现代控制理论：第二章 状态空间描述2讲

第二章

控制系统的状态空间描述（续）ModernControlTheory

Page:12.5系统的传递函数矩阵1、传递函数矩阵的定义初始条件为零时，输出向量的拉氏变换式与输入向量的拉氏变换之间的传递关系————传递函数矩阵（简称传递矩阵）2、由状态空间表达式求传递函数矩阵设系统状态空间表达式为：令初始条件为零，将上两式进行拉氏变换可得：则系统传递函数矩阵表达式为：为(sI-A)的伴随矩阵为(sI-A)的行列式系统状态空间表达式的特征方程:系统状态空间表达式的特征根或特征值:

的根其中其展开式为

传递函数矩阵注意：

对同一系统，尽管其状态空间表达式是非唯一的，但它的传递函数矩阵是不变的。

多变量系统的传递函数矩阵例：初始条件为零表示多个输入与多个输出之间的传递关系用矩阵方程表示：输入向量的拉普拉斯变换输出向量的拉普拉斯变换系统的传递函数矩阵整体反映了双输入与双输出之间的传递关系

例2.7

已知系统的状态空间模型为

求系统的传递函数G(s)。求系统的传递函数，其中是输入，是输出。解：根据求传递函数的公式所以 由已知状态空间模型知，所以：补充：3、由传递函数求状态空间表达式

1）传递函数的分子为常数时考虑一个n阶系统的传递函数为假设初始条件为零，对上式取拉式反变换，得微分方程形式为：因此，选取输出及其各阶导数作为状态变量，即两边分别求导，并代入微分方程，可得状态方程为：另，输出方程为：所以，状态空间表达式写成矩阵形式为A阵为友矩阵例2.8

已知系统的传递函数为：

试将其转化为状态空间模型。解：设初始条件为零，通过反拉氏变换将系统传递函数转化为微分方程形式：(1)选择状态变量(2)对(1)中各式两边求导，并代入微分方程，有输出方程为(3)写成矩阵形式有：

2）传递函数的分子不为常数项时设n阶单入单出系统的传递函数：

应用长除法有：

式中，为直接联系输入、输出量的前馈系数

1）当G(s)的分母次数大于分子次数时，

是严格有理真分式，其分子各次项的系数用长除法得到：

可将串联分解成两部分，如图所示，其中，

z为中间变量。拉氏反变换同理选取状态变量拉氏反变换则有状态方程

输出方程为则写成向量-矩阵形式的动态方程

式中注意：A阵仍为友矩阵；若状态方程中的A，b具有这种形式，则称为能控标准型。2）当

有A，b不变，只是系统{A，b，C，D}称为G（s）的能控标准形实现。例2.9设二阶系统微分方程为试由传递函数法列出其状态空间表达式。解：首先写出该系统传递函数：_

状态变量图：2.6系统状态方程的线性变换

前面已指出一个给定的动态系统，状态变量的选取有许多不同方法（如前面的RLC电路），因此一个系统有许多不同的状态空间表达式来描述。针对同一个系统，不同的状态变量间必定存在某种关系。状态变量的不同选取状态向量的一种线性变换（或坐标变换）2.6系统状态方程的线性变换

一、系统状态的非奇异线性变换

目的：便于揭示系统特性及分析计算且不会改变系统的性质若选取两组不同的状态变量来描述同一个系统，则，在与之间存在如下的非奇异线性变换关系：或其中是非奇异变换矩阵：于是有：虽然状态变量和状态表达式不同，但和都是同一系统动态行为的描述。线性组合表示，唯一的对应关系。

状态向量非奇异变换矩阵新状态向量2.6系统状态方程的线性变换

若含有D阵的话，易知有：例2.10

设系统的状态空间表达式为：若取变换矩阵则

新的状态方程：若取变换矩阵则新的输出方程：

系统矩阵对角化！状态变量之间解耦！二、系统特征值和特征向量1、定义：1）特征值：

设是一个的矩阵，则称为的特征值。

2）特征向量：

任何满足的n维非零向量P称为A的对应于特征值的特征向量。注意：系统经非奇异变换，其特征值是不变的。2、相关计算1）特征值的计算例2.11

求下列矩阵的特征值。

解：

特征值为：2）特征向量的计算例2.12

求矩阵的特征向量解：1)、其特征值在例2.11中已求出:2)、计算对应于特征值的特征向量解得：

3)、同理可算出和对应的特征向量所以有：

三、状态方程的几种标准型1、对角标准型

对于线性系统若A的特征值是互异的，则必存在非奇异变换矩阵P，经过变换，使原状态空间表达式变换为对角标准型式中，，。

的特征值所对应的特征向量，即变换为对角线标准型。

例2.13

试将状态方程：解：Ⅰ.求特征值：

Ⅱ.求特征向量和变换矩阵P

求λ1=-1对应的P1：同理可得：例2.14

试将下列动态方程变换为对角标准型。解：（1）求系统的特征值和特征向量

（2）构造变换矩阵P，并求。∵A为友矩阵，并且有互异实特征值，

∴变换矩阵可直接写为范德蒙特矩阵形式：

（4）变换后的动态方程为:（3）计算，，

1)、约当矩阵：形如的矩阵约当块约当块的个数每个约当块的阶数2)、约当标准型2、约当标准型mi×mimi重特征值λi当A阵具有重实特征值时:

①A阵虽有重特征值，但仍然有n个独立的特征向量。②矩阵A不但具有重特征值，而且其独立特征向量的个数也少于n。约当标准型(不能化为对角型)如果A阵具有m重实特征值，且只有一个独立

的特征向量与之对应，则只能使A化为约当阵J:

当系统的状态空间表达式中的系统矩阵A为约当矩阵时，则称该状态空间表达式为约当标准型。同无重特征值一样，能化为对角型变换矩阵重根的非独立特征向量，也称广义特征向量

互异特征值对应的独立特征向量，也称实特征向量变换矩阵

的非独立特征向量，也称广义特征向量

互异特征值对应的独立特征向量，也称实特征向量特征向量的求取：m重根的m-1个非独立特征向量例2.15

试将下列动态方程变换为约当标准型。解：（1）系统特征多项式为

解出特征值为（2）对应于特征值的特征向量，有，

即亦即

解得，。

由于，故对应特征值的独立特征向量只有一个(因为)，

即

求解可得，

另一个为广义特征向量，设为根据

最后确定的特征向量。由得解出，。（3）构造变换阵：（4）计算：（5）变换后系统的动态方程为：若为友矩阵，具有m重实特征值，且只有一个独立实特征向量与之对应，则A可化为约当阵J:

且其变换阵为：其中：

的广义特征向量

互异特征值对应的独立特征向量解：（1）系统特征多项式为例2.16试将下列状态方程变换为约当标准型。

解出特征值为（2）构造变换阵

由于A为友矩阵，故因此（3）计算：推而广之：如果A具有多个重特征值，即式中各分量可由如下公式确定：则使A化为约当阵的变换阵P为：本章总结1、介绍了有关状态空间描述的基本概念（状态、状态变量、状态矢量、状态空间、状态方程、输出方程、状态空间表达式、状态变量结构图）2、介绍了状态空间表达式建立的多种方法

ⅰ、由系统的物理机理出发推导状态空间表达式

ⅱ、由控制系统的输入输出关系求出状态空间表达式

►由