2022-2023学年八年级数学上册《全等三角形、角平分线的判定和性质》精讲与精练高分突破

专题强化训练一：全等三角形、角平分线的判定和性质一、单选题1．（2022·湖南·双峰县丰茂学校八年级期中）如图，已知AC⊥BD，垂足为O，AO＝CO，AB＝CD，则可得到△AOB≌△COD，理由是（）A．HL B．SAS C．ASA D．SSS2．（2022·广东茂名·八年级期末）如图，平分，于点，，点是射线上的任意一点，则的最小值是（

）A．6 B．5 C．4 D．33．（2022·湖南常德·八年级期中）如图，在ABC中，∠C=90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心、适当长为半径作圆弧，分别交边AC，AB于点M，N；②分别以点M和点N为圆心，大于MN的长为半径作圆弧，在∠BAC内，两弧交于点P；③作射线AP交边BC于点D，若CD=3，AB=8，则ABD的面积是（

）A．48 B．24 C．12 D．64．（2022·浙江·八年级专题练习）如图所示，△EBC≌△DCB，BE的延长线与CD的延长线交于点A，CE与BD相交于点O．则下列结论：①△OEB≌△ODC；②AE＝AD；③BD平分∠ABC，CE平分∠ACB；④OB＝OC，其中正确的有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个5．（2022·湖南邵阳·八年级期末）如图，在中，于点，于点，与相交于点，，则下列结论不一定成立的是（

）A． B． C． D．6．（2022·陕西·西工大附中分校八年级期中）如图，O是△ABC的角平分线的交点，△ABC的面积和周长都为24，则点O到BC的距离为（

）A．1 B．2 C．3 D．47．（2022·全国·八年级专题练习）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD的长为（）A．2 B．3 C．4 D．58．（2022·重庆巴蜀中学八年级期末）如图，ABC中，∠ACB＝60°，AG平分∠BAC交BC于点G，BD平分∠ABC交AC于点D，AG、BD相交于点F，BE⊥AG交MG的延长线于点E，连接CE，下列结论中正确的有（）①若∠BAD＝70°，则∠EBC＝5°；②BF＝2EF；③BE＝CE；④AB＝BG+AD；⑤．A．5个 B．4个 C．3个 D．2个9．（2022·浙江丽水·八年级期末）如图，，点E是AD上的点，连接BE，CE，且，BE平分．以下结论中：①E是AD中点，②，③，④，正确的个数为（

）A．4 B．3 C．2 D．110．（2022·全国·八年级单元测试）如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接，下列说法：①和面积相等；②；③；④；⑤．其中正确的是（

）A．①② B．③⑤ C．①③④ D．①④⑤11．（2022·全国·八年级专题练习）如图，P是∠AOB平分线上的点，PD⊥OB于点D，PC⊥OA于点C，则下列结论：①PC＝PD；②OD＝OC；③POC与POD的面积相等；④∠POC＋∠OPD＝90°．其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个12．（2022·广西·钦州市第四中学八年级阶段练习）如图，，分别是，上的点，过点作于点，作于点，若，，则下面三个结论：①；②；③，正确的是（

）A．①③ B．②③ C．①② D．①②③13．（2022·全国·八年级专题练习）如图，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OD⊥BC于点D，OD＝2，△ABC的周长为28，则△ABC的面积为（）A．28 B．14 C．21 D．714．（2022·黑龙江·肇东市第十中学八年级期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BD于点D，DEAC交AB于点E，若AB=8，则DE的长度是（

）A．6 B．2 C．3 D．415．（2022·广西钦州·八年级期中）如图，已知矩形纸片，，，点在边上，将沿折叠，点落在点处，，分别交于点，，且，则的长为（

）A． B． C． D．二、填空题16．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，∠B＝110°，延长BC至点D使CD＝AB，过点C作CE∥AB且使CE＝BC，连接DE并延长DE交AC于点F，交AB于点H．若∠D＝20°，则∠CFE的度数为______度．17．（2022·浙江·舟山市普陀第二中学八年级期末）如图，在中，是边上的高，是边上的高，且，交于点，若，BD=8，，则线段的长度为______．18．（2022·浙江·八年级单元测试）如图，已知∠A＝∠D，EF∥BC，请在空格上添加一个适当的条件，使得△ABC≌△DEF，则添加的这个条件是________（只要填上一个满足的条件即可）．19．（2022·陕西师大附中八年级期中）如图，的三边、、长分别为4、5、6．其三条角平分线交于点，则_____．20．（2022·江苏·八年级单元测试）如图,在中,．点在直线上,动点从点出发沿的路径向终点运动;动点从点出发沿路径向终点运动．点和点分别以每秒和2cm的运动速度同时开始运动,其中一点到达终点时另一点也停止运动,分别过点和作直线于直线于．当点运动时间为___________秒时,与全等．21．（2022·安徽宿州·八年级期末）如图，点，，，在一条直线上，若将的边沿方向平移，平移过程中始终满足下列条件：，于点，于点，且．则当点，不重合时，与的关系是______．22．（2021·贵州·黔西南州金成实验学校八年级阶段练习）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是_____．23．（2022·全国·八年级专题练习）如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝12米，AC＝6米，射线BM⊥AB，垂足为点B，动点E从A点出发以2米/秒沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E经过_____时，由点D、E、B组成的三角形与△BCA全等．三、解答题24．（2022·陕西·西工大附中分校八年级期中）如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥BC于E，点F为AB上一点，且DF＝DC．求证：∠AFD＝∠C．25．（2022·云南省楚雄天人中学八年级阶段练习）如图，在△ABC中，AC＞AB，D是BA延长线上一点，点E是∠CAD的平分线上一点，EB=EC，过点E作EF⊥AC于F，EG⊥AD于G．(1)求证：△EGB≌△EFC；(2)若AB=3，AC=5，求AF的长．26．（2022·北京·101中学八年级阶段练习）在△ABC中，AB=AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．(1)如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC=90°时，那么∠DCE=度；(2)设∠BAC=α，∠DCE=β．①如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；②如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC≠90°时，请将图3补充完整，并直接写出此时α与β之间的数量关系（不需证明）．27．（2022·吉林·东北师大附中明珠学校八年级期末）勾股定理是数学史上非常重要的一个定理．早在2000多年以前，人们就开始对它进行研究，至今已有几百种证明方法．在欧几里得编的《原本》中证明勾股定理的方法如下，请同学们仔细阅读并解答相关问题：如图，分别以Rt△ABC的三边为边长，向外作正方形ABDE、BCFG、ACHI．(1)连接BI、CE，求证：△ABI≌△AEC；(2)过点B作AC的垂线，交AC于点M，交IH于点N．请利用（1）的结论，直接写出图中与正方形ABDE的面积相等的四边形，它是四边形

．(3)应用：若MN＝4，NH＝3，正方形ABDE的边长是

．28．（2022·浙江金华·八年级期末）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为线段CB一动点，连接AE，过点A作AF⊥AE且AF＝AE，过点F作FD⊥AC于点D，如图①所示．(1)求证：FD＝AC．(2)若点E为BC中点，连BF交AC于点G，如图②，已知CG＝1，求BC的长．29．（2022·浙江·八年级专题练习）如图，在△ABE中，D、C分别在AE、BE上且CD＝CB，AC平分∠EAB，CH⊥AB于点H．(1)求证：；(2)若AD＝3，AB＝8，求AH的长．30．（2022·四川·富顺第二中学校八年级阶段练习）在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有AB＝AC，且满足∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α．(1)如图1，当α＝90°时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是；(2)如图2，当0＜α＜180时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．31．（2022·河北·丰宁满族自治县选将营中学八年级期中）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)当MN绕点C旋转到图1的位置时，其他条件不变，请你探究线段DE、AD、BE之间的数量关系？写出结论，并写出证明过程.(2)当MN绕点C旋转到图2的位置时，其他条件不变，你在（1）中得到的结论还成立吗？若不成立，请写出你的结论，并加以证明；(3)当MN绕点C旋转到图3的位置时，其他条件不变，你在（1）中得到的结论还成立吗？若不成立，请直接写出结论，（不要求写出证明过程）．参考答案：1．A【分析】由AC⊥BD，可得∠AOB=∠COD=90°，根据斜边直角边对应相等的两个直角三角形全等，可得答案．【详解】解：由AC⊥BD，可得∠AOB=∠COD=90°，∴△AOB和△COD是直角三角形，AO＝CO，AB＝CD，直角边和斜边对应相等，所以用的是斜边和直角边对应相等的方法判定的△AOB≌△COD，故选A．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，准确掌握方法的适用情况是解题的关键．2．C【分析】根据角平分线的性质及点到直线的距离——垂线段最短即可．【详解】解：根据角平分线的性质定理可知，当DF垂直OB时，DF的值最小，最小值为DF=DE=4，故选：C．【点睛】本题考查角平分线的性质定理及点到直线的距离——垂线段最短．3．C【分析】利用基本作图得到AD平分∠BAC，过D点作DH⊥AB于H，根据角平分线的性质得到DH＝DC＝3，然后利用三角形面积公式求解．【详解】解：由作法得AD平分∠BAC，过D点作DH⊥AB于H，如图，∵∠C＝90°，∴DC⊥AC，∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DH⊥AB，∴DH＝DC＝3，∴△ABD的面积AB×DH8×3＝12．故选：C．【点睛】本题主要考查了角平分线的作图和角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．4．B【分析】根据全等三角形的性质可得∠EBC＝∠DCB，BE＝CD，∠BEC＝∠CDB，∠DBC＝∠ECB，易证△OEB≌△ODC（AAS），根据全等三角形的性质依次进行判断即可．【详解】解：∵△EBC≌△DCB，∴∠EBC＝∠DCB，BE＝CD，∠BEC＝∠CDB，∠DBC＝∠ECB，在△OEB和△ODC中，∴△OEB≌△ODC（AAS），故①选项符合题意；∵∠EBC＝∠DCB，∴AB＝AC，∵BE＝CD，∴AE＝AD，故②选项符合题意；没有足够的条件证明∠EBO＝∠OBC，∠DCO＝∠OCB，故③选项不符合题意；∵∠ECB＝∠DBC，∴OB＝OC，故④选项符合题意，综上，符合题意的选项有①②④，共3个，故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．5．B【分析】先利用HL判断Rt△ABE≌△Rt△BAD，则可对A选项进行判断；由于BA与BC不一定相等，所以不能确定△ABE与△CBE全等，则可对B选项进行判断；由于Rt△ABE≌△Rt△BAD，则AE＝BD，则可根据AAS证明△AEF≌△BDF，△AEF≌△BDF，从而可对C、D选项进行判断．【详解】解：∵AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，∴∠AEB＝∠BDA＝90°，在Rt△ABE和Rt△BAD中，，∴Rt△ABE≌△Rt△BAD（HL），所以A选项不符合题意；∵BA与BC不一定相等，∴△ABE与△CBE不一定全等，所以B选项符合题意；∵Rt△ABE≌△Rt△BAD，∴AE＝BD，在△AEF和△BDF中，，∴△AEF≌△BDF（AAS），所以C选项不符合题意；在△ADC和△BEC中，，∴△AEF≌△BDF（AAS），所以D选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决此类问题的关键．6．B【分析】设点O到BC的距离为x，根据角平分线的性质定理可得点O到AB，BC，AC的距离相等，都等于x，再根据，即可求解．【详解】解：设点O到BC的距离为x，∵O是△ABC的角平分线的交点，∴点O到AB，BC，AC的距离相等，都等于x，∵△ABC的面积为24，周长为24，∴，解得：x=2．即点O到BC的距离为2．故选：B．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上点到角两边的距离相等是解题的关键．7．B【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD，然后利用△ABD的面积列式计算即可得解．【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，∴DE＝CD，∴S△ABD＝AB•DE＝×10•DE＝15，解得：DE＝3，∴CD＝3.故选：B.【点睛】本题考查了三角形的面积和角平分线的性质，能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键．8．B【详解】由角平分线的定义和三角形内角和定理可求∠ABD＝∠DBC＝25°，∠BAG＝∠CAG＝35°，由外角的性质和直角三角形的性质可求∠EBC＝5°，故①正确；同理可求∠BFE＝60°，由直角三角形的性质可得BF＝2EF，故②正确；由“ASA”可证△ABE≌△AHE，可得BE＝EH，由直角三角形的性质可得EC≠BE，故③错误；由“SAS”可证△BFN≌△BFG，可得∠BFN＝∠BFG＝60°，由“ASA”可证△AFD≌△AFN，可得AD＝AN，即AB＝BG+AD，故④正确；由角平分线的性质可得NQ＝NP，由全等三角形的性质可得S△BFN＝S△BFG，S△AFD＝S△AFN，可得，故⑤正确，即可求解．【解答】解：①∵∠ACB＝60°，∠BAD＝70°，∴∠ABC＝50°，∵AG平分∠BAC，BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝25°，∠BAG＝∠CAG＝35°，∴∠BFE＝60°，∵BE⊥AG，∴∠FBE＝30°，∴∠EBC＝5°，故①正确；②∵ACB＝60°，∴∠BAD+∠ABC＝120°，∵AG平分∠BAC，BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC，∠BAG＝∠CAG＝∠BAC，∴∠BFE＝∠ABD+∠BAG＝（∠ABC+∠BAC）＝60°，∵BE⊥AG，∴∠FBE＝30°，∴BF＝2EF，故②正确；③如图，延长BE，AC交于点H，∵∠BAE＝∠CAE，AE＝AE，∠AEB＝∠AEH＝90°，∴△ABE≌△AHE（ASA），∴BE＝EH，∵BC≠AC，∴EC≠BE，故③错误；④如图，在AB上截取BN＝BG，连接NF，∵BN＝BG，∠ABD＝∠CBD，BF＝BF，∴△BFN≌△BFG（SAS），∴∠BFN＝∠BFG＝60°，∴∠AFD＝∠AFN＝60°，又∵∠BAG＝∠CAG，AF＝AF，∴△AFD≌△AFN（ASA），∴AD＝AN，∴AB＝BG+AD，故④正确；⑤如图，过点N作NP⊥BF于P，NQ⊥AF于Q，∵∠AFN＝∠BFN＝60°，NP⊥BF，NQ⊥AF，∴NP＝NQ，∵S△AFN＝×AF×NQ，S△BFN＝×BF×NP，∴，∵△BFN≌△BFG，△AFD≌△AFN，∴S△BFN＝S△BFG，S△AFD＝S△AFN，∴，故⑤正确，故选：B．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质，角平分线的性质，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．9．B【分析】延长BE交CD的延长线于点F，证明∆ABE≅∆DFE，得出AE=DE，AB=DF，即可判断①和②正确；过点E作EM⊥BC于点M，EN⊥CD于点N，由角平分线的性质定理即可判断③④．【详解】解：延长BE交CD的延长线于点F，∵AB∥CD，∴∠ABE=∠F，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠F=∠CBE，∴CF=BC，∵∠BEC=90°，∴CE⊥BF，∴∠BCE=∠FCE，BE=EF，∵∠AEB=∠FED，∴∆ABE≅∆DFE，∴AE=DE，AB=DF，故①正确；∵CF=CD+DF，∴BC=CD+AB，故②正确；∵∠EDC≠∠ECD，∴ED≠EC，故③错误；过点E作EM⊥BC于点M，EN⊥CD于点N，∵CE平分∠BCD，∴EM=EN，∴，故④正确；故选：B．【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质及角平分线的性质定理，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．10．C【分析】由三角形中线性质，把三角形分成面积相等的两个三角形，可判定①正确；利用SAS证△BDF≌△CDE，可判定③正确，由△BDF≌△CDE得出∠F=∠CED，由平行线的判定定理可得出BFCE，可判定④正确；因为是的中线，而△ABC不一定是等腰三角形，所以AD就不一定平分∠BAC，可判定②错误；没有条件能证得∠CAE=∠ACE，所以也就不能得出AE=CE，可判定⑤错误．【详解】解：∵是的中线，∴S△ABD=S△ACD，故①正确；∵是的中线，∴BD=CD，在△BDF和△CDE中，，∴△BDF≌△CDE(SAS)，故③正确；∴∠F=∠CED，∴BFCE，故④正确；∵是的中线，没有AB=AC这个条件，所以AD不一定是角平分式，故②错误；没有条件能证得∠CAE=∠ACE，所以也就不能得出AE=CE，故⑤错误；综上，正确的有①③④，故选：C．【点睛】本题考查三角形中线性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定，证△BDF≌△CDE是解题的关键．11．D【分析】根据已知条件，可得△OCP≌△ODP（AAS），根据全等三角形的性质即可判断．【详解】解：∵P是∠AOB平分线上的点，∴∠COP=∠DOP，∵PD⊥OB于点D，PC⊥OA于点C，∴∠OCP=∠ODP=90°，在△OCP和△ODP中，，∴△OCP≌△ODP（AAS），∴PC=PD，OC=OD，故①②选项符合题意，∵△OCP≌△ODP（AAS），∴△POC与△POD的面积相等，故③选项符合题意；∵△OCP≌△ODP（AAS），∴∠OPD=∠OPC，∵∠POC+∠OPC=90°，∴∠POC+∠POD=90°，故④选项符合题意；综上可知，①②③④均符合题意，故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．12．C【分析】根据角平分线的判定，先证AP是∠BAC的平分线，再证Rt△APR≌Rt△APS(HL)，可证得AS=AR，成立．【详解】解：如图：连接AP，∵PR=PS，∴AP是∠BAC的平分线，在Rt△APR与Rt△APS中，∴Rt△APR≌Rt△APS(HL)，∴AS=AR，故①正确；∵AQ=PQ，∴∠BAP=∠QAP=∠QPA，∴，②正确；BC只是过点P，并没有固定，故△BRP≌△CSP③不成立．故选：C．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定方法，以及角平分线的判定和平行线的判定，难度适中．13．A【分析】连接OA，过点O作于点E，作于点F，则由角平分线的性质定理得：OE=OF=OD=2，再由即可求得结果．【详解】解：连接OA，过点O作于点E，作于点F，如图∵BO平分，，，在和中，，∴，∴OE=OD=2同理：OF=OD=2∴OE=OF=OD=2∵==28∴故选：A．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，求三角形的面积等知识，关键是根据条件构造适合角平分线性质定理条件的辅助线．14．D【分析】分别延长AC、BD交于点F，根据角平分线的性质得到∠BAD=∠FAD，证明△BAD≌△FAD，根据全等三角形的性质得到BD=DF，根据平行线的性质得到BE=ED，EA=ED，进一步计算即可求解．【详解】解：分别延长AC、BD交于点F，∵AD平分∠BAC，AD⊥BD，∴∠BAD=∠FAD，∠ADB=∠ADF=90°，在△BAD和△FAD中，，∴△BAD≌△FAD（ASA），∴∠ABD=∠F，∵DEAC，∴∠EDB=∠F，∠EDA=∠FAD，∴∠ABD=∠EDB，∠EDA=∠EAD，∴BE=ED，EA=ED，∴BE=EA=ED，∴DE=AB=×8=4，故选：D．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、平行线的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．15．C【分析】根据折叠的性质与矩形的性质得到DC=DE=4，CP=EP，，再由三角形全等的判定定理与性质可得OE=OB，EF=BP，从而有BF=EP=CP，设BF=EP=CP=x，可得用x表示的AF、DF的长，再有勾股定理求得x的值从而得到DF的长．【详解】解：由矩形的性质得到：DC=AB=4，AD=BC=3，，由折叠的性质，得：DC=DE=4，CP=EP，，在中，，，∴BF=EP=CP设BF=EP=CP=x，则AF=4-x，BP=EF=3-x，DF=DE-EF=4-（3-x）=x+1，在中，，即，，【点睛】本题考查了矩形得性质，折叠的性质，三角形的判定定理与性质，勾股定理等性质，利用三角形全等的判定定理与性质与线段的和差求出BF=EP=CP是关键．16．30【分析】证明△ABC≌△DCE，可得∠A=∠D=20°，然后利用三角形内角和可得∠DEC=∠ACB=50°，进而可以解决问题．【详解】解：∵CE∥AB，∴∠B＝∠DCE，在△ABC与△DCE中，，∴△ABC≌△DCE（SAS），∴∠A＝∠D＝20°，∠DEC＝∠ACB，∵∠B＝110°，∴∠ACB＝180°﹣∠B+∠A＝50°，∴∠DEC＝∠ACB＝50°，∵CE∥AB，∴∠BHF＝∠DEC＝50°，∴∠CFE＝∠AFH＝∠BHF﹣∠A＝50°﹣20°＝30°．故答案为：30．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△ABC≌△DCE．17．5【分析】首先证明△BDF≌△ADC，再根据全等三角形的性质可得FD=CD，AD=BD，根据AD=8，DF=3，即可算出AF的长．【详解】解：∵AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，∴∠ADC=∠FDB=90°，∠AEB=90°，∴∠1+∠C=90°，∠1+∠2=90°，∴∠2=∠C，∵∠2=∠3，∴∠3=∠C，在△ADC和△BDF中，，∴△BDF≌△ADC（AAS），∴FD=CD，AD=BD，∵CD=3，BD=8，∴AD=8，DF=3，∴AF=8-3=5，故答案为：5．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．18．AC＝DF或AF＝CD（答案不唯一）【分析】根据全等三角形的判定方法解决问题即可．【详解】解：∵EF∥BC，∴∠EFD＝∠ACB，∵∠D＝∠A，∴当DF＝AC时，△ABC≌△DEF（ASA），∴可以添加条件：AC＝DF或AF＝CD．故答案为：AC＝DF或AF＝CD(答案不唯一)．【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是理解题意，掌握全等三角形的判定定理．19．6：5：4【分析】作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，根据角平分线的性质得到OD=OE=OF，根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，∵三条角平分线交于点O，OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，∴OD=OE=OF，∴=AB：BC：CA=6：5：4，故答案为：6：5：4．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．20．2或6##6或2【分析】对点P和点Q是否重合进行分类讨论，通过证明全等即可得到结果；【详解】解：如图1所示：与全等，，，解得∶；如图2所示：点与点重合，与全等，，解得∶；故答案为∶或．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确分析计算是解题的关键．21．BD与EF互相平分【分析】先根据DE⊥AC，BF⊥AC，AE=CF，求证△ABF≌△CDE，再求证△DEG≌△BFG，即可．【详解】∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠AFB=∠CED=90°∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，在Rt△ABF和Rt△CDE中，，∴Rt△ABF≌Rt△CED（HL），∴ED=BF．设EF与BD交于点G，由∠AFB=∠CED=90°得DE∥BF，∴∠EDG=∠GBF，∵∠EGD=∠FGB，ED=BF，∴△DEG≌△BFG，∴EG=FG，DG=BG，∴BD与EF互相平分．【点睛】此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质的理解和掌握，此题难度并不大，但是需要证明多次全等，步骤繁琐，是一道综合性较强的中档题．22．3【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．【详解】解：过D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∴S△ABC=AB×DE+AC×DF=×4×2+AC×2=7，解得AC=3．故答案为：3．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．23．0，3，9，12【分析】首先分两种情况：当E在线段AB上和当E在BN上，然后再分成两种情况：AC＝BE和AB＝EB，分别进行计算，即可得出结果．【详解】解：①当E在线段AB上，AC＝BE时，△ACB≌△BED，∵AC＝6米，∴BE＝6米，∴AE＝12﹣6＝6米，∴点E的运动时间为6÷2＝3（秒）；②当E在BN上，AC＝BE时，△ACB≌△BED，∵AC＝6米，∴BE＝6米，∴AE＝12+6＝18米，∴点E的运动时间为18÷2＝9（秒）；③当E在线段AB上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，这时E在A点未动，因此时间为0秒；④当E在BN上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，∵AB＝12米，∴BE＝12米，∴AE＝12+12＝24米，∴点E的运动时间为24÷2＝12（秒），故答案为：0，3，9，12．【点睛】本题考查了全等三角形的综合问题，解本题的关键在找到所有符合题意的情况．24．见解析【分析】利用证明≌，即可解决问题．【详解】证明：平分，，，∴，在和中，，≌，．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，得到≌是解决问题的关键．25．(1)见解析(2)AF的长为1【分析】（1）先证明△AGE≌△AFE，即有EG=EF，结合EB=EC，即可得Rt△EGB≌Rt△EFC；（2）根据Rt△EGB≌Rt△EFC，△AGE≌△AFE，可得BG=FC，AG=AF，根据AC=5，AC=AF+FC，BG=AB+AG，可得AF+FC=AF+BG=AF+AB+AG=2AF+AB=5，即可得2AF+3=5，AF可求．（1）解：∵EG⊥AD，EF⊥AC，∴∠EGB=90°=∠EFC，∴△EGB和△EFC是直角三角形，∵AE平分∠CAD，∴∠EAG=∠EAF，∵EA=EA，∴△AGE≌△AFE，∴EG=EF，∵EB=EC，∴Rt△EGB≌Rt△EFC(HL)，得证；（2）解：∵在（1）中证得：Rt△EGB≌Rt△EFC，△AGE≌△AFE，∴BG=FC，AG=AF，∵AC=5，AC=AF+FC，BG=AB+AG，∴AF+FC=AF+BG=AF+AB+AG=2AF+AB=5，∵AB=3，∴2AF+3=5，∴AF=1，即AF的长为1．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明△AGE≌△AFE是解答本题的关键．26．(1)90(2)①α+β=180°；证明见解析；②α=β．【分析】（1）易证∠BAD=∠CAE，即可证明△BAD≌△CAE，可得∠ACE=∠B，即可解题；（2）①易证∠BAD=∠CAE，即可证明△BAD≌△CAE，可得∠ACE=∠B，根据∠B+∠ACB=180°-α即可解题；②易证∠BAD=∠CAE，即可证明△BAD≌△CAE，可得∠ACE=∠B，根据∠ADE+∠AED+α=180°，∠CDE+∠CED+β=180°即可解题．（1）解：∵∠BAD+∠DAC=∠BAC=90°，∠DAC+∠CAE=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE=∠B，∵∠B+∠ACB=90°，∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=90°；故答案为：90；（2）解：①∵∠BAD+∠DAC=∠BAC=α，∠DAC+∠CAE=∠DAE=α，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE=∠B，∵∠B+∠ACB=180°-α，∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=180°-α=β，∴α+β=180°；②作出图形，∵∠BAD+∠BAE=∠BAC=α，∠BAE+∠CAE=∠DAE=α，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠AEC=∠ADB，∵∠ADE+∠AED+α=180°，∠CDE+∠CED+β=180°，∠CED=∠AEC+∠AED，∴α=β．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形对应边相等的性质，三角形内角和定理，本题中求证△BAD≌△CAE是解题的关键．27．(1)证明见解析(2)AMNI(3)2【分析】（1）由正方形的性质得出AB=AE，AC=AI，∠BAE=∠CAI=90°，得出∠EAC=∠BAI，即可得出△ABI≌△AEC(SAS)；（2）证BM∥AI，得出，同理：，由△ABI≌△AEC，即可得出四边形AMNI与正方形ABDE的面积相等；（3）由题意可求出矩形AMNI的面积，从而得出正方形ABDE的面积，进而可求出正方形ABDE的边长．（1）证明：∵四边形ABDE、四边形ACHI是正方形，∴AB＝AE，AC＝AI，∠BAE＝∠CAI＝90°，∴∠EAC＝∠BAI，在△ABI和△AEC中∴△ABI≌△AEC(SAS)；（2）证明：∵BM⊥AC，AI⊥AC，∴BM∥AI，∴，同理：．又∵△ABI≌△AEC，∴四边形AMNI与正方形ABDE的面积相等．故答案为：AMNI；（3）解：由题意可知四边形AMNI为矩形，∴AI=IH=MN=4，∴IN=IH-NH=1，∴，∴，∴正方形ABDE的边长为2．故答案为：2．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、矩形的判定和性质，全等三角形的判定与性质、三角形面积等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．28．(1)证明见解析，(2)BC=4．【分析】（1）证明△ADF≌△ACE即可；（2）易证△FDG≌△BCG，则可得出CD的长度，由（1）可得△ADF≌△ACE，点E为BC中点则点D为AC中点，求出AC即可得到BC的长度．（1）∵AF⊥AE，∴∠EAF=90°，即∠FAD+∠CAE=90°，∵∠ACB＝90°，∴∠AEC+∠CAE=90°，∴∠AEC=∠FAD，∵FD⊥AC，∴∠FAD=90°，在△ADF和△ACE中，∠AEC=∠FAD，∠FAD=∠ACB，AF＝AE，∴△ADF≌△ACE，∴FD＝AC．（2）由（1）可知，FD=AC，∵AC=BC，∴FD=BC，在△FDG和△BCG中，∠FGD=∠BGC，∠FDG=∠GCB，FD=BC，∴△FDG≌△BCG，∴CG=DG，则CD=2CG=2，∵△ADF≌△ACE，∴AD=CE，∵AC=BC，点E为BC中点，∴点D为AC中点，则AC=2CD=4，∴BC=AC=4．【点睛】本题主要考查了三角形全等的性质和判定，熟练掌握全等三角形对应边和对应角相等以及用AAS和ASA判定三角形全等是解题的关键．29．(1)证明见解析(2)【分析】（1）过点作于点，先根据角平分线的性质可得，再根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得证；（2）过点作于点，先根据全等三角形的性质可得，设，则，，再根据定