数列求和及综合应用

..数列求和及综合应用解答题1.<2014·XX高考文科·T19>已知等差数列{an}满足:a1=2,且a1,a2,a5成等比数列.<1>求数列{an}的通项公式.<2>记Sn为数列{an}的前n项和,是否存在正整数n,使得Sn>60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由.[解题指南]<1>由2,2+d,2+4d成等比数列可求得公差d,从而根据通项公式表示出数列{an}的通项.<2>根据{an}的通项公式表示出{an}的前n项和公式Sn,令Sn>60n+800,解此不等式.[解析]<1>设数列{an}的公差为d,依题意,2,2+d,2+4d成等比数列,故有<2+d>2=2<2+4d>,化简得d2-4d=0,解得d=0或d=4.当d=0时,an=2;当d=4时,an=2+<n-1>·4=4n-2,从而得数列{an}的通项公式为an=2或an=4n-2.<2>当an=2时,Sn=2n.显然2n<60n+800,此时不存在正整数n,使得Sn>60n+800成立.当an=4n-2时,Sn==2n2.令2n2>60n+800,即n2-30n-400>0,解得n>40或n<-10<舍去>,此时存在正整数n,使得Sn>60n+800成立,n的最小值为41.综上,当an=2时,不存在满足题意的n.当an=4n-2时,存在满足题意的n,其最小值为41.2.〔2014·XX高考理科·Ｔ18已知等差数列满足：＝2,且成等比数列.求数列的通项公式.记为数列的前项和,是否存在正整数,使得若存在,求的最小值；若不存在,说明理由.[解题指南]〔Ⅰ由,,成等比数列可求得公差d,从而根据通项公式表示出数列的通项；〔Ⅱ根据的通项公式表示出的前n项和公式,令,解此不等式。[解析]〔1设数列的公差为,依题意,成等比数列,故有化简得,解得或当时,当时,从而得数列的通项公式为或。〔2当时,。显然此时不存在正整数,使得成立。当时,令,即,解得或〔舍去,此时存在正整数,使得成立,的最小值为41。综上,当时,不存在满足题意的；当时,存在满足题意的,其最小值为41。3.〔2014·XX高考理科·Ｔ20〔本小题满分13分已知数列{}满足〔1若{}是递增数列,且成等差数列,求的值；〔2若,且{}是递增数列,{}是递减数列,求数列{}的通项公式．[解题提示]〔1由{}是递增数列,去掉绝对值,求出前三项,再利用成等差数列,得到关于p的方程即可；〔2{}是递增数列,{}是递减数列,可以去掉绝对值,再利用叠加法求通项公式。[解析]〔1因为{}是递增数列,所以,又,,因为成等差数列,所以,解得,当,,与{}是递增数列矛盾,所以。〔2因为{}是递增数列,所以,于是①由于,所以②由①②得,所以③因为{}是递减数列,所以同理可得,④由③④得,所以,所以数列{}的通项公式为．4.〔2014·XX高考文科·Ｔ17〔本小题满分12分已知数列的前项和.〔1求数列的通项公式；〔2设,求数列的前项和.[解题提示]〔1利用的关系求解,〔2分组求和。[解析]〔1当时,；当,故数列的通项公式为〔2由〔1知,,记数列的前2n项和为,则记,,则,故数列的前2n项和5.<2014·XX高考文科·T19><14分>设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且Sn满足-<n2+n-3>Sn-3<n2+n>=0,n∈N*.<1>求a1的值.<2>求数列{an}的通项公式.<3>证明:对一切正整数n,有++…+<.[解题提示]<1>可直接令n=1.<2>用n表示出Sn,利用an=Sn-Sn-1<n≥2>.<3>先对每一项进行放缩再裂项相消整理求和.[解析]<1>令n=1,则S1=a1,-<12+1-3>S1-3<12+1>=0,即+a1-6=0,解得a1=2或a1=-3<舍去>.<2>-<n2+n-3>Sn-3<n2+n>=0可以整理为<Sn+3>[Sn-<n2+n>]=0,因为数列{an}中an>0,所以Sn≠-3,只有Sn=n2+n.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-<n-1>2-<n-1>=2n,而a1=2,所以数列{an}的通项公式为an=2n<n∈N*>.<3>因为==·<·,=-,所以++…+<==-<.故对一切正整数n,有++…+<.6.〔2014·XX高考理科·Ｔ19〔本题满分14分已知数列和满足.若为等比数列,且求与；设,记数列的前项和为.①求；②求正整数,使得对任意,均有.[解析]〔1由题意,知又由,得公比〔舍去,所以数列的通项所以,所以数列的通项〔2①由〔1知所以②因为,；当时,而得所以,当时,综上,对任意恒有,故.7.〔2014·上海高考理科·Ｔ23已知数列满足.若,求的取值范围；若是公比为等比数列,,求的取值范围；若成等差数列,且,求正整数的最大值,以及取最大值时相应数列的公差.[解题指南][解析]8.<2014·XX高考文科·T17>已知数列的前n项和Sn=,n∈N*.<1>求数列的通项公式.<2>证明:对任意的n>1,都有m∈N*,使得a1,an,am成等比数列.[解题指南]<1>利用an=Sn-Sn-1<n≥2>解决.<2>a1,an,am成等比数列,转化为=a1·am.[解析]<1>当n=1时a1=S1=1;当n≥2时an=Sn-Sn-1=-=3n-2,对n=1也满足,所以的通项公式为an=3n-2;<2>证明:由<1>得a1=1,an=3n-2,am=3m-2,要使a1,an,am成等比数列,需要=a1·am,所以<3n-2>2=3m-2,整理得m=3n2-4n+2∈N*,所以对任意n>1,都有m∈N*使得=a1·am成立,即a1,an,am成等比数列.9〔2014·上海高考文科·Ｔ23已知数列满足.若,求的取值范围；若是等比数列,且,求正整数的最小值,以及取最小值时相应的公比；〔3若成等差数列,求数列的公差的取值范围.[解题指南][解析]10.〔2014·XX高考理科·Ｔ19已知等差数列的公差为2,前项和为,且成等比数列.

〔Ⅰ求数列的通项公式；〔Ⅱ令,求数列的前项和.[解题指南]<1>先设出等差数列的首项.然后根据已知条件可列方程组求得数列的通项公式.<2>利用裂项求和法求解,注意本题是将数列裂成两项之和,然后再分奇数和偶数来求数列的前n项和.[解析]〔I解得〔II11.〔2014·XX高考文科·Ｔ19在等差数列中,已知,是与等比中项.〔Ⅰ求数列的通项公式；〔Ⅱ设记,求.[解题指南]<1>先设出等差数列的首项.然后根据已知条件可列方程组求得数列的通项公式.<2>分奇数项和偶数项来讨论求数列的和.[解析]：〔Ⅰ由题意知：为等差数列,设,为与的等比中项且,即,解得：〔Ⅱ由〔Ⅰ知：,①当n为偶数时：②当n为奇数时：综上：12.<2014·XX高考理科·T17>已知首项都是1的两个数列{an}{bn}<bn≠0,n∈N*>,满足anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0.<1>令cn=,求数列{cn}的通项公式.<2>若bn=3n+1,求数列{an}的前n项和Sn.[解题指南]<1>将等式两端同时除以bnbn+1即可求解.<2>由<1>及bn=3n+1可得数列{an}的通项公式,分析通项公式的特征利用错位相减法求Sn.[解析]<1>因为bn≠0,所以由anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0,得-+2=0,即-=2,所以cn+1-cn=2,所以{cn}是以c1==1为首项,2为公差的等差数列,所以cn=1+<n-1>×2=2n-1.<2>因为bn=3n+1,cn=2n-1.所以an=cnbn=<2n-1>3n+1.所以Sn=1×32+3×33+5×34+…+<2n-1>3n+1,3Sn=1×33+3×34+…+<2n-3>3n+1+<2n-1>3n+2,作差得:-2Sn=32+2<33+34+…+3n+1>-<2n-1>3n+2=9+2×-<2n-1>3n+2=-［18+2<n-1>3n+2］,所以Sn=9+<n-1>3n+2.13.〔2014·XX高考文科·Ｔ18数列满足证明：数列是等差数列；设,求数列的前项和[解题提示]利用等差数列的定义、错位相消法分别求解。[解析]<1>由已知可得,所以是以1为首项,1为公差的等差数列。〔2由〔1得,所以,从而,将以上两式联立可得==所以14.<2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T17><本小题满分12分>已知数列满足a1=1,an+1=3an+1.<1>证明是等比数列,并求的通项公式.<2>证明:++…+<.[解题提示]<1>将an+1=3an+1进行配凑,得"an+1+"与"an+"的关系,得证,然后求得{an}的通项公式.<2>求得的通项公式,然后证得不等式.[解析]<1>因为a1=1,an+1=3an+1,n∈N*.所以an+1+=3an+1+=3.所以是首项为a1+=,公比为3的等比数列.所以an+=,所以an=.<2>=.=1,当n>1时,=<.所以++…+<1+++…+==<.所以,++…+<.n∈N*.15.〔2014·XX高考理科·Ｔ19设等差数列的公差为,点在函数的图象上〔．〔1若,点在函数/