2021大学高等代数专业试卷

2021大学专业课考试试题注意：1.所有试题的答案均写在专用的答题纸上，写在试题纸上一律无效。2.试题附在考卷内交回。学院名称：数学与统计学院 学科、专业名称：数学、统计考试科(代)：高等代数(试题共注意：1.所有试题的答案均写在专用的答题纸上，写在试题纸上一律无效。2.试题附在考卷内交回。一．选择题（5315个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内）f(xg(x)F上的多项式，且fg)1，则下列命题正确设B是n阶方阵，则必有（ ）.

(fg,f)1的是（(A)）.(f,fg)1(B)(C)(的是（(A)）.(f,fg)1(B)(C)(fg,g)1(D)(A) (AB)1A1B1 (B) ABBA(C) BAATB(D) ABAB设A是一个mn矩阵是非齐次线性方程组Axb所对应的次线性方程组，那么（ ）.AxbAx仅有零解；AxAxb有解；AxAxb有唯一解；AxbAx.在标准欧式空间R4中，与矩阵1 5 1 22 A1 4

3 12 1 41 11 3 4的每一个行向量都正交的向量的全体所构成的 R4的子空间W的维数为（ ）.(A) 1 (B) 2 (C)3 (D) 4第1页若实二次型f(x

,x)2x2x

22x

22xx

是正定的，1 2 3

1 2

12 23则t的取值范围为（ ）.(A) 1t1 (B)t1 (C)t1 (D)0t1二．填空题（5315）已知2 是实系数多项式f(x)x36x215x14的一个复数根，则f(x)必有另一个复数.是nA线性方程组

.x2xx121 2 2 x3x 2 x3

23 (1)x3

(3)(1)有唯一解，则 .已知3A的全部特征值为1

2

2,3

2，则矩阵2A2AI的行列式 .R上的三元二次型q(xxxA有特征值1 2 3

2,

3，则q(x

,x)的典范形式.1 2 3 1 2 310分）给定多项式f(x)x5x46x314x22x20，f(x的有理根；在有理数域Qf(x.A 0四10分）设分块矩阵D ，其中A，B为方阵，C B求证DAB;若

3 1

第2页0 0 0

1

1 1 23 1 0 023

2B

1

3A00000

2 3 1 00 2 3 10 0 2 3

4 1 8 1 8

9 27求D.15分）给定线性方程组 xxx123xxx1123 1 2 32xxx11 2 3取何值时，方程组有唯一解、没有解、有无穷多组解？.六15分）给定三阶方阵A，已知0，且其伴随矩阵 1 1 1 2 1 1 1 2 0 确定的值；A.16分）设V是数域F上所有4维列向量构成的向量空间，给定矩阵1 1 2 51 2 3 7A= ，1 3 4 91 4 5 111定义V到V的映射，X)AXXV。证明：是V的一个线性变换；求的核的维数。第3页18分）给定数域F上所有3维列向量构成的向量空间F3，对任意(x,y,z)F3，定义F3的线性变换:()(xyz,2xyz,yz).（1）求出在基=(1,0,0)， =(0,1,0)，=(0,0,1)下的矩阵；1 2 3求出的特征值和特征向量；判定能否相似对角化16分）设,,1 2 3

是欧式空间R3的一个规范正交基，1 1

,3

1

，3

1

.3子空间W,1 2

,)3求W的维数；求W的一个规范正交基；（3）求1 3

在W中的正投影。20分）已知实二次型f(x,

,x)