人教初中数学八下 171 勾股定理第二课时课件

勾股定理—2勾股定理—2学习目标：1．会用勾股定理解决简单的实际问题。2．树立数形结合的思想。3．经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，感受勾股定理的应用方法。4．培养思维意识，发展数学理念，体会勾股定理的应用价值。重点：勾股定理的应用。难点：实际问题向数学问题的转化。学习目标：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．活动1abcABC如果在Rt△ABC中，∠C=90°,那么勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．活动结论变形c2

=

a2

+

b2abcABC结论变形c2=a2+b2abcABC

有一种特殊的直角三角形，已知一边可以求另外两边长ACBbac45°ACBbac30°a:b:c=1:1:√2a:b:c=1:√3:2思维拓展：a=5cm时求b=？c=？c=6cm时求b=？a=？有一种特殊的直角三角形，已知勾股小常识：勾股数

1、基本勾股数如：大家一定要熟记

2、如果a,b,c是一组勾股数，则ka、kb、kc（k为正整数）也是一组勾股数，如：6、8、10；9、12、1510、24、26；15、36、39勾股小常识：勾股数6、8、10；9、1（1）求出下列直角三角形中未知的边．610ACB8A15CB练习30°2245°回答：①在解决上述问题时，每个直角三角形需知道几个条件？②直角三角形哪条边最长？（1）求出下列直角三角形中未知的边．610ACB8A15CB（2）在长方形ABCD中，宽AB为1m，长BC为2m

，求AC长．1m2mACBD在Rt△ABC中，∠B=90°,由勾股定理可知：（2）在长方形ABCD中，宽AB为1m，长BC为2m，求A活动2问题（1）在长方形ABCD中AB、BC、AC大小关系？ACBDAB＜BC＜AC活动2问题（1）在长方形ABCD中AB、BC、AC大小关活动2（2）一个门框尺寸如下图所示．①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？②若薄木板长3米，宽1.5米呢？③若薄木板长3米，宽2.2米呢？为什么？ABC1m2m∵木板的宽2.2米大于1米，∴横着不能从门框通过；∵木板的宽2.2米大于2米，∴竖着也不能从门框通过．∴只能试试斜着能否通过，对角线AC的长最大，因此需要求出AC的长，怎样求呢？活动2（2）一个门框尺寸如下图所示．①若有一块长3米，宽（3）有一个边长为50dm

的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少多长？（结果保留整数）50dmABCD解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°,AC=BC=50,∴由勾股定理可知：（3）有一个边长为50dm的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住活动3（1）如图，池塘边有两点A、B，点C是与BA方向成直角的AC方向上的一点，测得CB=60m，AC=20m

，你能求出A、B两点间的距离吗？（结果保留整数）活动3（1）如图，池塘边有两点A、B，点C是与BA方向成活动3（2）变式：以上题为背景，请同学们再设计其他方案构造直角三角形（或其他几何图形），测量池塘的长AB．活动3（2）变式：以上题为背景，请同学们再设计其他方案构例1：一个2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AC上，这时AC的距离为2.4m．如果梯子顶端A沿墙下滑0.4m，那么梯子底端B也外移0。4m吗？

DE解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°

∴AC2+BC2＝AB22.42+BC2＝2.52∴BC＝0.7m由题意得：DE＝AB＝2.5mDC＝AC－AD＝2.4－0.4＝2m在Rt△DCE中，∴BE＝1.5－0.7＝0.8m≠0.4m答；梯子底端B不是外移0.4m

∵∠DCE=90°

∴DC2+CE2＝DE222+BC2＝2.52∴CE＝1.5m例1：一个2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AC上，这时A练习:如图，一个3米长的梯子AB，斜着靠在竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米．①求梯子的底端B距墙角O多少米？②如果梯子的顶端A沿墙角下滑0.5米至C，请同学们:猜一猜，底端也将滑动0.5米吗？算一算，底端滑动的距离近似值是多少?（结果保留两位小数）练习:如图，一个3米长的梯子AB，斜着靠在竖直的墙AO上，这例2：如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km,CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？CAEBDx25-x解：设AE=xkm，根据勾股定理，得

AD2+AE2=DE2

BC2+BE2=CE2又∵DE=CE∴AD2+AE2=BC2+BE2即：152+x2=102+（25-x)2答：E站应建在离A站10km处。∴X=10则BE=（25-x）km1510例2：如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两庄，DA例3:在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题这个问题意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形,在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？DABC解:设水池的深度AC为X米,则芦苇高AD为(X+1)米.根据题意得:BC2+AC2=AB2∴52+X2=(X+1)225+X2=X2+2X+1

X=12∴X+1=12+1=13(米)答:水池的深度为12米,芦苇高为13米.DABC解:设水池的深度AC为X米,根据题意得:∴52+X2例4:矩形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8，BC=10，求折痕AE的长。ABCDFE解:设DE为X,X(8-X)则CE为(8－X).由题意可知:EF=DE=X,XAF=AD=1010108∵∠B=90°

∴AB2+BF2＝AF282+BF2＝102∴BF＝6∴CF＝BC－BF＝10－6＝464∵∠C=90°

∴CE2+CF2＝EF2(8－X)2+42=X264－16X+X2+16=X280－16X=016X=80X=5例4:矩形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上的点F处，已知例5：如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（）.

（A）3（B)√

5

（C）2（D）1ABABC21分析：由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的，故需把正方体展开成平面图形（如图）.B例5：如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正活动3（3）如图，分别以Rt△ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，容易得出S1、S2、S3之间有的关系式为

．活动3（3）如图，分别以Rt△ABC三边为边向外作三个活动3（3）变式：你还能求出S1、S2、S3之间的关系式吗？S1S2S3活动3（3）变式：你还能求出S1、S2、S3之间的关系式活动4（1）这节课你有什么收获？（2）作业①教材第78页习题第2、3、4、5题．②教材第79页习题第12题．活动4（1）这节课你有什么收获？（2）作业①教材第781．在Rt△ABC中,∠C=90°,已知:a=5,b=12,求c;已知:b=6,c=10,求a;已知:a=7,c=25,求b;已知:a=7,c=8,求b

．2．一直角三角形的一直角边长为7,另两条边长为两个连续整数，求这个直角三角形的周长．1．在Rt△ABC中,∠C=90°,2．一直角三角形3．如图，受台风“麦莎”影响，一棵树在离地面4米处断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高？应用知识回归生活4米3米3．如图，受台风“麦莎”影响，一棵树在离地面4米处断裂，树的4.一架5长的梯子，斜立靠在一竖直的墙上，这是梯子下端距离墙的底端3，若梯子顶端下滑了1,则梯子底端将外移（）5.如图，要在高3m,斜坡5m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需（）米6.把直角三角形两条直角边同时扩大到原来的3倍，则其斜边（）A.不变B.扩大到原来的3倍C.扩大到原来的9倍D.减小到原来的1/3ABC17B4.一架5长的梯子，斜立靠在一竖直的墙ABC17B7．如图:是一个长方形零件图，根据所给的尺寸,求两孔中心A、B之间的距离．ABC409016040应用知识回归生活7．如图:是一个长方形零件图，根据所给的尺寸,求两孔中心A、8．小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机．小明量了电视机的屏幕，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽．他觉得一定是售货员搞错了，你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？应用知识回归生活8．小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机．小明量了9/在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是________m。

9/在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，10`小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。10`小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子11.小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竹竿比城门高1米，当他把竹竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问竹竿长多少米？解:设竹竿长X米,则城门高为(X－1)米.根据题意得:32+(X－1)

2=X29+X2

－2X+1=X210－2X=02X=10X=5答:竹竿长5米11.小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门，他先横着拿不进12.有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿高与门高.解:设竹竿高X尺,则门高为(X－1)尺.根据题意得:42+(X－1)

2=X216+X2

－2X+1=X217－2X=02X=17X=8.5答:竹竿高8.5尺,门高为7.5尺.12.有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的解:设竹竿高13．在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处。另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高_

__米。

1513．在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树ABCDEF14.如右图将矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落在BC边上F处,已知CE=3,AB=8,则BF=___________。15.如图，有一个直角三角形纸片，两直直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿∠CAB的角平分线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？AECDBABCDEF14.如右图将矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D16.一只蚂蚁从长为4cm、宽为3cm，高是5cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是____________cm。AB16.一只蚂蚁从长为4cm、宽为3cm，高是5cm的AB17.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是_________17.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、18.如图，一个圆柱形纸筒的底面周长是40cm，高是30cm，一只小蚂蚁在圆筒底的A处，它想吃到上底与下底面中间与A点相对的B点处的蜜糖，试问蚂蚁爬行的最短的路程是多少？18.如图，一个圆柱形纸筒的底面周长是40cm，高19◆在长30cm、宽50cm、高40cm的木箱中，如果在箱内的A处有一只昆虫，它要在箱壁上爬行到B处，至少要爬多远？CDA.B.30504019◆在长30cm、宽50cm、高40cm的木箱中，如果图①305040CDA.B.ADCB305040图①305040CDA.B.ADCB305040CCDA.B.ACBD图②304050304050CCDA.B.ACBD图②304050304050CCDA.B.图③50ADCB4030304050CCDA.B.图③50ADCB40303040506．做一个长、宽、高分别为50厘米、40厘米、30厘米的木箱，一根长为70厘米的木棒能否放入，为什么？试用今天学过的知识说明．6．做一个长、宽、高分别为50厘米、40厘米、320.一种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做多长？

ABC12cmR=2.5cm12cm大显身手20.一种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内部底面勾股定理—2勾股定理—2学习目标：1．会用勾股定理解决简单的实际问题。2．树立数形结合的思想。3．经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，感受勾股定理的应用方法。4．培养思维意识，发展数学理念，体会勾股定理的应用价值。重点：勾股定理的应用。难点：实际问题向数学问题的转化。学习目标：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．活动1abcABC如果在Rt△ABC中，∠C=90°,那么勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．活动结论变形c2

=

a2

+

b2abcABC结论变形c2=a2+b2abcABC

有一种特殊的直角三角形，已知一边可以求另外两边长ACBbac45°ACBbac30°a:b:c=1:1:√2a:b:c=1:√3:2思维拓展：a=5cm时求b=？c=？c=6cm时求b=？a=？有一种特殊的直角三角形，已知勾股小常识：勾股数

1、基本勾股数如：大家一定要熟记

2、如果a,b,c是一组勾股数，则ka、kb、kc（k为正整数）也是一组勾股数，如：6、8、10；9、12、1510、24、26；15、36、39勾股小常识：勾股数6、8、10；9、1（1）求出下列直角三角形中未知的边．610ACB8A15CB练习30°2245°回答：①在解决上述问题时，每个直角三角形需知道几个条件？②直角三角形哪条边最长？（1）求出下列直角三角形中未知的边．610ACB8A15CB（2）在长方形ABCD中，宽AB为1m，长BC为2m

，求AC长．1m2mACBD在Rt△ABC中，∠B=90°,由勾股定理可知：（2）在长方形ABCD中，宽AB为1m，长BC为2m，求A活动2问题（1）在长方形ABCD中AB、BC、AC大小关系？ACBDAB＜BC＜AC活动2问题（1）在长方形ABCD中AB、BC、AC大小关活动2（2）一个门框尺寸如下图所示．①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？②若薄木板长3米，宽1.5米呢？③若薄木板长3米，宽2.2米呢？为什么？ABC1m2m∵木板的宽2.2米大于1米，∴横着不能从门框通过；∵木板的宽2.2米大于2米，∴竖着也不能从门框通过．∴只能试试斜着能否通过，对角线AC的长最大，因此需要求出AC的长，怎样求呢？活动2（2）一个门框尺寸如下图所示．①若有一块长3米，宽（3）有一个边长为50dm

的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少多长？（结果保留整数）50dmABCD解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°,AC=BC=50,∴由勾股定理可知：（3）有一个边长为50dm的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住活动3（1）如图，池塘边有两点A、B，点C是与BA方向成直角的AC方向上的一点，测得CB=60m，AC=20m

，你能求出A、B两点间的距离吗？（结果保留整数）活动3（1）如图，池塘边有两点A、B，点C是与BA方向成活动3（2）变式：以上题为背景，请同学们再设计其他方案构造直角三角形（或其他几何图形），测量池塘的长AB．活动3（2）变式：以上题为背景，请同学们再设计其他方案构例1：一个2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AC上，这时AC的距离为2.4m．如果梯子顶端A沿墙下滑0.4m，那么梯子底端B也外移0。4m吗？

DE解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°

∴AC2+BC2＝AB22.42+BC2＝2.52∴BC＝0.7m由题意得：DE＝AB＝2.5mDC＝AC－AD＝2.4－0.4＝2m在Rt△DCE中，∴BE＝1.5－0.7＝0.8m≠0.4m答；梯子底端B不是外移0.4m

∵∠DCE=90°

∴DC2+CE2＝DE222+BC2＝2.52∴CE＝1.5m例1：一个2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AC上，这时A练习:如图，一个3米长的梯子AB，斜着靠在竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米．①求梯子的底端B距墙角O多少米？②如果梯子的顶端A沿墙角下滑0.5米至C，请同学们:猜一猜，底端也将滑动0.5米吗？算一算，底端滑动的距离近似值是多少?（结果保留两位小数）练习:如图，一个3米长的梯子AB，斜着靠在竖直的墙AO上，这例2：如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km,CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？CAEBDx25-x解：设AE=xkm，根据勾股定理，得

AD2+AE2=DE2

BC2+BE2=CE2又∵DE=CE∴AD2+AE2=BC2+BE2即：152+x2=102+（25-x)2答：E站应建在离A站10km处。∴X=10则BE=（25-x）km1510例2：如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两庄，DA例3:在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题这个问题意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形,在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？DABC解:设水池的深度AC为X米,则芦苇高AD为(X+1)米.根据题意得:BC2+AC2=AB2∴52+X2=(X+1)225+X2=X2+2X+1

X=12∴X+1=12+1=13(米)答:水池的深度为12米,芦苇高为13米.DABC解:设水池的深度AC为X米,根据题意得:∴52+X2例4:矩形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8，BC=10，求折痕AE的长。ABCDFE解:设DE为X,X(8-X)则CE为(8－X).由题意可知:EF=DE=X,XAF=AD=1010108∵∠B=90°

∴AB2+BF2＝AF282+BF2＝102∴BF＝6∴CF＝BC－BF＝10－6＝464∵∠C=90°

∴CE2+CF2＝EF2(8－X)2+42=X264－16X+X2+16=X280－16X=016X=80X=5例4:矩形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上的点F处，已知例5：如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（）.

（A）3（B)√

5

（C）2（D）1ABABC21分析：由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的，故需把正方体展开成平面图形（如图）.B例5：如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正活动3（3）如图，分别以Rt△ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，容易得出S1、S2、S3之间有的关系式为

．活动3（3）如图，分别以Rt△ABC三边为边向外作三个活动3（3）变式：你还能求出S1、S2、S3之间的关系式吗？S1S2S3活动3（3）变式：你还能求出S1、S2、S3之间的关系式活动4（1）这节课你有什么收获？（2）作业①教材第78页习题第2、3、4、5题．②教材第79页习题第12题．活动4（1）这节课你有什么收获？（2）作业①教材第781．在Rt△ABC中,∠C=90°,已知:a=5,b=12,求c;已知:b=6,c=10,求a;已知:a=7,c=25,求b;已知:a=7,c=8,求b

．2．一直角三角形的一直角边长为7,另两条边长为两个连续整数，求这个直角三角形的周长．1．在Rt△ABC中,∠C=90°,2．一直角三角形3．如图，受台风“麦莎”影响，一棵树在离地面4米处断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高？应用知识回归生活4米3米3．如图，受台风“麦莎”影响，一棵树在离地面4米处断裂，树的4.一架5长的梯子，斜立靠在一竖直的墙上，这是梯子下端距离墙的底端3，若梯子顶端下滑了1,则梯子底端将外移（）5.如图，要在高3m,斜坡5m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需（）米6.把直角三角形两条直角边同时扩大到原来的3倍，则其斜边（）A.不变B.扩大到原来的3倍C.扩大到原来的9倍D.减小到原来的1/3ABC17B4.一架5长的梯子，斜立靠在一竖直的墙ABC17B7．如图:是一个长方形零件图，根据所给的尺寸,求两孔中心A、B之间的距离．ABC409016040应用知识回归生活7．如图:是一个长方形零件图，根据所给的尺寸,求两孔中心A、8．小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机．小明量了电视机的屏幕，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽．他觉得一定是售货员搞错了，你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？应用知识回归生活8．小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机．小明量了9/在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是________m。

9/在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，10`小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。10`小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子11.小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竹竿比城门高1米，当他把竹竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问竹竿长多少米？解:设竹竿长X米,则城门高为(X－1)米.根据题意得:32+(X－1)

2=X29+X2

－2X+1=X210－2X=02X=10X=5答:竹竿长5米11.小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门，他先横着拿不进12.有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿高与门高.解:设竹竿高X尺,则门高为(X－1)尺.根据题意得:42+(X－1)

2=X216+X2

－2X+1=X217－2X=02X=17X=8.5答