概率论与数理统计试卷答案内

得分评阅人暨南大学考试试卷答案教师填写2011-2012学年度第二学期课程名称：《概率论与数理统计》(内招)授课教师姓名：黄颖强、范旭乾、张培爱、邱青、刘春光、王文杰、夏良辉考试时间：2012年7月6 日课程类别必修［V］选修［］考试方式开卷［］闭卷［V］试卷［A］ 共7页考生填写 学院(校) 专业 班(级)姓名 学号 内招［V］外招口题号一二三四五六七八九十总 分得分选择题(共10小题，每小题2分，共20分,请将答案写在答题框内)题号12345678910答案CBBDBABADC.设A、B、C为三个事件，则事件“A、B、C中恰有两个发生”可表示为(C).A.ABACBC;B.ABC;C.ABCABCABC;D.ABC在Bernoulli 试验中，每次试验成功的概率为p(0p1),重复独立进行3次试验，至少失败一次的概率为(B).

3 _ 3A.(1p)； B. 1p；C.3(1p); D. (1p)3 p(1p)2p2(1p)./93.设是相互独立且具有相同分布的随机变量序列1，方差存在，(n1,2,),则limP|

ni).A.0；B.1；C.D.4.设随机变量的概率密度为(x)3e3xA.9;B.3;的概率密度函数0,C.f(x)0,则方差D(X)=((1x2)3X的概率密度函数为(B).A.-1(1y2)3(9-y9(9D——6.设X~，且P(1X3)0.7,A.0.15B.0.30C.0.45D.0.67.设X~N(3,22)贝UP{1X5}B)(设0(X)x2e2dx).A.o(5)0(1)B.2o(1)0(2)1D.5 1。（/ 。叩8.设总体X2 ，」 ..~N（,），其中未知,Xi,X2,X3,X4为来自总体X的一个样本，则以下关于的四个无偏估计:9.3 6x12百22X363o1/?1=(x1417x4，?46B. ?2；X2X3、? 1x4),?2 5X115x21 25x35x417X127x2C.设(Xi,X2,,Xn)为总体N(2,32)为样本标准差，则下列结论中正确的是X2A.37^~t(n);B.3 1-X37X4中,的一个样本(D).2(XiX)1哪一个最有效？（A）D.?4X为样本均值,F(n,1)；一X2C. z=~N(0,1)；S/、nD.(Xi2)2~2(n).10.在假设检验中，记H0为原假设，则犯第一类错误指的是(C).A.H0正确，接受C.H。正确，拒绝HA.H0正确，接受C.H。正确，拒绝得分评阅人Ho; D. Ho不正确，接受Ho二、填空题(共9小题，每空3分，共30分，请将答案写在答题框内)题号123456789答案6/755192/9,1/93/40.5N(8,40)F(n,m)=1/xTOC\o"1-5"\h\z3…… 9 . 6.假设A,A2是两个相互独立的事件，若P(A1)一，P(AA>)一，则P(A2)-.10 10 755—取得最大值..若X~B(122,0.45)，则它的概率函数P(Xk)55—取得最大值.1.若D(X)25,D(Y)4,x,y1,则D(XY) 19 ..设X,Y的联合分布律为TOC\o"1-5"\h\z且X,Y相互独立，则 =2, 1.9 9.设E(X),D(X) 2,由切比雪夫不等式知p2x2 3/4.6.设6.设nA是n次独立试验中事件A发生的次数,p是事件A在每次试验中发生的概率，则limP{—nAnp_0}=0.5 .n.np(1P).若随机变量，相互独立，且~N(1,1), ~N(2,4)，则2 3~N(8,40).1.右随机变重F~F(m,n),则—~F(n,m).

9.设总体的分布密度为（X；）ex,x0(0,x0,0）,现从中抽取n个样本，测得观测值分别为Xi,X2,Xn9.设总体的分布密度为（X；）ex,x0(0,x0,0）,现从中抽取n个样本，测得观测值分别为Xi,X2,Xn（Xi 0,i1,2,,n）,则参数 的最大似然估得分评阅人三、计算题（共5小题，每小题9分，共45分）.甲罐中有一个白球，二个黑球，乙罐中有一个白球，四个黑球，现掷一枚均匀的硬币，如果得正面就从甲罐中任取一球，如果得反面就从乙罐中任取一球，若已知取的球是白球，试求此球是甲罐中取出的概率。解：令B｛摸出的球是白球｝,A｛球取自甲罐｝,A｛球取自乙罐｝，则A,A互不相谷，且AU4=, （2 分）1 1 1 八由题意知 P(A尸P(A2)=—, P(B|A) -, P(B|A) - , (4 分)2 3 5利用Bayes公式知P(A|B)P(Ai)P(B|Ai)P(A)P(B|Ai)p(A2)p(b|A2)(7分)(9分）.设二维随机变量（X,Y）的概率密度为f(x,y)1,0x1,0y1,0,其他(1)求EX,EY;(2)求协卜方差Cov(X,Y);(3)令U2XY,V2XY,求协方差Cov(U,V).11解：(1)EX xf(x,y)dxdy00xdxdy-, (1分)EYEXYCov(X,Y)EX2EY2Cov(U,V)11 1yf(x,y)dxdy00ydxdy-,xyf(x,y)dxdyEXYEXEY02xf(x,y)dxdy2yf(x,y)dxdyEUVEUEV=4EX2EY2(2EX11311=4一3.设随机变量X的密度函数为:f(x)（1）试确定常数C(2)解（1）fxdxCeIxdx2C得：C121-e20时,0时,X24.进行9次独立测试,1e|xdx(2分)10xydxdy(3分)(5分)Ce2..xdxdyy2dxdy1313(6分)(7分)EY)(2EXEY)exdx(3)2C1(3(9分)X2的密度函数.分）12F1e0X2xdx(50,e」2e0;x.edxy2xdx(9分)测得零件加工时间的样本均值 x5.5（秒），样本标准差s1.7（秒）.设零件加工时间服从正态分布N（,2）,求零件加工时间的均值及方差2置信度为0.95的置信区间.（分布表见最后一页）解：（1）均值的置信度为0.95的置信区间为s=t,x、nsnt(2 ')TOC\o"1-5"\h\z查表可知t2.306,代入可知 (3(4.193,6.807)(4')17 17(4.193,6.807)(4')5.5172.306,5.5172.3063 3(2)方差2的置信度为0.95的置信区间为查表可知(n1)s2(n1)s22 ， 2_ 1.2 22 _ 2217.535,2_ 1_2 2(62.180，代入可知')(8)(n1)s222(n1)s221_281.7281.7217.535,2.180(1.319,10.606)(9 )5.食品厂用自动装罐机装罐头食品，每罐的标准重量为500(g),每隔一定时间检查机器工作情况，现抽取16瓶，测得其重量，计算得平均重量x502g,样本方差s242.25,假设罐头重量X服从正态分布N(,2),问：机器工作是否正常？(显著性水平0.02,分布表见最后一页)TOC\o"1-5"\h\z解： H0: 500, H1: 500 (2‘)、、nX500(1)令T ,则T~t(15) (4‘)S(2)查的临界值t2.602,拒绝域为：|T|2.602 (6 ')(3)将样本观测值代入T可得…4(502500)|t|- 1.2312.6026.5从而接受原假设Ho,即机器工作正常. (9)得分评阅人四、证明题（共1题，每题5分，共5分）1.设（X1，X2，，Xn）是总体X的样本,D（X）2,证明：样本方差是总体方差证明：由于S21n77k1(Xk)2)21nKB)2)2E(XkE(Xk2 1nS Xkn1k1的无偏估计量)(X)]22)2(Xkn2(Xkk12(X2n(Xn(X)2)2)2])(X)(X(Xkn(XnE(X)2](XEXk)2nE(XnDX]=n(Xk1n(Xk1)2—12EX)]2n——]

n)2)22 2] 2ES2EXk1~11nin_ 2(EXk—2EX2EXkX)而 S2是总体证：一i一Qk1n(k1n(1k1n((n1)2 2 2))-)n的无偏估计量1i M—l『1r二— —2 1二E(z-xy=耳 内 制(ZX"2E£K+2存)1S1-2nX+nX)门t=\3=1 f=1,二五二£工二碣1港 —2/,EX/,EXr-u.DXt-k1 » —一之--L-(^ex\-hEX)〜1ztEX=mJ了DX=—n=3.3).\ES2--E(yx\-nX^"一Itfnn■1(yDX,=EX；-(EX；立同理:方二笈

1EX；=DX^(EXty

.\EX^DX+(EXf占IfZ[DK+3工门-旧?-<EX)2}z=iif7~—1 ——^伽一1)人一仃二表1:t分布双侧分位点数值表 P(|t(n)|>t)=飙(n：自由度)0.90.80.70.60.50.40.30.20.10.050.020.0180.1300.2620.3990.5460.7060.8891.1081.3971.8602.3062.8963.35590.1290.2610.3980.5430.7030.8831.1001.3831.8332.2622.8213.250100.1290.2600.3970.5420.7000.8791.0931.3721.8122.2282.7643.169150.1280.2580.3930.5360.6910.8661.0741.3411.7532.1312.6022.947160.1280.2580.3920.5350.6900.8651.0711.3371.7462.1202.5832.921170.1280.2570.3920.5340.6890.8631.0691.3331.7402.1102.5672.8980.1260.2530.3850.5240.6750.8421.0361.2821.6451.9602.3272.576

表2:2分布上侧分位点数值表2P2⑻=（n：自由度）'n'^^0.9950.9900.9750.9500.9000.1000.0500.0250.0100.00581.3441.6462.1802.7333.49013.36215.50717.53520.09021.95591.7352.0882.7003.3254.16814.68416.9191