰直角三角形，然后根据轴对称的性质即可求出点的标；（作点C关直线y轴的称点E连接DE交AB点交y轴点N则时△CMN的周长最短由DE两的坐标用待定系数法求出直线DE的解析式再据y轴点的坐标特征，即可求出点N的坐．解答：）设直线AB的析式为y=kx+b把（1，）代入得，kx+b=5，，解得k=﹣，b=6，∴直线AB的解式为y=﹣x+6；当x=2，y=4；当x=3，y=3；当x=4，y=2；当x=5，y=1．∴图中阴影部分（不包括边界）所含格点的有：（，（，（，（，一共个；（）直线y=﹣x+6与x轴、轴于A、两点∴A点标为（，点坐为0，∴OA=OB=6，∠OAB=45°．∵点C关直线AB的对点为D点（，0∴AD=AC=2⊥CD，∴∠DAB=∠CAB=45°，∴∠DAC=90°，∴点D的标为（，（）出点C关于线y轴的称点E连接DE交AB于点M，交y轴点N，NC=NE，点E（﹣，又∵点关直线AB的称点为D∴CM=DM，∴△CMN的长CM+MN+NC=DM+MN+NE=DE此时周长最短．设直线DE的解式为y=mx+n．把D（，（﹣4，）代入得6m+n=2，﹣4m+n=0，解得，，∴直线DE的解式为y=x+．令x=0，y=，∴点N的标为（，故答案为10，eq\o\ac(△,点)OPAeq\o\ac(△,点)OPA点评本考查了待定系数法求次函数的解析式纵坐标都为整数的点的坐标的确定方法，轴对称的性质及轴对称﹣最短路线问题，综合性较强，有一定难度．19．知如图，直线y=﹣

x+4

与x轴交于点A，与直线y=x交于点．求点P的标；求S的；动E从点O出发，沿着O的路线向点匀运动E不点O、重过点E分作EF⊥x轴于F，EB⊥y于B．设运动t时，坐标为a，0形EBOF与△OPA重部分的面积为S．S间的函数关系式．考点：一次函数综合题。分析）点纵坐标就是两个函数值相等时，从而列出方程求出坐标．（）OA看作底，P的纵坐标为高，从而可求出面积．（）该分两种情况，当在OP上时和PA时讨论两种情况求解．解答：）﹣x=3，y=．

x+4=x所以P（，（）﹣x=4．4××=2

x+4．

．2222故面积为．（）E点OP上动时，∵F点横坐标为a，所以纵坐为∴S=aa﹣×aa=．当点E在PA上动时，∵F点横坐标为a，所以纵坐为﹣∴S=（﹣a+4）﹣（a+4

a，a+4．）﹣a+2a．点评本考查一次函数的综合用键是根据函数式知道横坐标能够求出纵坐标纵坐标求出后能够表示出坐标作顶点的矩形和三角形的面积以及求两个函数的交点坐标．24图边长为4的方形置于平面直角坐标系第一象限AB边落在x轴半轴上，且A点坐标是（1，0（）线

经过点C，且与x轴于点E，四边形的面积；若直线l经过E，且将正方形ABCD分成面积相等的两部分，求直线l的解式；若直线l经点F（）与直线y=3x平．将2）中直线l沿着y轴上1平移1个位，交x轴于M，交直线l于点N求△NMF面积．1考点：一次函数综合题；一次函图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式；平移的性质。专题：计算题。分析）求出E点的标，根据梯形的面积公式即可求出四边形的积；（）据已知求出直线1上G的标，设直线的解式是y=kx+b，把E、G的标代入即可求出解析式；（）据直线l经点F（）且与直线y=3x平行，知k=3，的标代入即可1求出b的即可得出直线1，理求出解析式y=2x﹣，进一步求出M、的标，利用三1角形的面积公式即可求出△MNF的面．解答：），当y=0时，，∴E（，由已知可得，AB∥DC∴四边形AECD是形，∴四边形AECD的积S=×21+4）×4=10答：四边形AECD的积是10．（）DC上取一点G，使，则S=S，t梯AEGD梯EBCG∴G点坐标为（4，设直线的析式是y=kx+b，入得：，解得：，即：y=2x﹣，答：直线的解式是y=2x﹣．（）直线l经点F（1

）且与直线y=3x平行设直线的析式是y=kx+b，11则：k=3，代入得：0=3×﹣）+b，解得：，∴y=3x+1已知将（）中直线l沿着y轴上平移单位，则所得的直线的解析式是y=2x﹣，即：y=2x﹣，当y=0时，，∴M（，解方程组

得：，即：N（﹣，18S×[﹣﹣）]×|﹣18|=27．eq\o\ac(△,=)答：的积是27．点评本主要考查了一次函数特点定系数法求一次函数的解析式一次函数图象上点的特征平移的性质等知识点此题的关键是能综合运用上面的知识求一次函数的解析式．25如直的析表达式为y=﹣3x+3且l与x交于点D直线l经点AB，112直线l，交点C．12（）直线l的析表达式；2求△ADC的积；在直线l上存在异于点C的另一，使得△△的面积相等求点P的坐2标；（）点H为标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．考点：一次函数综合题。专题：综合题。分析）合图形可知点B和在坐，故设l的析式为y=kx+b，由图联立方程组2求出k，的值（）知l的析式，令y=0求的即可得出点D在坐；立两直线方程组，求出1交点C的标，进而可求出；eq\o\ac(△,S)（）△ADP与△ADC底都是AD面积相等所以高相等ADC高就是到AD的距离；（）在；根据平行四边形的性质，可知一定存4个样的点，规律为HC坐之和等于A、坐之和，设出代入即可得出H的标．解答：）设直线l的析达式为y=kx+b2由图象知：x=4，y=0；x=3，，∴，∴，∴直线的析表达式为；2（）y=﹣3x+3，y=0，﹣3x+3=0，∴x=1∴D（，由，解得，∴C（，﹣3∵AD=3，

=×3×|3|=；（）△ADP与△ADC底边是AD面积相等所以高相等，ADC高就是C到AD的距，即C纵坐标的绝对=﹣3|=3则P到AB距=，∴P纵标的绝对值=3，点不点C，∴点P纵标是3，∵y=1.5x﹣，，∴1.5x﹣x=6，所以点的标为（，（）在；（，，﹣31，﹣）点评本考查的是一次函数的质角形面积的计算以及平行四边形的性质等等有关知识，有一定的综合性，难度中等偏上．26．图，直线y=与轴y分别相交于点E，点A的标为（60x，y）是直线y=x+6上一个动点在点P运过程中，试写出△OPA的面s与的数关系式；当P运到什么位置，△OPA的积为，求出此时点坐标；过P作EF的垂分别交x轴、轴CD．是否存在这样的点P，eq\o\ac(△,使)COD≌△FOE？若存在，直接写出此时点P的标（不要求写解答过程不存在，请说明理由．考点次函数综合题二一次方程组系数法求一次函数解析式角形的面积；全等三角形的判定。专题：计算题；动点型。分析）出P的标，当P在第一、二象限时，根据三角形的面积公式求出面积即可；当P在三象限时，根据三角形的面积公式求出解析式即可；把s的代入解析式，求出即可；根据全等求出OC、OD的值如①所示，求出C、的标，设直线CD的解式是y=kx+b，C（﹣6，（，﹣）代入，求出直线CD的解式，再求出直线CD和直y=x+6的点坐标即可；如图②所示，求出C、的标，求出直线CD的析式，再求出直线和直y=x+6的交坐标即可．解答：）（，）代入y=x+6得：y=x+6，∴P（，x+6当P在一象时eq\o\ac(△,，)OPA面积是s=OA×y=×|﹣6|×（x+6（＞﹣8）当P在三象限时eq\o\ac(△,，)的积是OA×﹣）﹣x18（＜8）答：在点P运动程中，△OPA的面积与的函数关系式是s=（＞8）或s=﹣x﹣18（＜8解）把s=

代入得：=或=﹣x﹣18解得：﹣6.5或x=﹣6（舍去x=﹣6.5时，，∴P点坐标是（﹣6.5，（）：假设存在P点使△CODeq\o\ac(△,，)FOE①如图所示P的坐是（﹣，②如图所示：P的标是（，）存在P点使△COD≌△FOEP的标是（﹣，）（，点评本综合考查了三角形的积，解二元一次方程组，全等三角形的性质和判定，用待定系数法求一次函数的解析式等知识点题合性比较强的数学思想是分类讨论思想和数形结合思想，难度较大，对学生有较高的要求．27．图，在平面直角坐标系中直线AB与交于点，与轴于点B，与直线OC：y=x交于点C．（）直线AB解析为y=﹣2x+12求点的标；求的积．（）图，作∠AOC的平分线ON若⊥ON，垂足为E，△OAC的积为6，且OA=4，P、Q分为线段OAOE上动点，接AQ与PQ试探索AQ+PQ是否在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．考点：一次函数综合题。专题：综合题；数形结合。分析）联立两个函数式，求解即可得出交点坐标，即为点C的标．②欲求△OAC的积合形知要出点A和点C的标即可C的标已知，利用函数关系式即可求得点A的标，代入面积公式即可．（）OC上取点M，使OM=OP连接MQ，易证△POQ△MOQ，可推出；想使得AQ+PQ存在最小值，即使得A、、M三共线，又AB⊥OP可得∠AEO=∠CEO即证eq\o\ac(△,≌)AEO△CEOASA，用△OAC的积为，即可得出AM=3，AQ+PQ存在最小值，最小值为3．解答：）①由题意，（分）解得

所以C（4，分②把y=0代入﹣得x=6，所以坐标为6，分）所以分）（）在；由题意，在OC上截OM=OP，接MQ∵OP平∠AOC，∴∠AOQ=∠COQ，又OQ=OQ，∴eq\o\ac(△,≌)POQ△MOQ（分）∴PQ=MQ，∴AQ+PQ=AQ+MQ，当A、、在同一直线上，且AM⊥OC时AQ+MQ最小．即存最小值．∵AB⊥OP，所以∠AEO=∠CEO，∴eq\o\ac(△,≌)AEO△CEO（∴OC=OA=4，∵△OAC的积为6，所以AM=2×6÷4=3∴AQ+PQ存在最小值，最小值为3）点评本主要考查一次函数的合应用有一定的综合性要求学生具备一定的数学解题能力，有一定难度．29如图在面直角坐标系xoy中直线AP交轴于点p0y轴点（a且a、满．求直线AP的解式；如图1，点P关y轴对称点Q（，直线AQ上且SR=SA，直线的解式和点S的标；如图2，点B（﹣2，）直线AP上点，以AB为斜边作等腰直角三角形，点C在第一象限D为线OP上一动，连接DC以DC为角边，点为角顶点作等腰三角形DCE，EF⊥x轴，为足，下列结论：的值不变；②只有一个结论正确，请你选择出正确的结论，并求出其定值．

的值不变；其中考点：一次函数综合题；非负数性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根；待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的性质；关于轴y对称的点的坐标。专题：代数几何综合题；动点型分析）根据非负数的性质列求出p的值从而得到点P的标，然后利用待定系数法求直线的解析式；根据关于y轴点对称求出点Q坐标，再利用待定系数法求出直线AQ的析式，设出点的标后用两点的距离公式列式进行计算即可求出点S的标利用待定系数法求解直线RS的析；根据点B的横标为﹣2，可知AB的中，然后求出点B得到标，连接PC，过点C作CG⊥x轴于点G，利用角边证eq\o\ac(△,明)APO与全等，根据全等三角形对应边相等可得PG=AO，CG=PO，根据△是等腰直角三角形，利用角角边证明△CDG与△EDF全等，根据全等三角形对应边相等可得DG=EF然后用EF表示出DP的长，然后代入两个结论进行计算即可找出正确的结论并得到定值．解答：）根据题意得，a+3=0p+1=0，解得a=﹣，p=﹣，∴点A、的坐分别为A（0，﹣（10设直线AP的解式为y=mx+n，则，解得，∴直线AP的解式为y=﹣﹣；（）据题意，点Q的标为1，设直线AQ的解式为y=kx+c，则，解得，∴直线AQ的解式为y=3x﹣3，设点S的标为（，﹣则SR=

=

，SA==∵SR=SA，∴=，解得，∴3x﹣3=3×﹣3=﹣，∴点S的标为S（，设直线RS的解式为y=ex+f，则，解得，∴直线RS的解式为y=﹣3x+2；（）点B（﹣，∴点P为AB的点，连接PC，过点C作CG轴于点G，∵△ABC是腰直角三角形，∴PC=PA=AB，PC⊥AP，∴∠CPG+∠APO=90°，∴∠CPG=∠PAO，在△APO与中∴eq\o\ac(△,≌)APO△PCG（∴PG=AO=3，CG=PO，∵△DCE是等腰直角三角形，∴CD=DE，∠CDG+∠EDF=90°，又∵EF⊥x轴，∴∠DEF+∠EDF=90°，

，

，∴∠CDG=∠DEF，在△CDG与中，∴eq\o\ac(△,≌)CDG△EDF（∴DG=EF，∴DP=PG﹣﹣，①2DP+EF=23﹣EF）+EF=6﹣EF，的值随点P的化而变化，不是定值，②==，的值与点D的化无关，是定值．点评本综合考查了一次函数问题，待定系数法求直线解析式，非负数的性质，等腰直角三角形的性质全等三角形的定与性质以及关于y轴称的点的坐标的特点综性较强，难度较大，需仔细分析找准问题的突破口．30如图已直线l﹣与直线y=2x+8相交于点ll分交x轴点E、1212G，矩形ABCD顶点C、D分在线l、顶点A、都上，且点B与G重．12求点F的标和∠的数；求矩形的DC与的长若矩形从地出发沿x轴方向以每秒1单位长度的速度平移设移动时间为t≤t≤6）秒，矩形ABCD与重叠部分的面积为s，求s关t的数关系式，并写出相应的t的值范围．考点：一次函数综合题。专题：数形结合；分类讨论。分析）由于直线l：y=﹣x+2与直线y=2x+8相交于点F，因而联立两解析式组成方12程组求得解即为F点坐标．过作直线FM垂直X轴交x轴于，过坐标值间的关系证得ME=MF=4，而得到△MEF是等腰直角三角形，∠GEF=45°；首先求得B（或G）的坐标、再依次求得点、