7薄板弯曲问题

12.1IntroductionandAssumptions

12BendingofThinPlates12.2DifferentialEquationforBendingofThinPlate12.3StressResultantsandStressCouples12.4BoundaryConditions12.5ASimpleSolutionforEllipticalPlates12.6Navier’sSolutionbyDoubleTrigonometricSeries12.7Levy’sSolutionbySingleTrigonometricSeries圆形薄板的弯曲求解圆形薄板的弯曲问题，用极坐标比较方便，我们把挠度w和荷载q看作是极坐标r和的函数，即因为w和q既是r、的函数，又是x、y的函数，利用极坐标与直角坐标之间的关系，可以得出下列变换式：12.8BendingofCircularPlates弹性曲面得微分方程可以变换为：下面导出用w表示内力得表达式：从薄板内取出一个微单元，如图所示xyzorddrMrMrQr在r为常量的横截面上，应力分量r、r、rz分别合成为弯矩Mr，扭矩Mr和剪力QrMMrQ在为常量的横截面上，应力分量、r、z分别合成为弯矩M，扭矩Mr和剪力Q将x轴、y轴分别转到r、

的方向，则该处的Mr、Mr、Qr、M、Mr、Q分别成为Mx、My、Mxy、Myx、Qx、QyxyzorddrMrMrQrMMrQ所以，利用前述的内力计算公式，且令=0，即可得到极坐标下的内力计算公式：其中：圆形薄薄板的的边界界条件件：（（坐标标原点点取在在薄板板的中中心））a、在r=a处固定b、在r=a处简支或c、在r=a处自由在r=a的横截面上，可将扭矩转换为等效剪力：等效剪力与横向剪力合并成为总的剪力：边界条件变为：或归纳计算圆形薄板的弯曲问题，最终归结为，由方程：求挠度度w，然后根根据公公式：：求弯矩矩、扭扭矩和和剪力力满足弹弹性曲曲面微微分方方程的的位移移及由由此求求出的的弯矩矩、扭扭矩、、剪力力应该该满足足相应应的位位移边边界条条件和和应力力边界界条件件圆形薄薄板的的轴对对称弯弯曲如果圆圆形薄薄板所所受的的荷载载是绕绕z轴对称称，（（q只是r的函数数），，则薄薄板的的弹性性曲面面也将将是绕绕z轴对称称（w只是r的函数数）此时，弹性曲面的微分方程简化为：12.9AxisymmetricalBendingofCircularPlates此常微分方程的解答是：其中，，w1是任意意一个个特解解，可可根据据荷载载q来选择择，C1、C2、C3、C4是任意意常数数，根根据边边界条条件来来确定定例如，受均布荷载q0作用的薄板，特解w1可以取为：其中m为常数，将w1代入方程：求得：于是，方程得解答为：根据边边界条条件求求C1、C2、C3、C4如果在在薄板板的中中心没没有孔孔，C1=C2=0，否否则，，在薄薄板的的中心心，内内力将将趋于于无穷穷大由此求求得内内力：：根据对对称性性，Q等于零零，而而Qr可由平平衡条条件得得到。。C3和C4由边界界条件件确定定如，半径为a的薄板具有固定边，边界条件为：由此求得：最后结结果：：由平衡衡条件件求Qr取出半径为r的中间部分薄板，由平衡条件：在薄板的中心：在薄板的边界：对于在在各种种边界界条件件下受受各种种荷载载的圆圆形薄薄板，，很多多专著著给出出了关关于挠挠度和和弯矩矩的公公式，，供工工程设设计之之用本章章小小结结（1））本章章研究究薄板板弯曲曲问题题，首首先弄弄清研研究对对象，，掌握握它们们的定定义及及分类类，以以及我我们所所学理理论的的适用用范围围（2））对于于薄板板弯曲曲问题题的三三个补补充假假定的的提法法、含含义以以及由由这三三个假假定推推导出出的结结论要要深刻刻理解解（3））三个个补充充假定定回顾顾（4）薄板弯曲的挠曲微分方程：（5））求解解问题题时，，须按按薄板板侧面面（板板边上上）的的边界界条件件，由由这个个微分分方程程求出出挠度度w，，然后后求得得内力力分量量或应应力分分量（6））边界界条件件的提提法很很重要要，是是薄板板弯曲曲问题题的关关键技技术，，应重重点掌掌握，，对于于固定定边、、简支支边和和自由由边的的边界界条件件，应应熟练练掌握握（7））纳维维叶(Navier)解和李李维(Levy)解，一一般把把它们们看作