画法几何及土木工程制图土木工程制图课件

1目录§1-1点在两投影面体系中的投影§1-2点在三投影面体系中的投影§1-3两点的相对位置和无轴投影图§1-4点的辅助投影1目录§1-1点在两投影面体系中的投影2§1-1点在两投影面体系中的投影

一、点的投影

空间点在投影面上的投影仍是点。在正投影中只有点的一个投影不能确定该点在空间的位置。

规定：表示空间的点用大写字母标记，如A；表示点的投影用相应的小写字母，如a

。动画2§1-1点在两投影面体系中的投影一、点3§1-1点在两投影面体系中的投影

二、两投影面体系多面正投影法通常是用两个互相垂直的投影面，作出点的两个投影来确定该点在空间的位置。3§1-1点在两投影面体系中的投影二、两投影面体4§1-1点在两投影面体系中的投影

二、两投影面体系

水平放置的投影面称为水平投影面，简称水平面，常标以H。

竖直放置的与H面垂直的投影面称为正立投影面，简称正面，常标以V。

4§1-1点在两投影面体系中的投影二、两投影面体5§1-1点在两投影面体系中的投影

三、两投影面体系与空间直角坐标系

H

面和V

面构成两投影面体系（简称两面体系），它包含了确定空间点所必须的三个向度，即左右、前后、上下三个方向上的尺度。在两面体系中建立空间直角坐标系（OX轴、OY轴、OZ

轴）。空间点的位置用三个坐标（x，y，z）表示。

5§1-1点在两投影面体系中的投影三、两投影面体6§1-1点在两投影面体系中的投影

四、四个分角

实际上投影面是可以无限扩展的，若把H面向后、V面向下扩展出H0

和V0，无限空间便被分成了四部分，每一部分称为一个分角，依次为第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ分角。6§1-1点在两投影面体系中的投影四、四个分角7§1-1点在两投影面体系中的投影

五、点的两面投影

将点A

放在第Ⅰ分角中进行投影，向H面投射得a，称为点A

的水平投影或H面投影。将点A向V

面投射得a′，称为点A的正面投影或V

面投影。

动画7§1-1点在两投影面体系中的投影五、点的两面投8§1-1点在两投影面体系中的投影

画法几何中规定：标记V

面投影，要在小写字母的右上角加一撇，如a′；H面投影则不加一撇，如a

。点A在空间的位置被其两个投影a和a′唯一确定，因为两个投影反映了三个方向的坐标(xA，yA，

zA)。点A可表述为A(a，a′)。

8§1-1点在两投影面体系中的投影9§1-1点在两投影面体系中的投影

六、两投影面体系的展开

画投影图时，需要把互相垂直的两个投影面展开成一个平面。画法几何规定两面体系的展开方法是：V

面不动，H面绕OX轴向下旋转90°角。9§1-1点在两投影面体系中的投影六、两投影面体10§1-1点在两投影面体系中的投影

由于投影面是无限大的，在投影图中毋需画出其边界线。

投影面展开后，点A的两投影a和a′处于同一条垂直于OX

轴的直线上，此线称为投影连线，即

aa′⊥OX。

10§1-1点在两投影面体系中的投影11§1-1点在两投影面体系中的投影

七、点的两面投影规律

1.两投影的连线垂直于投影轴，aa′⊥OX

。

2.空间点的某一投影到投影轴的距离，等于该点到另一投影面的距离,即

aaX=Aa′=yA，a′aX=Aa=zA

。11§1-1点在两投影面体系中的投影七、点的两面12§1-1点在两投影面体系中的投影

例1-1点A

的坐标xA、yA、zA

分别为5、3、4个单位，试画出点A

的两面投影图。12§1-1点在两投影面体系中的投影例1-1点13§1-1点在两投影面体系中的投影

例1-2

试画出例1-1中点A

的立体示意图。

13§1-1点在两投影面体系中的投影例1-2试画14§1-2点在三投影面体系中的投影

确定点在空间的位置，如前所述，有两个投影就够了。但对于一些较复杂的形体，只有两个投影往往不能确定其形状。解决的办法是设置第三个投影面，作出第三个投影。14§1-2点在三投影面体系中的投影15§1-2点在三投影面体系中的投影

一、三投影面体系的建立

在两面体系的基础上，包含OY

轴和OZ

轴作出第三个投影面——侧立投影面（简称侧面），又称W

面。W

面与H、V

面相互垂直并一起构成三投影面体系，简称三面体系。W

面能反映前后、上下两个方向的尺度。

15§1-2点在三投影面体系中的投影一、三16§1-2点在三投影面体系中的投影

二、八个卦角

在扩展H、V

面的基础上，再扩展W面，得到V

面后的W

面的延展部分W0，从而把空间分成八个卦角（也称卦限）。W、W0面的左方为第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ

卦角，右方为第Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ卦角，投影轴的指向即坐标轴的正负向。

16§1-2点在三投影面体系中的投影二、17§1-2点在三投影面体系中的投影

三、点的三面投影

把点A放在第Ⅰ卦角中进行投射。在H、V

面上得到了a、a′，又从左向右投射，在W

面上得到点A的第三投影a″，称为侧面投影或W

面投影。它反映了点A的前后及上下两个坐标，即a″（yA，zA）。动画17§1-2点在三投影面体系中的投影18§1-2点在三投影面体系中的投影

a′aZ=aaY

=Aa″=xA，反映点A到W

面的距离；

a″aZ=aaX

=Aa′=yA，反映点A到V

面的距离；

a″aY=a′aX

=Aa=zA，反映点A到H面的距离。用三个投影表达点A

的位置时，可写成A（a

，a′，a″）。18§1-2点在三投影面体系中的投影a′aZ=19§1-2点在三投影面体系中的投影

与两面体系一样，实际画投影图时需要把三个投影面展开成一个平面。V面不动，H

面绕OX

轴向下旋转90°角，W

面绕OZ

轴向右旋转90°角。此时OY

轴被“一分为二”，随H面的轴记为OYH，随W

面的轴记为OYW

。

（点击鼠标看右图，它是不画投影面边框时点A的三面投影图。）

19§1-2点在三投影面体系中的投影与两面体20§1-2点在三投影面体系中的投影

三、点的三面投影图

给出空间点的三个坐标，就可按前述点的投影规律画出点的三面投影图；反之，由点的三面投影图应能想象出点的空间的位置。点在三面体系中的位置有：在各卦角间、在各投影面内和在各投影轴上等情况，它们都遵守相同的投影规律。

20§1-2点在三投影面体系中的投影21§1-2点在三投影面体系中的投影

四、由点的两个投影求作第三投影

分析点A的三个投影a(xA,yA)、a'(xA,zA)、a″(yA,zA)，可知，三个投影中的任意两个，都包含有确定该点空间位置所必须的x、y、z

三个坐标，因此，由点的两个投影可以作出第三投影。21§1-2点在三投影面体系中的投影四、22§1-2点在三投影面体系中的投影例1-3

如图所示，已知点A的两个投影

a及a′，求作a″。

（利用分规截量或圆规画弧作图，点击鼠标可切换。）22§1-2点在三投影面体系中的投影例1-3如图所23§1-2点在三投影面体系中的投影例1-3

如图所示，已知点A的两个投影

a及a′，求作a″。

(利用45°分角线或45°斜线作图）23§1-2点在三投影面体系中的投影例1-3如图所24§1-3两点的相对位置和无轴投影图

一、两点的相对位置

通常判别两个点在空间的相对位置，是将其中一点作为基准点，判断另一点（即比较点）在基准点之左（或右）、之前（或后）、之上（或下）多少距离。反映在投影图中，是在确定了基准点的前提下，找出两点在同一投影面上投影的同名坐标值的代数差（比较点的坐标减去基准点的坐标）△x、△y、△z，如果为正值，则比较点在基准点的左、前、上方；如果为负值，则相反。

24§1-3两点的相对位置和无轴投影图25§1-3两点的相对位置和无轴投影图例1-4已知两点的投影，试判断两点的相对位置。

解：

选定A(a,a′,a″)为基准点，B

为比较点，则有：△x为正值，点B

在点A

之左；△y为负值，点B

在点A

之后；△z为正值，点B

在点A

之上。实际上这个结果从投影图上完全可以直接观察到。画成立体图，如图所示。

25§1-3两点的相对位置和无轴投影图例1-4已知两点26§1-3两点的相对位置和无轴投影图二、点的重影及其可见性判断

当空间两点处在对某一投影面的同一条投射线上时，它们在该投影面上的投影便重合在一起。空间的这些点，称为对该投影面的重影点，重合在一起的投影称为重影。图中，点A、B是对H面的重影点，a、b则是它们的重影。26§1-3两点的相对位置和无轴投影图二、点的重影及其可27§1-3两点的相对位置和无轴投影图二、点的重影及其可见性判断

在投影图中需要判断并标明重影的可见性，即标明沿投射方向“看”去，哪个点的投影是可见的，哪个点的投影是被遮挡而不可见。重影a、b的可见性是从V面（或W面）上的投影判断出来的：a′高于b′，所以a可见，b不可见。通常在不可见的投影标记上加画括号。

27§1-3两点的相对位置和无轴投影图二、点的重影及其可28§1-3两点的相对位置和无轴投影图三、无轴投影图

在辨认两点的相对位置时，起重要作用的是两点同面投影的坐标差，而与投影轴的位置无关。因此。对于不涉及点到投影面距离的作图问题，便可不画出投影轴。这种图就称为无轴投影图。28§1-3两点的相对位置和无轴投影图三、无轴投影图29§1-3两点的相对位置和无轴投影图

例1-5

已知点A

的三个投影，如图所示，有一点B在其右3、其前3、其下2个单位处，试画出点B

的三个投影。（点击鼠标看作图）29§1-3两点的相对位置和无轴投影图例1-30§1-4点的辅助投影

对一些复杂形体常设置侧立投影面W，画出形体在W

面上的投影，以更充分、准确地表明形体的形状。用H、V

和W各面投影仍不足以准确表明形体的形状时，可以设置只与已知两投影面体系中的一个投影面相垂直的辅助投影面，作出形体在辅助投影面上的投影，称之为辅助投影。30§1-4点的辅助投影对一些复杂形体常31§1-4点的辅助投影

一、点的辅助投影

在基本的V/H两投影面体系中，有一个点A(a,a’)

。设置一个与H投影面垂直的辅助投影面V1。V1面与H面交于O1X1。O1X1

称为辅助投影轴。V1面和H面也构成一个两投影面体系。将A点向V1

面作正投影，得V1面上的投影a’1，a’1

是A点的辅助投影。动画31§1-4点的辅助投影一、点的辅助投影32§1-4点的辅助投影

一、点的辅助投影

O1X1的位置视辅助投影面V1的位置而定。aa’1⊥O1X1,ax1a’1

=axa’。

有两个两投影面体系，一个是原有的体系(V/H

)，其投影轴是OX;另一个是新设置的体系(V1/H),

其投影轴是辅助投影轴O1X1，它们共有投影面H。32§1-4点的辅助投影一、点的辅助投影33§1-4点的辅助投影

根据点的原有投影作出其辅助投影的方法，可以表述如下：

自辅助投影面所垂直的原投影面上的投影，向辅助投影轴作垂线，与辅助投影轴交于一点，自交点起在垂线上截量一段距离，使等于原有的另一投影到原有投影轴的距离，即得点的辅助投影。这个关系习惯上简单说成是新投影到新轴的距离等于老投影到老轴的距离。33§1-4点的辅助投影根据点的原有投影作出34§1-4点的辅助投影

如果设置辅助投影面H1

垂直于V面，则辅助投影面H1与V面构成新的两投影面体系(V/H1)，新旧两体系共有投影面V。这时作点的辅助投影，仍要遵循前面所表述的作图规律。

34§1-4点的辅助投影如果设置辅助投影35§1-4点的辅助投影

二、点的复辅助投影

在基本的(V/H)体系中设置辅助投影面V1后，再在(V1/H)体系中设置第二个辅助投影面H2

垂直于V1

，H2

称之为复辅助投影面。35§1-4点的辅助投影二、点的复辅助投36§1-4点的辅助投影

把A点正投影到H2面上，就得到了A点的复辅助投影a2。在(V1/H)体系中根据(a,a’1)作出a2仍然遵循了前面所表述的作辅助投影的规律。

36§1-4点的辅助投影把A点正投影到H37§1-4点的辅助投影

当然也可以先设置辅助投影面H1垂直于V，构成投影面体系(V/H1)，然后设置复辅助投影面V2

⊥H1，求复辅助投影的方法与前述类似。直线由两个点确定，平面由不在一直线上的三个点确定，求直线、平面的辅助投影和复辅助投影都可以归结为求点的辅助投影或复辅助投影。因此应透彻理解求点的辅助投影和复辅助投影的原理和熟练掌握其作图方法。37§1-4点的辅助投影当然也可以先设置383839目录§1-1点在两投影面体系中的投影§1-2点在三投影面体系中的投影§1-3两点的相对位置和无轴投影图§1-4点的辅助投影1目录§1-1点在两投影面体系中的投影40§1-1点在两投影面体系中的投影

一、点的投影

空间点在投影面上的投影仍是点。在正投影中只有点的一个投影不能确定该点在空间的位置。

规定：表示空间的点用大写字母标记，如A；表示点的投影用相应的小写字母，如a

。动画2§1-1点在两投影面体系中的投影一、点41§1-1点在两投影面体系中的投影

二、两投影面体系多面正投影法通常是用两个互相垂直的投影面，作出点的两个投影来确定该点在空间的位置。3§1-1点在两投影面体系中的投影二、两投影面体42§1-1点在两投影面体系中的投影

二、两投影面体系

水平放置的投影面称为水平投影面，简称水平面，常标以H。

竖直放置的与H面垂直的投影面称为正立投影面，简称正面，常标以V。

4§1-1点在两投影面体系中的投影二、两投影面体43§1-1点在两投影面体系中的投影

三、两投影面体系与空间直角坐标系

H

面和V

面构成两投影面体系（简称两面体系），它包含了确定空间点所必须的三个向度，即左右、前后、上下三个方向上的尺度。在两面体系中建立空间直角坐标系（OX轴、OY轴、OZ

轴）。空间点的位置用三个坐标（x，y，z）表示。

5§1-1点在两投影面体系中的投影三、两投影面体44§1-1点在两投影面体系中的投影

四、四个分角

实际上投影面是可以无限扩展的，若把H面向后、V面向下扩展出H0

和V0，无限空间便被分成了四部分，每一部分称为一个分角，依次为第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ分角。6§1-1点在两投影面体系中的投影四、四个分角45§1-1点在两投影面体系中的投影

五、点的两面投影

将点A

放在第Ⅰ分角中进行投影，向H面投射得a，称为点A

的水平投影或H面投影。将点A向V

面投射得a′，称为点A的正面投影或V

面投影。

动画7§1-1点在两投影面体系中的投影五、点的两面投46§1-1点在两投影面体系中的投影

画法几何中规定：标记V

面投影，要在小写字母的右上角加一撇，如a′；H面投影则不加一撇，如a

。点A在空间的位置被其两个投影a和a′唯一确定，因为两个投影反映了三个方向的坐标(xA，yA，

zA)。点A可表述为A(a，a′)。

8§1-1点在两投影面体系中的投影47§1-1点在两投影面体系中的投影

六、两投影面体系的展开

画投影图时，需要把互相垂直的两个投影面展开成一个平面。画法几何规定两面体系的展开方法是：V

面不动，H面绕OX轴向下旋转90°角。9§1-1点在两投影面体系中的投影六、两投影面体48§1-1点在两投影面体系中的投影

由于投影面是无限大的，在投影图中毋需画出其边界线。

投影面展开后，点A的两投影a和a′处于同一条垂直于OX

轴的直线上，此线称为投影连线，即

aa′⊥OX。

10§1-1点在两投影面体系中的投影49§1-1点在两投影面体系中的投影

七、点的两面投影规律

1.两投影的连线垂直于投影轴，aa′⊥OX

。

2.空间点的某一投影到投影轴的距离，等于该点到另一投影面的距离,即

aaX=Aa′=yA，a′aX=Aa=zA

。11§1-1点在两投影面体系中的投影七、点的两面50§1-1点在两投影面体系中的投影

例1-1点A

的坐标xA、yA、zA

分别为5、3、4个单位，试画出点A

的两面投影图。12§1-1点在两投影面体系中的投影例1-1点51§1-1点在两投影面体系中的投影

例1-2

试画出例1-1中点A

的立体示意图。

13§1-1点在两投影面体系中的投影例1-2试画52§1-2点在三投影面体系中的投影

确定点在空间的位置，如前所述，有两个投影就够了。但对于一些较复杂的形体，只有两个投影往往不能确定其形状。解决的办法是设置第三个投影面，作出第三个投影。14§1-2点在三投影面体系中的投影53§1-2点在三投影面体系中的投影

一、三投影面体系的建立

在两面体系的基础上，包含OY

轴和OZ

轴作出第三个投影面——侧立投影面（简称侧面），又称W

面。W

面与H、V

面相互垂直并一起构成三投影面体系，简称三面体系。W

面能反映前后、上下两个方向的尺度。

15§1-2点在三投影面体系中的投影一、三54§1-2点在三投影面体系中的投影

二、八个卦角

在扩展H、V

面的基础上，再扩展W面，得到V

面后的W

面的延展部分W0，从而把空间分成八个卦角（也称卦限）。W、W0面的左方为第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ

卦角，右方为第Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ卦角，投影轴的指向即坐标轴的正负向。

16§1-2点在三投影面体系中的投影二、55§1-2点在三投影面体系中的投影

三、点的三面投影

把点A放在第Ⅰ卦角中进行投射。在H、V

面上得到了a、a′，又从左向右投射，在W

面上得到点A的第三投影a″，称为侧面投影或W

面投影。它反映了点A的前后及上下两个坐标，即a″（yA，zA）。动画17§1-2点在三投影面体系中的投影56§1-2点在三投影面体系中的投影

a′aZ=aaY

=Aa″=xA，反映点A到W

面的距离；

a″aZ=aaX

=Aa′=yA，反映点A到V

面的距离；

a″aY=a′aX

=Aa=zA，反映点A到H面的距离。用三个投影表达点A

的位置时，可写成A（a

，a′，a″）。18§1-2点在三投影面体系中的投影a′aZ=57§1-2点在三投影面体系中的投影

与两面体系一样，实际画投影图时需要把三个投影面展开成一个平面。V面不动，H

面绕OX

轴向下旋转90°角，W

面绕OZ

轴向右旋转90°角。此时OY

轴被“一分为二”，随H面的轴记为OYH，随W

面的轴记为OYW

。

（点击鼠标看右图，它是不画投影面边框时点A的三面投影图。）

19§1-2点在三投影面体系中的投影与两面体58§1-2点在三投影面体系中的投影

三、点的三面投影图

给出空间点的三个坐标，就可按前述点的投影规律画出点的三面投影图；反之，由点的三面投影图应能想象出点的空间的位置。点在三面体系中的位置有：在各卦角间、在各投影面内和在各投影轴上等情况，它们都遵守相同的投影规律。

20§1-2点在三投影面体系中的投影59§1-2点在三投影面体系中的投影

四、由点的两个投影求作第三投影

分析点A的三个投影a(xA,yA)、a'(xA,zA)、a″(yA,zA)，可知，三个投影中的任意两个，都包含有确定该点空间位置所必须的x、y、z

三个坐标，因此，由点的两个投影可以作出第三投影。21§1-2点在三投影面体系中的投影四、60§1-2点在三投影面体系中的投影例1-3

如图所示，已知点A的两个投影

a及a′，求作a″。

（利用分规截量或圆规画弧作图，点击鼠标可切换。）22§1-2点在三投影面体系中的投影例1-3如图所61§1-2点在三投影面体系中的投影例1-3

如图所示，已知点A的两个投影

a及a′，求作a″。

(利用45°分角线或45°斜线作图）23§1-2点在三投影面体系中的投影例1-3如图所62§1-3两点的相对位置和无轴投影图

一、两点的相对位置

通常判别两个点在空间的相对位置，是将其中一点作为基准点，判断另一点（即比较点）在基准点之左（或右）、之前（或后）、之上（或下）多少距离。反映在投影图中，是在确定了基准点的前提下，找出两点在同一投影面上投影的同名坐标值的代数差（比较点的坐标减去基准点的坐标）△x、△y、△z，如果为正值，则比较点在基准点的左、前、上方；如果为负值，则相反。

24§1-3两点的相对位置和无轴投影图63§1-3两点的相对位置和无轴投影图例1-4已知两点的投影，试判断两点的相对位置。

解：

选定A(a,a′,a″)为基准点，B

为比较点，则有：△x为正值，点B

在点A

之左；△y为负值，点B

在点A

之后；△z为正值，点B

在点A

之上。实际上这个结果从投影图上完全可以直接观察到。画成立体图，如图所示。

25§1-3两点的相对位置和无轴投影图例1-4已知两点64§1-3两点的相对位置和无轴投影图二、点的重影及其可见性判断

当空间两点处在对某一投影面的同一条投射线上时，它们在该投影面上的投影便重合在一起。空间的这些点，称为对该投影面的重影点，重合在一起的投影称为重影。图中，点A、B是对H面的重影点，a、b则是它们的重影。26§1-3两点的相对位置和无轴投影图二、点的重影及其可65§1-3两点的相对位置和无轴投影图二、点的重影及其可见性判断

在投影图中需要判断并标明重影的可见性，即标明沿投射方向“看”去，哪个点的投影是可见的，哪个点的投影是被遮挡而不可见。重影a、b的可见性是从V面（或W面）上的投影判断出来的：a′高于b′，所以a可见，b不可见。通常在不可见的投影标记上加画括号。

27§1-3两点的相对位置和无轴投影图二、点的重影及其可66§1-3两点的相对位置和无轴投影图三、无轴投影图

在辨认两点的相对位置时，起重要作用的是两点同面投影的坐标差，而与投影轴的位置无关。因此。对于不涉及点到投影面距离的作图问题，便可不画出投影轴。这种图就称为无轴投影图。28§1-3两点的相对位置和无轴投影图三、无轴投影图67§1-3两点的相对位置和无轴投影图

例1-5

已知点A

的三个投影，如图所示，有一点B在其右3、其前3、其下2个单位处，试画出点B

的三个投影。（点击鼠标看作图）29§1-3两点的相对位置和无轴投影图例1-68§1-4点的辅助投影

对一些复杂形体常设置侧立投影面W，画出形体在W

面上的投影，以更充分、准确地表明形体的形状。用H、V

和W各面投影仍不足以准确表明形体的形状时，可以设置只与已知两投影面体系中的一个投影面相垂直的辅助投影面，作出形体在辅助投影面上的投影，称之为辅助投影。30§1-4点的辅助投影对一些复杂形体常69§1-4点的辅助投影

一、点的辅助投影

在基本的V/H两投影面体系中，有一个点