北师大数学八下课件4角平分线

初中数学课件

灿若寒星*****整理制作初中数学课件

灿若寒星*****整理制作第一章三角形的证明4角平分线广东学导练数学八年级下册配北师大版第一章三角形的证明4角平分线广东学导练数学八课前预习

1．如图1-4-1，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，则PC与PD的大小关系是 （）

A．PC＞PD B．PC=PD

C．PC＜PD D．不能确定

2．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形 （）

A．三条中线的交点

B．三条高的交点

C．三条边的垂直平分线的交点

D．三条角平分线的交点BD课前预习1．如图1-4-1，OP平分∠AOB，BD

3．用尺规作∠AOB的平分线的步骤：①在OA和OB上分别截取OD，OE，使______________；②分别以__________为圆心，以______________的长为半径作弧，弧在∠AOB的_______交于一点C；③作___________，OC就是∠AOB的平分线．

4．在Rt△ABC中,锐角A的平分线与锐角B的邻补角的平分线相交于点D,则∠ADB=_______.

5.如图1-4-2,△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB于点E,且AB=10cm,则△DEB的周长是_______.OD=OE点D，E内部射线OC45°10cm3．用尺规作∠AOB的平分线的步骤：OD=OE点D，E名师导学新知1角平分线的性质定理

定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．

注意：①用语言符号表示：如图1-4-3，如果点P在∠AOB的平分线上，且PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N，那么PM=PN；②点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长；③角平分线的性质能够证明线段相等或为证三角形全等准备条件.名师导学新知1角平分线的性质定理定理角平分线上的点到【例1】如图1-4-4，已知OD平分∠AOB，在OA，OB边上取OA=OB，P是OD上一点，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分别是点M，N．求证：PM=PN．

解析已知PM⊥BD，PN⊥AD，根据角平分线的性质，只要证∠3=∠4即可．【例1】如图1-4-4，已知OD平分∠AOB，在OA，OB边证明∵OD平分∠AOB，∴∠1=∠2.在△OBD和△OAD中，∵OB=OA，∠1=∠2，OD=OD，∴△OBD≌△OAD（SAS）.∴∠3=∠4.∵PM⊥BD，PN⊥AD，∴PM=PN.证明∵OD平分∠AOB，举一反三如图1-4-5，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，求△BCE的面积.举一反三如图1-4-5，在△ABC中，CD是AB边上的高解：如答图1-4-1,过点E作EF⊥BC于点F.∵CD是AB边上的高，∴DE⊥AB.∵BE平分∠ABC，∴DE=EF=2.∵BC=5，∴△BCE的面积=解：如答图1-4-1,过点E作EF⊥BC于点F.新知2角平分线的性质定理的逆定理

定理

在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．

语言符号：如图1-4-6，若点P是∠AOB内一点，PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N，且PM=PN，则点P在∠AOB的平分线上.

性质定理及逆定理的关系：

点在角的平分线上点到这个角两边的距离相等.因此角平分线的性质定理的逆定理也是角平分线的判定定理，可以证明两角相等.新知2角平分线的性质定理的逆定理定理在一个角的内部，【例2】如图1-4-7，PA⊥ON于点A，PB⊥OM于点B，且PA=PB，∠MON=50°，∠OPC=30°，求∠PCA的大小.

解析根据图形可知∠PCA=∠OPC+∠POC，所以关键是找∠AOP与∠POB的关系，由PA=PB可知∠AOP=∠POB.

解∵PA⊥ON，PB⊥OM，PA=PB，∴∠AOP=∠POB.又∵∠MON=50°，∴∠POC=25°.∴∠PCA=∠POC+∠OPC=25°+30°=55°.【例2】如图1-4-7，PA⊥ON于点A，举一反三如图1-4-8,BD⊥AM于点D，CE⊥AN于点E，BD,CE交于点F，CF＝BF，求证：点F在∠A的平分线上.举一反三如图1-4-8,BD⊥AM于点D，CE⊥AN于点证明：如答图1-4-2,连接AF.∵BD⊥AM,CE⊥AN,∴∠FDC=∠FEB=90°.又∵∠CFD=∠BFE,CF=BF,∴△CDF≌△BFE(AAS).∴FD=FE.∵BD⊥AM,CE⊥AN,∴∠CAF＝∠BAF.∴AF平分∠BAC,即点F在∠A的平分线上.证明：如答图1-4-2,连接AF.

已知：∠AOB（如图1-4-9）．

求作：射线OC，使∠AOC=∠BOC.

注意：（1）这个作法是以SSS公理为基础的．

由作法可知：OD=OE，EC=DC.

又∵OC=OC，

∴△OEC≌△ODC.

∴∠BOC=∠AOC.

（2）所作图形是过顶点O的射线OC，其关键是确定点C的位置．新知3作已知角的平分线已知：∠AOB（如图1-4-9）．新知3作已知角的平分线（3）“大于DE”的原因是：如果小于DE，两弧不相交；而等于DE时，两弧虽然有一个交点，但难以准确得到．（4）点C是两弧交于∠AOB内的点，另一交点没有作出，这是因为O，C两点就可以确定出平分∠AOB的射线．（3）“大于DE”的原因是：如果小于DE，两弧【例3】如图1-4-10，在公路的南侧、铁路的东侧有一所学校，这所学校到公路和铁路的距离相等，并且与两路的交叉点O处的距离为400m．请在图中标出学校的位置，并说明理由．（比例尺1∶12500）

解析学校到公路和铁路的距离相等，就是指学校在把公路和铁路看作两条直线相交时所成角的平分线上．【例3】如图1-4-10，在公路的南侧、铁路的东侧有一所学校

解把公路和铁路看作两条直线，画出它们所成角的平分线，在角的平分线上从顶点截出表示实际长400m的线段，即可确定学校的位置，如图1-4-11，图中的点P即为所求．表示实际长400m的线段为40000÷12500=3.2cm．解把公路和铁路看作两条直线，画出它们所成角的平分线，在举一反三如图1-4-12，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A.（1）作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系（不要求证明）.举一反三如图1-4-12，点D在△ABC的AB边上，且∠解：（1）如答图1-4-3所示：（2）DE∥AC解：（1）如答图1-4-3所示：

定理

三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．

注意：交点只可能在三角形的内部，且到三边的垂线段相等.新知4三角形角平分线交点的性质定理定理三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边【例4】如图1-4-13，O是△ABC内一点，且O到三边AB，BC，CA的距离OF=OD=OE，若∠A=70°，求∠BOC的度数．

解析要求∠BOC的度数，只要求得∠1和∠3的度数，由180°-∠1-∠3即可得出∠BOC的度数.根据题中所给条件，可知∠1＝∠2，∠3＝∠4，又∠A＝70°，可得出∠1+∠3，从而求得∠BOC的度数．【例4】如图1-4-13，O是△ABC内一点，且O到三边AB

解∵OF⊥AB，OD⊥BC，且OF=OD，∴BO平分∠ABC.∴∠1＝∠2.同理可得∠3=∠4.解∵OF⊥AB，OD⊥BC，且OF=OD，举一反三如图1-4-14，在△ABC中，BD,CE分别平分∠ABC,∠ACB，且BD,CE交于点O，过O作OP⊥BC于点P，OM⊥AB于点M，ON⊥AC于点N.求证：点O在∠BAC的平分线上.证明：∵BD平分∠ABC,OP⊥BC，OM⊥AB,∴OP＝OM.∵CE平分∠ACB,OP⊥BC，ON⊥AC,∴OP＝ON.∴OM＝ON.∴点O在∠BAC的平分线上.举一反三如图1-4-14，在△ABC中，BD,CE分别平初中数学课件

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1．如图1-4-1，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，则PC与PD的大小关系是 （）

A．PC＞PD B．PC=PD

C．PC＜PD D．不能确定

2．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形 （）

A．三条中线的交点

B．三条高的交点

C．三条边的垂直平分线的交点

D．三条角平分线的交点BD课前预习1．如图1-4-1，OP平分∠AOB，BD

3．用尺规作∠AOB的平分线的步骤：①在OA和OB上分别截取OD，OE，使______________；②分别以__________为圆心，以______________的长为半径作弧，弧在∠AOB的_______交于一点C；③作___________，OC就是∠AOB的平分线．

4．在Rt△ABC中,锐角A的平分线与锐角B的邻补角的平分线相交于点D,则∠ADB=_______.

5.如图1-4-2,△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB于点E,且AB=10cm,则△DEB的周长是_______.OD=OE点D，E内部射线OC45°10cm3．用尺规作∠AOB的平分线的步骤：OD=OE点D，E名师导学新知1角平分线的性质定理

定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．

注意：①用语言符号表示：如图1-4-3，如果点P在∠AOB的平分线上，且PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N，那么PM=PN；②点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长；③角平分线的性质能够证明线段相等或为证三角形全等准备条件.名师导学新知1角平分线的性质定理定理角平分线上的点到【例1】如图1-4-4，已知OD平分∠AOB，在OA，OB边上取OA=OB，P是OD上一点，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分别是点M，N．求证：PM=PN．

解析已知PM⊥BD，PN⊥AD，根据角平分线的性质，只要证∠3=∠4即可．【例1】如图1-4-4，已知OD平分∠AOB，在OA，OB边证明∵OD平分∠AOB，∴∠1=∠2.在△OBD和△OAD中，∵OB=OA，∠1=∠2，OD=OD，∴△OBD≌△OAD（SAS）.∴∠3=∠4.∵PM⊥BD，PN⊥AD，∴PM=PN.证明∵OD平分∠AOB，举一反三如图1-4-5，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，求△BCE的面积.举一反三如图1-4-5，在△ABC中，CD是AB边上的高解：如答图1-4-1,过点E作EF⊥BC于点F.∵CD是AB边上的高，∴DE⊥AB.∵BE平分∠ABC，∴DE=EF=2.∵BC=5，∴△BCE的面积=解：如答图1-4-1,过点E作EF⊥BC于点F.新知2角平分线的性质定理的逆定理

定理

在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．

语言符号：如图1-4-6，若点P是∠AOB内一点，PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N，且PM=PN，则点P在∠AOB的平分线上.

性质定理及逆定理的关系：

点在角的平分线上点到这个角两边的距离相等.因此角平分线的性质定理的逆定理也是角平分线的判定定理，可以证明两角相等.新知2角平分线的性质定理的逆定理定理在一个角的内部，【例2】如图1-4-7，PA⊥ON于点A，PB⊥OM于点B，且PA=PB，∠MON=50°，∠OPC=30°，求∠PCA的大小.

解析根据图形可知∠PCA=∠OPC+∠POC，所以关键是找∠AOP与∠POB的关系，由PA=PB可知∠AOP=∠POB.

解∵PA⊥ON，PB⊥OM，PA=PB，∴∠AOP=∠POB.又∵∠MON=50°，∴∠POC=25°.∴∠PCA=∠POC+∠OPC=25°+30°=55°.【例2】如图1-4-7，PA⊥ON于点A，举一反三如图1-4-8,BD⊥AM于点D，CE⊥AN于点E，BD,CE交于点F，CF＝BF，求证：点F在∠A的平分线上.举一反三如图1-4-8,BD⊥AM于点D，CE⊥AN于点证明：如答图1-4-2,连接AF.∵BD⊥AM,CE⊥AN,∴∠FDC=∠FEB=90°.又∵∠CFD=∠BFE,CF=BF,∴△CDF≌△BFE(AAS).∴FD=FE.∵BD⊥AM,CE⊥AN,∴∠CAF＝∠BAF.∴AF平分∠BAC,即点F在∠A的平分线上.证明：如答图1-4-2,连接AF.

已知：∠AOB（如图1-4-9）．

求作：射线OC，使∠AOC=∠BOC.

注意：（1）这个作法是以SSS公理为基础的．

由作法可知：OD=OE，EC=DC.

又∵OC=OC，

∴△OEC≌△ODC.

∴∠BOC=∠AOC.

（2）所作图形是过顶点O的射线OC，其关键是确定点C的位置．新知3作已知角的平分线已知：∠AOB（如图1-4-9）．新知3作已知角的平分线（3）“大于DE”的原因是：如果小于DE，两弧不相交；而等于DE时，两弧虽然有一个交点，但难以准确得到．（4）点C是两弧交于∠AOB内的点，另一交点没有作出，这是因为O，C两点就可以确定出平分∠AOB的射线．（3）“大于DE”的原因是：如果小于DE，两弧【例3】如图1-4-10，在公路的南侧、铁路的东侧有一所学校，这所学校到公路和铁路的距离相等，并且与两路的交叉点O处的距离为400m．请在图中标出学校的位置，并说明理由．（比例尺1∶12500）

解析学校到公路和铁路的距离相等，就是指学校在把公路和铁路看作两条直线相交时所成角的平分线上．【例3】如图1-4-10，在公路的南侧、铁路的东侧有一所学校

解把公路和铁路看作两条直线，画出它们所成角的平分线，在角的平分线上从顶点截出表示实际长400m的线段，即可确定学校的位置，如图1-4-11，图中的点P即为所求．表示实际长400m的线段为40000÷12500=3.2cm．解把公路和铁路看作两条直线，画出它们所成角的平分线，在举一反三如图1-4-12，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A.（1）作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系（不要求