二次型及其标准形市公开课一等奖省赛课获奖课件

第六章二次型及其标准型

§6.3正定二次型与正定矩阵§6.2化二次型为标准型§6.1二次型及其矩阵表示1二次型及其标准形第1页引言判别下面方程几何图形是什么？作旋转变换代入(1)左边，化为：见下列图2二次型及其标准形第2页3二次型及其标准形第3页称为n维(或n元)二次型.定义含有n个变量二次齐次函数关于二次型讨论永远约定在实数范围内进行！4二次型及其标准形第4页比如：都是二次型。不是二次型。只含有平方项二次型称为二次型标准形。为二次型标准形。5二次型及其标准形第5页取则则（1）式能够表示为二次型用和号表示6二次型及其标准形第6页7二次型及其标准形第7页令则其中为对称矩阵。二次型矩阵表示（重点）注1、对称矩阵A写法：A一定是方阵。2、其对角线上元素恰好是系数。3、系数二分之一分给可确保8二次型及其标准形第8页比如：二次型注：二次型对称矩阵把对称矩阵称为二次型矩阵也把二次型称为对称矩阵二次型对称矩阵秩称为二次型秩二次型定义2：9二次型及其标准形第9页例1写出下面二次型f矩阵表示，并求f秩r(f)。解问：在二次型中,如不限制A对称,A唯一吗?10二次型及其标准形第10页定义只含平方项二次型称为二次型标准形(或法式)。平方项系数只在中取值标准形

称为二次型规范形。11二次型及其标准形第11页目：对给定二次型找可逆线性变换(坐标变换)：代入(1)式，使之成为标准形称上面过程为化二次型为标准形。12二次型及其标准形第12页作业P189313二次型及其标准形第13页第六章二次型及其标准型

§6.3正定二次型与正定矩阵§6.2化二次型为标准型§6.1二次型及其矩阵表示14二次型及其标准形第14页简记设若一、非退化线性变换（可逆线性变换）为可逆线性变换。当C是可逆矩阵时,称15二次型及其标准形第15页对于二次型，我们讨论主要问题是：寻求可逆线性变换，使二次型只含平方项。即二次型经过可逆线性变换使得为何研究可逆变换？即经过可逆线性变换可化为对于这种矩阵的关系我们来进行定义16二次型及其标准形第16页矩阵协议：证实定理设A为对称矩阵，且A与B协议，则注：协议依然是一个等价关系矩阵协议性质：(1)反身性(2)对称性(3)传递性记作17二次型及其标准形第17页二.化二次型为标准形正交变换法（重点）配方法目标：问题转化为：18二次型及其标准形第18页回想：此结论用于二次型所以，19二次型及其标准形第19页主轴定理(P191定理6.2.1)20二次型及其标准形第20页1.正交变换法对二次型存在正交变换，使其中为特征值。其中P列向量是A对应于特征值n个两两正交单位特征向量。定理：21二次型及其标准形第21页例1用正交变换化二次型为标准型，并求出所用正交变换。解（1）写出二次型f

矩阵(2)求出A全部特征值及其对应标准正交特征向量22二次型及其标准形第22页而它们所对应标准正交特征向量为(3)写出正交变换取正交矩阵则得所欲求正交变换即23二次型及其标准形第23页（4）写出标准型。易知经上述正交变换后所得二次型标准型24二次型及其标准形第24页2.解二次型矩阵为25二次型及其标准形第25页3）对每个基础解系进行Schmidt正交化、再单位化：26二次型及其标准形第26页作正交变换X=QY，则注：正交变换化为标准形优点：在几何中，能够保持曲线（曲面）几何形状不变。27二次型及其标准形第27页2.配方法⑴同时含有平方项与交叉项情形。例2用配方法将以下二次型经可逆线性变换化为标准形。解：28二次型及其标准形第28页令二次型标准形为所求可逆线性变换为即29二次型及其标准形第29页为标准形,并求出所作可逆线性变换.例3用配方法化二次型解令⑵只含交叉项情形。30二次型及其标准形第30页即令则二次型标准形为31二次型及其标准形第31页所用可逆线性变换为32二次型及其标准形第32页思索题：1、(1)协议且相同；(2)协议但不相同；(3)不协议但相同；(4)不协议且不相同；33二次型及其标准形第33页以上说明：注意：2.在变换二次型时，要求所作线性变换是可逆.34二次型及其标准形第34页定理二次型必可化为规范形。证设二次型f(x)=xTAx(r(A)=r)经正交变换化为:(思索为何一定可化为上面形式？)再做一次可逆线性变换则f化为思索：在可互化二次型中最简单是什么？在对称矩阵协议等价类中最简单矩阵是什么？35二次型及其标准形第35页思索并回答(1)二次型标准形唯一吗？(2)二次型标准形中平方项个数与二次型秩有何关系？与二次型矩阵非零特征值个数有何关系？(3)设CTAC=D(C可逆，D是对角阵)，D对角元是A特征值吗？假如C是正交矩阵又怎样？(4)设4阶对称矩阵A特征值为0,2,2,-3,A二次型规范形是什么？36二次型及其标准形第36页例4解化为标准形。求A特征值求二次型矩阵37二次型及其标准形第37页求A规范正交特征向量单位化38二次型及其标准形第38页得正交基础解系单位化求正交变换矩阵39二次型及其标准形第39页写出二次型标准形用正交变换，二次型f化为标准形为40二次型及其标准形第40页例5设二次型经正交变换化为标准形求(1)a,b;(2)正交变换矩阵Q.解二次型矩阵为由题意由相同矩阵性质得，从而41二次型及其标准形第41页解得A与D有相同特征值，分别为求得它们对应特征向量(正交)为再单位化并排成矩阵即得所求正交变换矩阵42二次型及其标准形第42页作业P1942P204443二次型及其标准形第43页第六章二次型及其标准型

§6.3正定二次型与正定矩阵§6.2化二次型为标准型§6.1二次型及其矩阵表示44二次型及其标准形第44页§6.3正定二次型本节讨论二次型分类问题.重点是正定二次型.在n维二次型中,假如两个二次型xTAx和yTBy能够互化，即则称这两个二次型等价。这相当于即在n阶对称矩阵中A与B协议等价。我们把等价二次型分为同一类。相当于对称矩阵协议等价类。45二次型及其标准形第45页什么条件决定两个二次型等价？我们知道,等价二次型有相同秩,也就是标准形中平方项个数相等.但秩相等两个二次型不一定等价.比如与不可能等价.因为不存在可逆矩阵C满足因为46二次型及其标准形第46页惯性定理(P196定理6.3.1)

在二次型标准形中，正项个数与负项个数保持不变。或者说二次型规范形是唯一。二次型标准形中正项个数称为二次型正惯性指数,负项个数称为二次型负惯性指数.设二次型f秩为r,正惯性指数为p,则负惯性指为r–p.f规范形为

惯性定理指出：两个二次型是否等价，被其秩和正惯性指数唯一确定。47二次型及其标准形第47页

假如n维二次型f(x)=xTAx其标准形系数全为正，则称之为正定二次型，二次型矩阵A称为正定矩阵；假如标准形中系数全为负，则称之为负定二次型，二次型矩阵称为负定矩阵。定义化标准形化规范形正定二次型为

正定矩阵就是特征值全大于零对称矩阵，也是与单位矩阵协议对称矩阵。

显然，假如f负定，则–f正定，以后只需讨论正定二次型(正定矩阵)。48二次型及其标准形第48页定理

二次型f(x)=xTAx正定充要条件是对任意x≠0，都有f(x)=xTAx>0.

(注：书上以后者为定义)证设必要性：设f正定，即对任意x≠0，则，故充分性：反证。假如有某个，取,与矛盾。49二次型及其标准形第49页定理(霍尔维茨定理)对称矩阵A为正定充要条件是：A各阶主子式全为正，即50二次型及其标准形第50页判别二次型是否正定.它各阶次序主子式故上述二次型是正定.例1f矩阵为解51二次型及其标准形第51页例2解判别二次型是否正定.二次型矩阵为即知A是正定矩阵，故此二次型为正定二次型.求得其特征值52二次型及其标准形第52页判别二次型正定性.例3解二次型矩阵它各阶次序主子式A是负定矩阵，二次型是负定二次型。或者，判别－Ａ为正定.53二次型及其标准形第53页例4与矩阵协议矩阵是()A特征值是两正一负。54二次型及其标准形第54页是正定二次型？解二次型矩阵为A次序主子式为：所以当