高中数学构造法求数列通

(圆满版)高中数学结构法求数列通(圆满版)高中数学结构法求数列通(圆满版)高中数学结构法求数列通结构法求数列通项例题分析型如an+1=pan+f(n)(p为常数且p≠0，p≠1)的数列(1)f(n)=q(q为常数)一般地，递推关系式an+1=pa+q(p、q为常数，且p≠0，p≠1)等价与nan1qp(anq)，则{an1q}为等比数列，进而可求an．1p1pp例1、已知数列{an}知足a11，an3an1（n2），求通项an．22解：由an3an1，得1an1(1an1)，又1a110，222因此数列{1an}是首项为1，公比为1的等比数列，22∴an1(1a1)(1)n11(1)n．22练习：已知数列{a}的递推关系为an12an1，且a11，求通项a．nn答案：an2n1．(2)f(n)为等比数列，如f(n)=qn(q为常数)，两边同除以an1pan1，qn，得qn1qnq令bnanbn+1=pbn+q的形式求解．qn，则可转变成例1、已知数列{an中，15，an111n1，求通项a．632解：由条件，得2n+1an+1=2(2nan)+1，令bn=2nan，3bn+1=2bn+1，bn+1-3=2（bn-3）33易得bn=4(2)n13，即2nan=4(2)n13，33333an=3n2n．练习、已知数列{an}知足a2a32n，a12，求通项an．n1n答案：an(3n1)2n．22(3)f(n)为等差数列，如an1AanBnC型递推式，可结构等比数列．（选学，重视记忆方法）1例1、已知数列{a}知足a11，1（），求．anan12n1n22解：令bnanAnB，则anbnAnB，∴an1bn1A(n1)B，代入已知条件，得bnAnB1[bn1A(n1)B]2n1，2即bn1bn1(1A2)n(1A1B1)，2222令A20，AB10，解得A=－4，B=6，222因此bn1，且bnan4n6，bn12{bn}是以3为首项、以1为公比的等比数列，2故bn3，故an3．n1n14n622点拨：经过引入一些尚待确立的系数，经过变形与比较，把问题转变成基本数列（等差或等比数列）求解．练习：在数列{an}中，a13，2anan16n3，求通项an．2答案：an6n99·(1)n．2解：由2anan16n3，得an11an1(6n3)，22令anAnB1[an1A(n1)B]，2比较系数可得：A=－6，B=9，令baAnB，则有n1b1a1AB9nn1，又，22∴{bn}是首项为9，公比为1的等比数列，因此bn9(1)n1，故an6n99·(1)n．222222f(n)为非等差数列，非等比数列法一、结构等差数列法例1、在数列an中，a12，an1ann1(2)2n(nN)，此中0，求数列an的通项公式．an12n1an2n解：由条件可得1，n1nan2nan2n∴数列是首项为0，公差为1的等差数列，故n1，nn∴an(n1)n2n．练习：在数列{an}中，a1，()()()，求通项a。3nan1n2an2nn1n2n答案an1n(n1)(4n1)．2解：由条件可得：an1an2，(n1)(n2)n(n1)∴数列{an}是首项为(1a13、公差为2的等差数列。(n1)n1)×12法二、结构等比数列法例1、⑴在数列{an}中，a12，a23，an23an12an，求an；⑵在数列an中，a11，a22，an22an11an，求an．33解：⑴由条件an23an12an,∴an2an12(an1an),故an2an12n1，叠加法得：ana222(12n2)2n1；12⑵由条件可得an2an11(an1an)（等比数列），故an=73(1)n1．3443点拨：形如f(an2，an1,an)0的复合数列，可把复合数列转变成等差或等比数列，再用初等方法求得an．例2、已知数列{an}知足a11，an13an52n4，求数列{an}的通项公式．解：设an1x2n1y3(anx2ny)，将已知条件代入此式，整理后得3(52x)2n4y3x2n3y，令52x3xx54y3y，解得，y2∴有an152n123(an52n2