2023学年浙江省杭州地区重点中学高三第一次模拟考试数学试卷（含解析）

2023学年高考数学模拟测试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．某几何体的三视图如图所示，图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为3，则该几何体表面积为（）A． B． C． D．2．已知，则下列关系正确的是（）A． B． C． D．3．（）A． B． C． D．4．若某几何体的三视图（单位:cm）如图所示，则此几何体的体积是（）A．36cm3 B．48cm3 C．60cm3 D．72cm35．如图，内接于圆，是圆的直径，，则三棱锥体积的最大值为（）A． B． C． D．6．函数的图象与函数的图象的交点横坐标的和为（）A． B． C． D．7．已知实数x，y满足约束条件，若的最大值为2，则实数k的值为（）A．1 B． C．2 D．8．函数图像可能是（）A． B． C． D．9．设，满足，则的取值范围是（）A． B． C． D．10．设为非零向量，则“”是“与共线”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件11．已知函数满足，设，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件12．已知命题，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在平面直角坐标系xOy中，A，B为x轴正半轴上的两个动点，P（异于原点O）为y轴上的一个定点．若以AB为直径的圆与圆x2＋(y－2)2＝1相外切，且∠APB的大小恒为定值，则线段OP的长为_____．14．角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值是．15．如图，在矩形中，，是的中点，将，分别沿折起，使得平面平面，平面平面，则所得几何体的外接球的体积为__________.16．设，若函数有大于零的极值点，则实数的取值范围是_____三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在平面直角坐标系中，椭圆：的右焦点为（，为常数），离心率等于0.8，过焦点、倾斜角为的直线交椭圆于、两点．⑴求椭圆的标准方程；⑵若时，，求实数；⑶试问的值是否与的大小无关，并证明你的结论．18．（12分）已知数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，证明：.19．（12分）已知.（1）求不等式的解集；（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围20．（12分）已知直线：与抛物线切于点，直线：过定点Q，且抛物线上的点到点Q的距离与其到准线距离之和的最小值为.（1）求抛物线的方程及点的坐标；（2）设直线与抛物线交于(异于点P)两个不同的点A、B，直线PA，PB的斜率分别为，那么是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.21．（12分）设，，其中．（1）当时，求的值；（2）对，证明：恒为定值．22．（10分）已知椭圆的右焦点为，直线被称作为椭圆的一条准线，点在椭圆上(异于椭圆左、右顶点)，过点作直线与椭圆相切，且与直线相交于点.（1）求证：.（2）若点在轴的上方，当的面积最小时，求直线的斜率.附：多项式因式分解公式：

2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【答案解析】

几何体是由一个圆锥和半球组成，其中半球的半径为1，圆锥的母线长为3，底面半径为1，计算得到答案.【题目详解】几何体是由一个圆锥和半球组成，其中半球的半径为1，圆锥的母线长为3，底面半径为1，故几何体的表面积为.故选：.【答案点睛】本题考查了根据三视图求表面积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.2、A【答案解析】

首先判断和1的大小关系，再由换底公式和对数函数的单调性判断的大小即可.【题目详解】因为，，，所以，综上可得.故选：A【答案点睛】本题考查了换底公式和对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3、B【答案解析】

利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【题目详解】．故选B．【答案点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．4、B【答案解析】试题分析：该几何体上面是长方体，下面是四棱柱；长方体的体积，四棱柱的底面是梯形，体积为，因此总的体积.考点：三视图和几何体的体积.5、B【答案解析】

根据已知证明平面，只要设，则，从而可得体积，利用基本不等式可得最大值．【题目详解】因为，所以四边形为平行四边形.又因为平面，平面，所以平面，所以平面.在直角三角形中，，设，则，所以，所以.又因为，当且仅当，即时等号成立，所以.故选：B．【答案点睛】本题考查求棱锥体积的最大值．解题方法是：首先证明线面垂直同，得棱锥的高，然后设出底面三角形一边长为，用建立体积与边长的函数关系，由基本不等式得最值，或由函数的性质得最值．6、B【答案解析】

根据两个函数相等，求出所有交点的横坐标，然后求和即可.【题目详解】令，有，所以或.又，所以或或或，所以函数的图象与函数的图象交点的横坐标的和，故选B.【答案点睛】本题主要考查三角函数的图象及给值求角，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.7、B【答案解析】

画出约束条件的可行域,利用目标函数的几何意义,求出最优解,转化求解即可.【题目详解】可行域如图中阴影部分所示，，，要使得z能取到最大值，则，当时，x在点B处取得最大值，即，得；当时，z在点C处取得最大值，即，得（舍去）.故选:B.【答案点睛】本题考查由目标函数最值求解参数值,数形结合思想,分类讨论是解题的关键,属于中档题.8、D【答案解析】

先判断函数的奇偶性可排除选项A,C，当时，可分析函数值为正，即可判断选项.【题目详解】,,即函数为偶函数，故排除选项A,C，当正数越来越小，趋近于0时，，所以函数，故排除选项B,故选：D【答案点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，识别函数的图象，属于中档题.9、C【答案解析】

首先绘制出可行域，再绘制出目标函数，根据可行域范围求出目标函数中的取值范围.【题目详解】由题知，满足，可行域如下图所示，可知目标函数在点处取得最小值，故目标函数的最小值为，故的取值范围是.故选：D.【答案点睛】本题主要考查了线性规划中目标函数的取值范围的问题，属于基础题.10、A【答案解析】

根据向量共线的性质依次判断充分性和必要性得到答案.【题目详解】若，则与共线，且方向相同，充分性；当与共线，方向相反时，，故不必要.故选：.【答案点睛】本题考查了向量共线，充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.11、B【答案解析】

结合函数的对应性，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【题目详解】解：若，则，即成立，若，则由，得，则“”是“”的必要不充分条件，故选：B．【答案点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数的对应性是解决本题的关键，属于基础题．12、D【答案解析】

求出命题不等式的解为，是的必要不充分条件，得是的子集，建立不等式求解.【题目详解】解：命题，即:，是的必要不充分条件，，，解得．实数的取值范围为．故选：．【答案点睛】本题考查根据充分、必要条件求参数范围，其思路方法：(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【答案解析】分析：设O2（a，0），圆O2的半径为r（变量），OP=t（常数），利用差角的正切公式，结合以AB为直径的圆与圆x2+（y-2）2=1相外切．且∠APB的大小恒为定值，即可求出线段OP的长．详解：设O2（a，0），圆O2的半径为r（变量），OP=t（常数），则∵∠APB的大小恒为定值，

∴t＝，∴|OP|=．故答案为点睛：本题考查圆与圆的位置关系，考查差角的正切公式，考查学生的计算能力，属于中档题．14、【答案解析】试题分析：由三角函数定义知，又由诱导公式知，所以答案应填：．考点：1、三角函数定义；2、诱导公式．15、【答案解析】

根据题意，画出空间几何体，设的中点分别为，并连接，利用面面垂直的性质及所给线段关系，可知几何体的外接球的球心为，即可求得其外接球的体积.【题目详解】由题可得，，均为等腰直角三角形，如图所示，设的中点分别为，连接，则，.因为平面平面，平面平面，所以平面，平面，易得，则几何体的外接球的球心为，半径，所以几何体的外接球的体积为.故答案为：.【答案点睛】本题考查了空间几何体的综合应用，折叠后空间几何体的线面位置关系应用，空间几何体外接球的性质及体积求法，属于中档题.16、【答案解析】

先求导数，求解导数为零的根，结合根的分布求解.【题目详解】因为，所以，令得，因为函数有大于0的极值点，所以，即.【答案点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值点问题，极值点为导数的变号零点，侧重考查转化化归思想.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）（3）为定值【答案解析】试题分析：（1）利用待定系数法可得，椭圆方程为；（2）我们要知道=的条件应用，在于直线交椭圆两交点M，N的横坐标为，这样代入椭圆方程，容易得到，从而解得；（3）需讨论斜率是否存在．一方面斜率不存在即=时，由（2）得；另一方面，当斜率存在即时，可设直线的斜率为，得直线MN：，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理和焦半径公式，就能得到，所以为定值，与直线的倾斜角的大小无关试题解析：（1），得：，椭圆方程为（2）当时，，得：，于是当=时，，于是，得到（3）①当=时，由（2）知②当时，设直线的斜率为，，则直线MN：联立椭圆方程有，，，=+==得综上，为定值，与直线的倾斜角的大小无关考点：（1）待定系数求椭圆方程；（2）椭圆简单的几何性质；（3）直线与圆锥曲线18、（1）；（2）见解析.【答案解析】

（1）令，，利用可求得数列的通项公式，由此可得出数列的通项公式；（2）求得，利用裂项相消法求得，进而可得出结论.【题目详解】（1）令，，当时，；当时，，则，故；（2），.【答案点睛】本题考查利用求通项，同时也考查了裂项相消法求和，考查计算能力与推理能力，属于基础题.19、（1）.（2）.【答案解析】试题分析：（Ⅰ）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出取并集即可；（Ⅱ）求出f（x）的最大值，得到关于a的不等式，解出即可．试题解析：（1）不等式等价于或或，解得或，所以不等式的解集是；（2），，，解得实数的取值范围是．点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．20、（1），（1，2）；（2）存在，【答案解析】

（1）由直线恒过点点及抛物线C上的点到点Q的距离与到准线的距离之和的最小值为，求出抛物线的方程，再由直线与抛物线相切，即可求得切点的坐标；（2）直线与抛物线方程联立，利用根与系数的关系，求得直线PA，PB的斜率，求出斜率之和为定值，即存在实数使得斜率之和为定值.【题目详解】（1）由题意，直线变为2x+1-m(2y+1)=0，所以定点Q的坐标为抛物线的焦点坐标，由抛物线C上的点到点Q的距离与到其焦点F的距离之和的最小值为，可得，解得或（舍去），故抛物线C的方程为又由消去y得，因为直线与抛物线C相切，所以，解得，此时，所以点P坐标为（1，2）（2）设存在满足条件的实数，点，联立，消去x得，则，依题意，可得，解得m<-1或，由（1）知P（1，2），可得，同理可得，所以=，故存在实数=满足条件.【答案点睛】本题主要考查抛物线方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.21、（1）1（2）1【答案解析】分析：（1）当时可得，可得.（2）先得到关系式，累乘可得，从而可得，即为定值．详解：（1）当时，，又，所以.（2）即，由累乘可得，又，所以．即恒为定值1．点睛：本题考查组合数的有关运算，解题时要注意所给出的的定义，并结合组合数公式求解．由于运算量较大，解题时要注意运算的准确性，避免出现错误．22、（1）证明见解析（2）【答案解析】

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