平行线的判定和性质的综合应用 公开课获奖课件

第五章

相交线与平行线5.3

平行线的性质第2课时

平行线的判定和性

质的综合应用第五章相交线与平行线5.3平行线的性质第2课时平1课堂讲解平行线性质的应用平行线判定的应用平行线的性质和判定的综合应用2课时流程逐点导讲练课堂小结课后作业1课堂讲解平行线性质的应用2课时流程逐点课堂小结课后作业复习回顾平行线的三个性质：两直线平行，同位角相等．两直线平行，内错角相等．两直线平行，同旁内角互补．复习回顾平行线的三个性质：1知识点平行线的性质的应用下图是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A=100°，∠B=115°，梯形的另外两个角分别是多少度？知1－讲例11知识点平行线的性质的应用下图是一块梯形铁片的残余部分，量得知1－讲因为梯形上、下两底AB与DC互相平行，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得∠A与∠D互补，∠B与∠C互.补于是∠D=180°-∠A=180°-100°=80°，

∠C=180°-∠B=180°-115°=65°.所以梯形的另外两个角分别是80°，65°.解：知1－讲因为梯形上、下两底AB与DC互相平行，解：知1－讲

例2如图，将一张长方形的纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′位置上，ED′与BC的交点为

点G，若∠EFG＝50°，求∠EGB的度数．知1－讲例2如图，将一张长方形的纸片沿EF折导引：本题根据长方形的对边是平行的，利用平行线

的性质：两直线平行，内错角相等，先求

∠DEF＝50°，再根据折叠前后的对应角相等

求得∠D′EF＝50°，然后根据平角的定义得

∠AEG＝80°，最后根据两直线平行，同旁内

角互补求得∠EGB＝100°.解：∵四边形ABCD是长方形(已知)，∴∠A＝∠B＝90°(长方形的定义)．∴∠A＋∠B＝180°，知1－讲导引：本题根据长方形的对边是平行的，利用平行线知1－讲∴AD∥BC(同旁内角互补，两直线平行)．∴∠DEF＝∠EFG(两直线平行，内错角相等)．∵∠EFG＝50°(已知)，∴∠DEF＝50°(等量代换)．∵∠DEF＝∠D′EF(折叠的性质)，∴∠D′EF＝50°(等量代换)．∴∠AEG＝180°－∠DEF－∠D′EF＝80°(平角的定义)．又∵AD∥BC，∴∠AEG＋∠EGB＝180°(两直线平行，同旁内角互补)，∴∠EGB＝180°－∠AEG＝180°－80°＝100°.知1－讲∴AD∥BC(同旁内角互补，两直线平行)．知1－讲总

结知1－讲

解决折叠问题的关键是找到折叠前后相等的角，然后熟练利用平行线的性质来求角的度数．总结知1－讲解决折叠问题的关键是找到折叠前后1如图，直线AB∥CD，AF交CD于点E，∠CEF＝140°，则∠A等于(

)A．35°B．40°C．45°D．50°知1－练B1如图，直线AB∥CD，AF交CD于点E，∠CEF＝140°2【中考·遵义】如图，在平行线a，b之间放置一块直角三角板，三角板的顶点A，B分别在直线a，b上，则∠1＋∠2的值为（）A．90°B．85°C．80°D．60°知1－练A2【中考·遵义】如图，在平行线a，b之间放置一块直角三角板，3【中考·山西】如图，将长方形纸片ABCD沿BD折叠，得到△BC′D，C′D与AB交于点E.若∠1＝35°，则∠2的度数为（）A．20°B．30°C．35°D．55°知1－练A3【中考·山西】如图，将长方形纸片ABCD沿BD折叠，得到△4【中考·湖州】如图是我们常用的折叠式小刀，刀柄外形是一个长方形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成如图所示的∠1与∠2，则∠1与∠2的度数和是__________度．知1－练904【中考·湖州】如图是我们常用的折叠式小刀，刀柄外形是一个长5一个人从A地出发向北偏东60°方向走了一段距离到B地，再从B地出发，向南偏西15°方向走了一段距离到达C地，则∠ABC的度数是______________．知1－练45°5一个人从A地出发向北偏东60°方向走了一段距离到B地，再从2知识点平行线的判定的应用知2－讲

例3如图所示，∠B＝∠D，∠CEF＝∠A.

试问CD与EF平行吗？为什么？2知识点平行线的判定的应用知2－讲例3如图知2－讲导引：1.要说明CD∥EF，我们无法找出相等的同位

角、内错角，也无法说明其同旁内角互补，

因此需找第三条直线与它们平行(即AB∥CD，AB∥EF)，这都能由已知∠B＝∠D，

∠CEF＝∠A说明．2.由已知∠B＝∠D，∠CEF＝∠A很容易就能

得出AB∥CD及EF∥AB，再由如果两条直线

都和第三条直线平行，那么这两条直线也互

相平行就可得到CD∥EF.知2－讲导引：1.要说明CD∥EF，我们无法找出相等的同位知2－讲解：CD∥EF，理由：∵∠B＝∠D，∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)．∵∠CEF＝∠A，∴EF∥AB(同位角相等，两直线平行)．∴CD∥EF(平行于同一条直线的两条直线平行)．知2－讲解：CD∥EF，理由：总

结知2－讲找寻说明平行的方法：1.分析法：由结论往前推，要说明这个结论成立需要什么样

的条件，一直递推到已知条件为止；(如导引1)2.综合法：由已知条件一步一步往后推理，看这个已知条件

能推出什么结论,一直推导出要说明的结论为止;(如导引2)3.两头凑：当遇到复杂问题的时候，我们常常将分析法和综

合法同时进行，即由两头向中间推，寻找到中间的结合点．总结知2－讲找寻说明平行的方法：知2－讲

例4光线从空气射入水中时，传播方向会发生改变，

这种现象叫做光的折射现象．同样，光线从水

中射入空气中时，也会发生折射现象，一束光

线从空气射入水中再从水中射入空气中时，光

线的传播方向如图，其中，直线a，b都表示空

气与水的分界面．已知∠1＝

∠4，∠2＝∠3，请你判断光

线c与d是否平行？为什么？知2－讲例4光线从空气射入水中时，传播方向会发知2－讲导引：设光线在水中的部分为e，e与直线a所成的钝

角为∠5，e与直线b所成的钝角为∠6，只要

能说明∠1＋∠5＝∠4＋∠6，则根据“内错

角相等，两直线平行”即可判定c∥d.知2－讲导引：设光线在水中的部分为e，e与直线a所成的钝知2－讲解：c∥d.理由如下：如图，设光线在水中的部分为e.∵∠2＋∠5＝180°，∠3＋∠6＝180°，

∠2＝∠3，∴∠5＝∠6(等角的补角相等)．又∵∠1＝∠4，

∴∠1＋∠5＝∠4＋∠6.∴c∥d(内错角相等，两直线平行)．知2－讲解：c∥d.理由如下：总

结知2－讲判断光线c与d是否平行，应首先解决两个关键问题，一是把实物图抽象为“三线八角”的基本图形；二是把直线c，d看作被直线e所截的两条直线．如此，问题转化为说明∠1＋∠5＝∠4＋∠6.总结知2－讲判断光线c与d是否平行，应1如图，已知BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，∠1＝∠2，那么直线AB与CD的位置关系是________．知2－练平行1如图，已知BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，知2－练平行1【中考·枣庄】如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（）A．15°B．22.5°C．30°D．45°知2－练A1【中考·枣庄】如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列3知识点平行线的性质与判定的综合应用知3－讲平行线的性质与判定之间既有联系又有区别，一定不可混淆二者的条件和结论，要把它们严格区别开来．分类条件结论平行线的判定同位角相等两直线平行内错角相等同旁内角互补平行线的性质两直线平行同位角相等内错角相等同旁内角互补3知识点平行线的性质与判定的综合应用知3－讲平行线的性质与判知3－讲

例5如图，已知∠ABC与∠ECB互补，∠1＝∠2，

则∠P与∠Q一定相等吗？说说你的理由．导引：如果∠P和∠Q相等，那么PB∥CQ，∴要判断∠P与∠Q是否相

等，只需判断PB和CQ是否平行．

要说明PB∥CQ，可以通过说明

∠PBC＝∠BCQ来实现，由于∠1＝∠2，因此

只需说明∠ABC＝∠BCD即可．知3－讲例5如图，已知∠ABC与∠ECB互补，知3－讲解：∠P＝∠Q.

理由如下：∵∠ABC与∠ECB互补(已知)，∴AB∥ED(同旁内角互补，两直线平行)．∴∠ABC＝∠BCD(两直线平行，内错角相等)．∵∠1＝∠2(已知)，∴∠ABC－∠1＝∠BCD－∠2(等式的性质)，

即∠PBC＝∠BCQ.∴PB∥CQ(内错角相等，两直线平行)．∴∠P＝∠Q(两直线平行，内错角相等)．知3－讲解：∠P＝∠Q.总

结知3－讲一个数学问题的构成含有四个要素：题目的条件、解题的依据、解题的方法、题目的结论，如果题目所含的四个要素解题者已经知道或者结论虽未指明，但它是完全确定的，这样的问题就是封闭性的数学问题．总结知3－讲一个数学问题的构成含有四个1如图，在三角形ABC中，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，AC∥ED，CE是∠ACB的平分线，则图中与∠FDB相等的角（不包含∠FDB）的个数为（）A．3B．4C．5D．6知3－练B1如图，在三角形ABC中，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，A2【中考·宿迁】如图，直线a，b被直线c，d所截，若∠1＝80°，∠2＝100°，∠3＝85°，则∠4的度数是（）A．80°B．85°C．95°D．100°知3－练B2【中考·宿迁】如图，直线a，b被直线c，d所截，若∠1＝8两直线平行同位角相等内错角相等同旁内角互补平行线的判定平行线的性质线的关系角的关系性质角的关系线的关系判定平行线的判定与平行线的性质的关系：1知识小结两直线平行同位角相等内错角相等同旁内角互补平行线的判定平行线如图，已知∠ABC，请你再画一个∠DEF，使DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC边于点P.探究：∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？并说明理由．2易错小结如图，已知∠ABC，请你再画一个∠DEF，使DE∥AB，EF解：画图如图①②③④所示．∠ABC与∠DEF相等或互补，理由如下：如图①，∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠DPC.∵BC∥EF，∴∠DEF＝∠DPC.∴∠ABC＝∠DEF.如图②，∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠EPC.∵BC∥EF，∴∠EPC＝∠DEF.∴∠ABC＝∠DEF.如图③，∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠BPE.∵BC∥EF，∴∠DEF＋∠BPE＝180°.∴∠ABC＋∠DEF＝180°.解：画图如图①②③④所示．∠ABC与∠DEF相等或互补，本题易错之处在于学生往往只考虑到其中两种情况，而漏掉另外两种情况．易错点：画图考虑不周导致漏解.如图④，∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠EPC.∵BC∥EF，∴∠EPC＋∠DEF＝180°.∴∠ABC＋∠DEF＝180°.综上可知，∠ABC与∠DEF相等或互补．本题易错之处在于学生往往只考虑到其中两种情况，而漏掉另外两种第五章

相交线与平行线5.3

平行线的性质第2课时

平行线的判定和性

质的综合应用第五章相交线与平行线5.3平行线的性质第2课时平1课堂讲解平行线性质的应用平行线判定的应用平行线的性质和判定的综合应用2课时流程逐点导讲练课堂小结课后作业1课堂讲解平行线性质的应用2课时流程逐点课堂小结课后作业复习回顾平行线的三个性质：两直线平行，同位角相等．两直线平行，内错角相等．两直线平行，同旁内角互补．复习回顾平行线的三个性质：1知识点平行线的性质的应用下图是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A=100°，∠B=115°，梯形的另外两个角分别是多少度？知1－讲例11知识点平行线的性质的应用下图是一块梯形铁片的残余部分，量得知1－讲因为梯形上、下两底AB与DC互相平行，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得∠A与∠D互补，∠B与∠C互.补于是∠D=180°-∠A=180°-100°=80°，

∠C=180°-∠B=180°-115°=65°.所以梯形的另外两个角分别是80°，65°.解：知1－讲因为梯形上、下两底AB与DC互相平行，解：知1－讲

例2如图，将一张长方形的纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′位置上，ED′与BC的交点为

点G，若∠EFG＝50°，求∠EGB的度数．知1－讲例2如图，将一张长方形的纸片沿EF折导引：本题根据长方形的对边是平行的，利用平行线

的性质：两直线平行，内错角相等，先求

∠DEF＝50°，再根据折叠前后的对应角相等

求得∠D′EF＝50°，然后根据平角的定义得

∠AEG＝80°，最后根据两直线平行，同旁内

角互补求得∠EGB＝100°.解：∵四边形ABCD是长方形(已知)，∴∠A＝∠B＝90°(长方形的定义)．∴∠A＋∠B＝180°，知1－讲导引：本题根据长方形的对边是平行的，利用平行线知1－讲∴AD∥BC(同旁内角互补，两直线平行)．∴∠DEF＝∠EFG(两直线平行，内错角相等)．∵∠EFG＝50°(已知)，∴∠DEF＝50°(等量代换)．∵∠DEF＝∠D′EF(折叠的性质)，∴∠D′EF＝50°(等量代换)．∴∠AEG＝180°－∠DEF－∠D′EF＝80°(平角的定义)．又∵AD∥BC，∴∠AEG＋∠EGB＝180°(两直线平行，同旁内角互补)，∴∠EGB＝180°－∠AEG＝180°－80°＝100°.知1－讲∴AD∥BC(同旁内角互补，两直线平行)．知1－讲总

结知1－讲

解决折叠问题的关键是找到折叠前后相等的角，然后熟练利用平行线的性质来求角的度数．总结知1－讲解决折叠问题的关键是找到折叠前后1如图，直线AB∥CD，AF交CD于点E，∠CEF＝140°，则∠A等于(

)A．35°B．40°C．45°D．50°知1－练B1如图，直线AB∥CD，AF交CD于点E，∠CEF＝140°2【中考·遵义】如图，在平行线a，b之间放置一块直角三角板，三角板的顶点A，B分别在直线a，b上，则∠1＋∠2的值为（）A．90°B．85°C．80°D．60°知1－练A2【中考·遵义】如图，在平行线a，b之间放置一块直角三角板，3【中考·山西】如图，将长方形纸片ABCD沿BD折叠，得到△BC′D，C′D与AB交于点E.若∠1＝35°，则∠2的度数为（）A．20°B．30°C．35°D．55°知1－练A3【中考·山西】如图，将长方形纸片ABCD沿BD折叠，得到△4【中考·湖州】如图是我们常用的折叠式小刀，刀柄外形是一个长方形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成如图所示的∠1与∠2，则∠1与∠2的度数和是__________度．知1－练904【中考·湖州】如图是我们常用的折叠式小刀，刀柄外形是一个长5一个人从A地出发向北偏东60°方向走了一段距离到B地，再从B地出发，向南偏西15°方向走了一段距离到达C地，则∠ABC的度数是______________．知1－练45°5一个人从A地出发向北偏东60°方向走了一段距离到B地，再从2知识点平行线的判定的应用知2－讲

例3如图所示，∠B＝∠D，∠CEF＝∠A.

试问CD与EF平行吗？为什么？2知识点平行线的判定的应用知2－讲例3如图知2－讲导引：1.要说明CD∥EF，我们无法找出相等的同位

角、内错角，也无法说明其同旁内角互补，

因此需找第三条直线与它们平行(即AB∥CD，AB∥EF)，这都能由已知∠B＝∠D，

∠CEF＝∠A说明．2.由已知∠B＝∠D，∠CEF＝∠A很容易就能

得出AB∥CD及EF∥AB，再由如果两条直线

都和第三条直线平行，那么这两条直线也互

相平行就可得到CD∥EF.知2－讲导引：1.要说明CD∥EF，我们无法找出相等的同位知2－讲解：CD∥EF，理由：∵∠B＝∠D，∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)．∵∠CEF＝∠A，∴EF∥AB(同位角相等，两直线平行)．∴CD∥EF(平行于同一条直线的两条直线平行)．知2－讲解：CD∥EF，理由：总

结知2－讲找寻说明平行的方法：1.分析法：由结论往前推，要说明这个结论成立需要什么样

的条件，一直递推到已知条件为止；(如导引1)2.综合法：由已知条件一步一步往后推理，看这个已知条件

能推出什么结论,一直推导出要说明的结论为止;(如导引2)3.两头凑：当遇到复杂问题的时候，我们常常将分析法和综

合法同时进行，即由两头向中间推，寻找到中间的结合点．总结知2－讲找寻说明平行的方法：知2－讲

例4光线从空气射入水中时，传播方向会发生改变，

这种现象叫做光的折射现象．同样，光线从水

中射入空气中时，也会发生折射现象，一束光

线从空气射入水中再从水中射入空气中时，光

线的传播方向如图，其中，直线a，b都表示空

气与水的分界面．已知∠1＝

∠4，∠2＝∠3，请你判断光

线c与d是否平行？为什么？知2－讲例4光线从空气射入水中时，传播方向会发知2－讲导引：设光线在水中的部分为e，e与直线a所成的钝

角为∠5，e与直线b所成的钝角为∠6，只要

能说明∠1＋∠5＝∠4＋∠6，则根据“内错

角相等，两直线平行”即可判定c∥d.知2－讲导引：设光线在水中的部分为e，e与直线a所成的钝知2－讲解：c∥d.理由如下：如图，设光线在水中的部分为e.∵∠2＋∠5＝180°，∠3＋∠6＝180°，

∠2＝∠3，∴∠5＝∠6(等角的补角相等)．又∵∠1＝∠4，

∴∠1＋∠5＝∠4＋∠6.∴c∥d(内错角相等，两直线平行)．知2－讲解：c∥d.理由如下：总

结知2－讲判断光线c与d是否平行，应首先解决两个关键问题，一是把实物图抽象为“三线八角”的基本图形；二是把直线c，d看作被直线e所截的两条直线．如此，问题转化为说明∠1＋∠5＝∠4＋∠6.总结知2－讲判断光线c与d是否平行，应1如图，已知BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，∠1＝∠2，那么直线AB与CD的位置关系是________．知2－练平行1如图，已知BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，知2－练平行1【中考·枣庄】如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（）A．15°B．22.5°C．30°D．45°知2－练A1【中考·枣庄】如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列3知识点平行线的性质与判定的综合应用知3－讲平行线的性质与判定之间既有联系又有区别，一定不可混淆二者的条件和结论，要把它们严格区别开来．分类条件结论平行线的判定同位角相等两直线平行内错角相等同旁内角互补平行线的性质两直线平行同位角相等内错角相等同旁内角互补3知识点平行线的性质与判定的综合应用知3－讲平行线的性质与判知3－讲

例5如图，已知∠ABC与∠ECB互补，∠1＝∠2，

则∠P与∠Q一定相等吗？说说你的理由．导引：如果∠P和∠Q相等，那么PB∥CQ，∴要判断∠P与∠Q是否相

等，只需判断PB和CQ是否平行．

要说明PB∥CQ，可以通过说明

∠PBC＝∠BCQ来实现，由于∠1＝∠2，因此

只需说明∠ABC＝∠BCD即可．知3－讲例5如图，已知∠ABC与∠ECB互补，知3－讲解：∠P＝∠Q.

理由如下：∵∠ABC与∠ECB互补(已知)，∴AB∥ED(同旁内角互补，两直线平行)．∴∠ABC＝∠BCD(两直线平行，内错角相等)．∵∠1＝∠2(已知)，∴∠ABC－∠1＝∠BCD－∠2(等式的性质)，

即∠PBC＝∠BCQ.∴PB∥CQ(内错角相等，两直线平行)