求两条异面直线之间距离的两个公式

......求两条异面直线之间距离的两个公式王文彬（抚州一中江西344000）本文介绍求异面直线距离的两个简捷公式，以及如何定量地确定异面直线公垂线的方法.公式一如图i,li、12是异面直线,12平面A,li在内的射影为1,设121B,且1i,12与1所成的角分别为i,2则li与12之间的距离为d->==2 m==2 csc2icsc22i(1)证明：设li与12的公垂线为MN,如图1所示，过M作MHl于H,由于li在平面内的射影为平面，NM在内的射影为NH.由MN12知NH12.在RtBNH中BNBHcos2在RtBNH中BNBHcos2(ABAH)cos2(mAMcos1)cos2同理AM(mBNcos2)cosi联立①②解得,.,.,.,.AMmcos1sin21cos1cos2(1.1)BNmcos2sin21cos1cos2(1.2)从而MHAMsinmcos21cossin222-sin1cos2NHBNtanmcos2sin21cos1cos-tan22MN2 2MHNHcos2

m2 21cos2 .4 .2cos1sin2sin 1…2 4cos2sin1tan222m2 2 2 21cos1cos2.■2sin41sin22cos4 2sin1sin22

m2 2 2 21cos1cos2-2sin.21sin22cos.21sin.22sin12

m.2 .2 .2 .2sin 1sin 2sin 1sin 2-2sin.21sin.2 .22sin1sin.2 .2sin1sin2.2 .2msin1sin2.2 ~2 ~2 -2sin1sin2sin1sin22csc12m2csc21即有公式（1）成立.运用公式（1）求11与12之间的距离时,无需知道它们公垂线的位置，但如果要确定公垂线的位置，则可根据公式（1.1）和公式（1.2）分别计算出AM和BN的值，进而确定公垂线MN具体位置.,.,.....公式二如图2,1i、12是异面直线，A1i,AH12于H,li与AH,li与12所成的角分别为则li与12之间的距离为证明:平面为示.cos2叫1证明:平面为示.cos2叫1sin2过A作1//12,设由1与12确定的MN为1i与12公垂线，如图2所过M作MK1于K,连KN,易知NKAHNK为矩形.在RtMNH中,MN2MH2NH2AH2AM22AHAMcosAK2NKAHNK为矩形.在RtMNH中,MN2MH2NH2AH2AM22AHAMcosAK2AK2MK22mAMcosAK2MK22mAMcosMK22mMKcossin由于MN11,MN1,故MN平面AMK,从而NMK900.MK2NK2MNm2MN2,代入上式并解出MN就是公式（2）.另外,MKAM另外,MKAM-sin.m2MN2 ，将(2)代入得sinAMmcAMmc2s- (2.1)sin又HNAKAMcos,将上式代入得mcoscos/ 、HN2 (2.2)sin公式（1）（2）可以帮助我们定量地确定公垂线MN的位置..公式的应用SD2,【例11四棱锥SABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，SD底面SD2,E,F分别是SABC的中点，求异面直线EF与【解】取AD的中点G,连EG、GF,设GFBDO,因SD底面AC,易知EG面AC,EF在底面内的射影为GF，EFG450,2BOF045，1 ,,、，，OF2，代入公式（1）可得EF与BD的距离—6设EF与BD的公垂线为MN,其中MEF,NBD1,2与m的值代入公式（1.1）和（1.2）可分别求得FM-2"6"，ON1 1 1OB,由此不难作出公垂线3MN.- 2 1EF、、2,OB-，故有FM-EF,ON

2 6【例2】如图4,ABCAB1cl是直三棱柱，其中ACB1200,AC73,CB273,BBBB12，,求异面直线AB1与CC1的距离，并确定公垂线的位置.贝U CB1,CC12C1B2 \(2，)2(2-3)2A1CB1AB2AC2BC22ABBCcos120021,AB12AA12A1B,2(2历22149,AC与AB1所成的角是CABi,设为,则AB12AC2CB12 2,3cos 2AB1AC7又ABi与CCi所成的角为AABi,设为AB-21AB根据公式（2）根据公式（2）ABi与CCi的距离为d重任/i竿2焉2斗设ABi与CCi的公垂线为MN,MABi,NCCi,易知M,N分别在射线ABi,