状态空间模型与传递函数

9.3.3

系统传递函数与状态空间描述将传递函数转换成状态空间描述将状态空间描述转换成传递函数（1）传递函数转换成状态空间描述n1

n1

0

1

n1

nsn

a

sn1

a s

aY

(s)

b

snU

(s)

b

sn1

b s

bs

nb

s

n

b

s

n

110n

1

a1

s

an

1

s

an

bn

1

s

bnU

(s)Y

(s)nb

s

n110bs

b

sbn1

n1sn

asn1

a

sa1

n1

nU(s)Y(s)E(s)Y

(s)

(b

sn

b

sn1

b s

b

)E(s)10U

(s)

(snn1

n

a

sn11

a s

a

)E(s)n1

nu

xn

a1

xn

a2

xn1

an1

x2

an

x1

b2

xn1

bn1

x2y

b0

xn

b1

xn

bn

x1选取状态变量xnx

e(t)2

x1

e(t)

e(n1)

(t)b

sn

b

sn1

bn1sbn0

11sn

a

sn1

a

sa1

n1

nU(s)Y(s)E(s)n1n2a

x

1

n

n1

n

x1

0

x1

0

x

0

x

0

2

2

u10

x

00

a

a

a

a2

xn101n

x

x

x

2

x1

n1

1n0

x1

x

1n1b

b

)

a

a

)

2

b

u

(b

n

n

若有b0

0

，则输出方程的前两项为零。0y

b

(au

xn

a1

xn

an1

x2

an

x1

b2

xn1

bn1

x2

bn

x1y

b0

xn

b1

xn此法也可用来求取微分方程中含有输入信号的导数时系统的状态空间描述，注意与前面介绍的方法不同的是B和C不同。例9‐7

设控制系统的传递函数为试求该统的状态空间描述。解a1

9,

a2

8,

a3

0,

b0

0,

b1

1,

b2

4,

b3

1状态方程为

9x3

x3

11

x

0u2

0

x1

010

802

x

0

x1

0输出方程为y

1

4

1

31

x

x2

x

s3

9

s

2

8s

4s

1s2U

(s)Y

(

s

)

传递函数的串联实现传递函数为两多项式相除形式，分子多项式（Numerator）为分母多项式（Denominator）如果为G(s)的m个零点，为G（s）的n个极点，那么G(s)可以表示为：所以系统的实现可以由共n个环节串联而成，如图（a）所示。对第一个环节，由于：令各个积分器的输出为系其结构图可以是如图（b）中虚框表示。统状态变量，则得系统状态方程为：(a)(b)

(m=n-1)传递函数的并联实现系统传递函数为系统的特征方程。当Den(s)=0有n个不等的特征根（G(s)可以分解为n个分式之和，即：），称作系统对应极点pi的留数。其中其中，上式可以用的并联方式实现。(a)(b)并联实现(无重根)从图（b）可得系统的状态方程：输出方程为：写成矢量形式为：请注意，这里的系统矩阵A为一标准的对角型。当上述G(s)的分母Den(s)=0有重根时，不失一般性，假设：即为q重根，其它为单根。这时G(S)可以分解为：其中：i

=1,2,…,qj=q+1,q+2,…,n并联实现（有重根）取图中每个积分器输出为状态变量，则有：注意这里的A为一约当。例求下列传递函数的并联实现解：分母各项多项式分解可得系统并联实现的动态方程为：系统动态方程和系统传递函数（阵）都是控制系统两种经常使用的数学模型。动态方程不但体现了系统输入输出的关系，而且还清楚地表达了系统状态变量的关系。传递函数只体现了系统输入与输出的关系。从传递函数到动态方程是个系统实现的问题，这是一个比较复杂的并且是非唯一的过程。但从动态方程到传递函数（阵）却是一个唯一的、比较简单的过程。(2)

将状态空间描述转换成传递函数单输入/单输出系统的状态空间描述转换成传递函数设一单输入/单输出系统的状态空间描述为

x

A

x

Bu

y

C

x

DuA

R

n

nx

,

x

R

n

1B

Rn1

C

R1nD为标量设初始条件为零，对上式进行拉氏变换可得sX

(s)

AX

(s)

BU

(s)Y

(s)

CX

(s)

Du(s)X

(s)

(sI

A)

1

BU

(s)系统的传递函数为G(s)

Y

(s)

C(sI

A)1

B

DU

(s)11

3x

2

x

例9-8

设系统的状态空间描述为x1

0 1

x1

0u

2

y

10

x1

x

2

求系统的传递函数。解状态空间描述的[A

,B,C]分别为C

[1

0]11

,

B

01

3A

0ss

3sI

A

s

s

3

1s(s

3)

1111

31

s

1

0

s0

0

(sI

A)1

1

3s

11s(s

3)

11

1U

(s)G(s)

Y

(s)

C(sI

A)1

Bs21

s(s

3)

1s

s(s

3)

1s(s

3)

1

00s(s

3)

1s

31系统的传递函数为多输入/多输出系统的状态空间描述转换成传递函数矩阵u1,

u2,,

ury1,

y2

,,

ymx1,

x2

,,

xn

系统的输入信号系统的输出信号系统的状态变量C

Rmn

,A

Rnn

,

B

Rnr

,D

Rmrx,

x

Rn1

,U

Rr

1

,Y

Rm

1

,与单输入/单输出系统的状态方程形式相同，仅是矩阵B,

C,D的维数不同。G(s)

Y

(s)

C(sI

A)1

B

DU

(s)G

Rmr

－－－传递函数矩阵将状态方程进行拉氏变换，得

x

Ax

Bu

y

Cx

Du动态方程例9‐9

已知系统的动态方程为

2

2

2

1x

2

0x1

y

0

y1

10 1u

0u1

2x

x1

1x

0

2

x1

0

1试求系统的传递矩阵。

21

0解：

A

00

10B

10

10C

1D

0s(s

2)

1

s

2

01

s

1

10

s

2s(sI

A)1

1

1

s

2

s(s

2)

011

0

s0

1

s

2

010

s1s(s

2)

111G

(s)

C

(sI

A)

B

011系统矩阵A的特征方程和特征值由系统矩阵A构成的方程|

I

A

|

0称系统的特征方程,特征方程的根也称为特征值.展开

|

I

A

|

0n

a

n1

a

n21

2有na

0即可得到n个特征值.0

01A

0

0

16

11

6如

3

62

11

6

(

1)(

2)(

3)

03个特征值为－1、－2和－31

0

111

6

I

A

|

06则9.3.4

由状态变量图求状态空间描述状态变量图

描述系统状态变量之间关系的图，由积分环节、比例环节和相加符号组成。状态变量图的特点：每一个积分环节的输出都代表系统的一个状态变量s2Y

(s)

3s

2例9-10