浅谈微积分学的发展史

浅谈微积分学的发展史引言提起微积分,人们自然会想到英国的牛顿(Newton,1642-1727)和德国的莱布尼茨(Leibniz,1646-1716),这主要是因为他们提出了微积分的基本概念和运算方法 ,发现了微积分的内在联系 ,建立了著名的牛顿——莱布尼茨公式． 但是微积分的发展远不止这些 ,它的发展过程是数学家集体智慧的结晶．微积分的发展大致可分为以下五个阶段：早期萌芽、酝酿时期、创建期、发展期以及严密完善期．早期萌芽微积分的萌芽出现得比较早.中国战国时代庄周所著的《庄子・天下篇》中的“一尺之植 ，日取其半 ,万世不竭”及三国时期刘徽在他的“割圆术”中提到的“割之弥细 ,所失弥少；割之又割 ,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣” ,就都蕴涵了无穷小的思想．古希腊数学家、力学家阿基米德在公元前三世纪依据前人的穷竭法 ,用“切片” 方法并借助杠杆原理建立了球体的体积公式 ,这其中就包含了定积分的思想．但在当时 ,微积分并没有受到人们的关注．酝酿时期从16世纪中叶开始 ,微积分正式进入了酝酿阶段．数学的发展与科学的进步紧密结合在一起 ,产生了以下有待解决的问题：1)已知物体移动的距离表示为时间的函数 ,求物体在任意时刻的速度和加速度；反之 ,已知物体的加速度表示为时间的函数,求速度和距离．2)求曲线的切线问题．一般人们把切线定义为与曲线只相交于一点且位于曲线的一边的这样一条直线足够了．显然 ,对于一些较复杂的曲线就不适用了．3)确定抛射体获得最大射程时的发射角及寻求行星离开太阳的最远和最近距离等涉及的函数最大值、最小值问题．4)求曲线的长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心以及一个体积相当大的物体(例如行星)作用于另一物体上的引力等．为解决科学发展所带来的这一系列问题,17世纪上半叶被人们遗忘千年的微积分重又成为重点研究对象,几乎所有的科学大师都竭力寻求这些问题的解决方法 ,其中具有代表性成果的有：笛卡尔“圆法”[1](P111)法国数学家笛卡尔(1596-1650)在《几何学》中提到了用代数方法求切线的所谓“圆法” ,其方法是：首先确定曲线 yf(x)在点P(x,f(x))处的法线与x轴的交点C的位置，然后作该法线的过

点P的垂线，便可得到所求的切线.如图 1—1所示，过C点作半径为rCP的圆，因为CP是曲线yf(x)在P点处的法线，那么点P应是该曲线与圆y2(xv)2r2的“重交点”.如果[f(x)]2是多项式，有“重交点”就相当于方程[f(x)]2(xv)2 r2有重根.但具有重根xe的多项式的形多项式，有“重交点”就相当于方程式必为c式必为cixi，笛卡尔给出上述方程有重根的条件是fx2xv2r2xe2 6xi,用比较系数法求得v与e的关系，代入ex,得过点P的曲线的斜率为f(x)图1—1这一方法在微积分的早期具有重要的影响 ，牛顿就是受笛卡尔方法的启发而研究微积分的.巴罗微分三角[1](P111)英国数学家巴罗(1630-1677)在《几何讲义》中应用“微分三角形”给出了求曲线切线的几何法.具体方法是：如图1—2，设有曲线f(x,y)0,欲求其上一点P处的切线他考虑一段“任意小的TPM应趋近于相似，故应有PMTM弧”PQ,它是由增量QRe引起的，TPM应趋近于相似，故应有PMTMPR,即工a,因Q,P在曲线上，故应有QRtea f(xe,ya)f(x,y)0,消去一切包含有e,a的哥或二者乘积的项，解出一，即得到切线的斜率e从而作出切线.巴罗的方法和现在微积分的差异仅仅在于符号的不同 ，因此对微积分的产生具有非常重要的贡献.

图1—2图1—2开普勒与旋转体体积德国天文学家、数学家开普勒( 1571-1630)发展了阿基米德求面积和体积的方法.在他1615年出版的《新空间几何》中，采用“用无数个同维的无限小元素之和来确定曲边形的面积及旋转体的体积”，给出了92个阿基米德未讨论过的体积问题，并研究了酒桶的最佳比例.卡瓦列利不可分量原理意大利数学家卡瓦列利(1598-1647)出版的《用新方法促进的连续不可分量的几何学》 ，影响巨大.他在其中提出了著名的“卡瓦列利原理” ：“两个等高的立体，如果它们的平行于底面且离开底面有相等距离的截面面积之比为定值 ，那么这两个立体的体积之间也有同样的比” (当比为1：1时，就是祖的I原理，只不过相差1000多年)，他将面积的不可分量比作织成一块布的线 ，体积的不可分量比作一册书的各页，不可分量的个数为无穷多，且没有厚薄和宽窄.这已到达积分学的边缘并且他已发现公式an n10xdx5,n为正整数.费马极大极小值法国的大数学家费马(1601-1665)成就广泛，数论中费马定理尤著称于世. 他在求极大极小值上的成功，为微积分的发展开辟了道路.费马论证如下：设Ax(ax).今取xEMA(xE)(xaE),作AAE(a2x)E2(1),因极大值面积只有一个，故可认为AA0,在(1)中约去E,即得0(a2x)_ a_2xa_ a_2xa,即x-.E相当于今天的2经过众多科学大师的探讨与研究AA ax,费马正是从JA 0中解出了x-.[2](P282-283)E，至此，微积分的诞生已经到了“万事俱备2，只欠东风”的时刻.4微积分学的创建十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨分别独立创建了微积分.牛顿及其流数术英国数学家牛顿对微积分问题的研究始于 1664年.当时他反复阅读笛卡尔的《几何学》 ，对笛卡尔求切线所用的“圆法”产生了极大的兴趣 ，还试图寻找更好的求切线方法. 1665年5月20日，在牛顿手写的一页文件中开始有“流数术”的记载.他称连续变量为“流动量” ，流动量的导数为“流动率”.X表示流动量X的流动率.关于牛顿流动率的求法举例如下，例：设给定函数yx20,时间的刹那用0表示(即dt),x,y的刹那用X0和yo表示(即dxdxdt,dy业dt).以xX0及dt dtyyo替代x,y,代入方程得：yyo(x22xX0必02)0,因yx20,故有yo2xx0x2020.全式除以0,得&2x&x200,略去竭0,即得&2x双用现在的记号就是dy—2x.牛顿在《流数术》一书中陈述了所研究的基本问题是 “已知量的关系，要算出它们的流数；dx以及反过来.”正是这一点，使牛顿超过所有的微积分先驱者.牛顿完整地提出微分和积分是一对逆b运算，并且得出了微积分学基本定理 f(x)dxF(b)F(a).牛顿在1665年11月发明了“正流数a术”(微分法)，1666年5月建立了“反流数术”(积分法).同年10月，牛顿将前两年的工作总结为《流数简论》，明确了现代微积分的基本方法，是历史上第一篇系统的微积分文献. 牛顿关于微积分的著作大多写于1665-1676年间，但这些著作发表很迟.莱布尼茨和微积分德国数学家莱布尼茨是一位博学多才的学者 ，他平生所学的知识涉及数学、哲学、历史学、生物学、物理学、神学、法学等领域.1672年,莱布尼茨出使巴黎时深受法国数学家帕斯卡事迹的鼓舞决心钻研高等数学.莱布尼茨是从巴罗的“微分三角形”切入微积分研究工作的，他在研究时认识到：“求曲线的切线依赖于纵坐标的差值与横坐标的差值在变成无限小时之比；求曲线的面积则依赖于无限小区间上的纵坐标之和”.1673年，莱布尼茨开始了对无穷小算法的研究 ，在1675年10月29日他的一份手稿中，他决定用sum拉长的S,表示积分.1676年11月，莱布尼茨已经能够给出募函数的微分与积分公式.1677年，莱布尼茨在一篇手稿中明确陈述了微积分基本定理. 1684年，莱布尼茨在《学艺》杂志上发表了名为《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》的论文，这是历史上最早公开发表的关于微分学的文章. 1686年，他在该杂志上又发表的《潜在的几何与分析不可分和无限》是历史上第一篇关于积分学的文章.优先权之争牛顿与莱布尼茨关于“发明微积分”优先权的争论被称为“数学史上最不幸的一章” ，并导致了英国与欧洲国家在数学发展上的分道扬镶. 实际上，牛顿在微积分方面的研究虽早于莱布尼茨 ，但莱布尼茨成果的发表则早于牛顿．他们是相互独立的创建微积分的．微积分的发展自从牛顿和莱布尼茨创立微积分以后 ,数学进入了生机勃勃的大革命时代．许多数学家利用微积分创立了辉煌的成就.其中以欧拉(L.Euler,1707-1783)最为著名，他用微积分工具解决了大量的天文、物理、力学等问题,开创了微分方程、无穷级数、变分学等诸多新学科．随后,拉格朗日(Lagrange,1736-1813),拉普拉斯( Laplace,1749-1827),勒让德(Legendre,1752-1833),傅里叶(Eourier,1768-1836)等许多数学家也对微积分的发展作出了重大的贡献．然而 ,初创时期的微积分存在一些漏洞 ,如逻辑基础不牢固、 无穷小概念不够明确等 ,更曾就此爆发过一场大的争论．但由于这种基础不牢固的微积分用于天文、力学等科学上总能获得可喜的巨大成果 ,因此,数学家们无暇顾及其理论上的漏洞 ,微积分得以快速地发展并达到空前的辉煌．微积分的严密完善期数学学科要求它自身必须具有严密的逻辑性．十七世纪创立及十八世纪发展的空前灿烂的微积分仍没有建立起自己的严密的理论基础．十九世纪初 ,数学家开始转向微积分逻辑基础的建设．波尔查诺(Bolzano,1781-1848)是最早对无穷小概念进行审慎研究的先驱 ,他在论文“纯粹的分析证明”中首先给出了连续函数的定义并清楚表明：连续性概念的基础存在于极限概念之中．之后 ,法国著名数学家卞51西(Cauchy,1789-1857)在重新定义了极限和无穷小后 ，进一步澄清了存在于连续、导数、微分、积分、无穷级数的和等概念上的模糊之处并创立了一系列判别法则 ,确立了较为严谨的极限理论．柯西认识到“无理数是有理数迫近的极限”,但极限又要用到实数 ,这是一个循环论证．柯西以后,分析学逻辑基础发展史上的重大事件就是实数理论的建立了．作出重要贡献的主要有：魏尔斯特拉斯(Weierstrass,1815-1897)、戴德金(Dedekind,1831-1916)和康托尔(Cantor,1845-1918)等人.德国数学家魏尔斯特拉斯认为实数系是解决极限与连续等概念的关键．要使分析严格化 ,必须使实数系严格化,最可靠的办法是按照严密的推理将实数归结为整数(有理数) ,这样 ,分析的所有概念便可由整数导出,从而使以往的漏洞和缺陷得以填补．这就是“分析算术化”纲领．魏尔斯特拉斯和他的学生们为实现这一纲领付出了艰苦的努力并获得了很大的成功．现代的语言就是由他创造的,这为他博得了“现代分析之父”的称号．随着戴德金的