热点专题一数与式热点专题一数与式

热点专题一 数与式【考点聚焦】“数与式”包括有理数、实数、代数式、整式与分式四个部分．数与式渗透后面各部分内容之中，联系着所有数学知识．它是开展数学学习和研究的基础，也是中考的重要考点之一．数与式的考题一般以填空、 选择或解答题的形式出现． 这部分内容的考题难度不大， 但涉及的基本概念和知识点较多．实数：理解有理数、无理数、数轴、相反数、倒数、绝对值、近似数、有效数字、平方根、算术平方根、立方根的概念．知道实数与数轴上的点一一对应， 并会求一个数的相反数、倒数、绝对值．会用科学记数法表示一个数， 能按要求用四舍五入法求一个数的近似值．能正确运用实数的运算法则进行实数的混合运算． 理解实数的运算律， 并能运用运算律简化运算．能运用实数的运算解决简单的问题．会用各种方法比较两个实数的大小．整式：了解整数指数幂的意义和基本性质； 了解整式的概念和有关法则， 会进行简单的整式加、减、乘、除运算；掌握平方差公式和完全平方公式，并了解其几何背景，会进行简单的计算；会用提公因式法、公式法进行因式分解．分式：了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分， 会进行简单的分式加、减、乘、除、乘方及混合运算．二次根式：了解二次根式的概念、性质及其加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单四则运算．代数式：理解用字母表示数的意义，能分析简单问题，并能用代数式表示，能解释简单代数式的实际背景或几何意义，会求代数式的值．【热点透视】热点1：实数及有关概念的考查（包括有理数、数轴、相反数、绝对值）例1（1）（2008长沙）请写出一对互为相反数的数：_________和_________．答案不惟一，如：1和1．点评：题型新颖．只需给出很简单的一对数即可．如：1，1．（2）如右图，数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C，若点C表示的数为1，则点A表示的数为（）（A）7（B）3（C）3（D）2答案：（D）点评：考查数轴上两点之间的距离，若A点对应a，B点对应b，则ABab．（3）实数22，21，，(2)03，9中，有理数的个数是（）72π，（A）1（B）2（C）3（D）4答案：（Ｄ）点评：要准确的把握有理数、无理数的概念，不能片面地从形式上判断．另外，有些数能化简的，要先化简，以最简结果进行分类．如：(2)01，93，33．1）有理数的分类和判断．（2）求一个数的相反数、绝对值和倒数．（3）利用数轴化简绝时值，或比较大小这些内容是中考的常客．对实数知识点的考查仍以基本题型为主，考查时多以填空、选择题形式出现，题目中包含若干个知识点，同时渗透数形结合思想．热点2：科学记数法、近似数、有效数字的考查例2（1）（2008郴州）国家AAAA级旅游区东江湖的蓄水量为81．2亿立方米，81．2亿这个数用科学记数法表示为_____________．答案：8.12109．（2）（2008怀化）怀化市2006年的国民生产总值约为333．9亿元，预计2007年比上一年增长10%，表示2007年怀化市的国民生产总值应是（结果保留3个有效数字）（）（Ａ）3.671010元（Ｂ）3.6731010元（Ｃ）3.671011元（Ｄ）3.67108元答案：（A）．认识和表达生活中的数据，是课标设置的主要内容之一．科学记数法、近似数、有效数字的考查是中考前两题中经常出现的题目，这类题目往往和生活相联系．热点3：实数的运算能力的考查（包括零指数幂、负整数指数幂性质的运用）例3（1）（2008邵阳）13等于（）（A）2（B）2（C）4（D）4答案：（D）．012（2）（2008永州）计算：121118．sin3020072答案：22．点评：考查实数的运算法则、方法、技巧．运算时要认真审题，确定符号，明确运算顺序，灵活运用．（3）（2007邵阳）下列各数与最接近的是（）（A）2．5（B）2．6（C）2．7（D）2．8答案：（B）．点评：考查开方和乘方是互为逆运算，不好直接估算出来，要反过来计算各数的平方．（4）（2008邵阳）小明设计了一个关于实数的运算程序如下，当输入x的值为时，则输出的数值为________．答案：1．点评：渗透编程中框图的思想．其实就是计算：当

x 2时，x2 1的值．实数的混合运算中，运算顺序和运算技巧，零指数幂和负指数幂等是中考中的热点，实数的运算主要是由二次根式、三角函数、幂等组成的混合算式的计算，一般难度不大．热点4：整式的运算及同底数幂乘法法则、 积和幂的乘方法则、乘法公式的运用的考查（包括因式分解）例4（１）（2008常德）下列运算正确的是（）（A）a2a3a6（B）2a214a2（C）(a2)3a5（D）a22a23a2答案：（D）．点评：考查幂的运算．熟练掌握幂的运算公式．不要搞混．（2）（2008株洲）若2x3ym与3xny2是同类项，则mn________．答案：5．点评：同类项是所含字母相同且相同字母的次数也相同．从而，m2，n3．（3）（2008长沙）先化简，再求值：2a(ab)(a2，b其)中a2008，b2007．答案：化简为：a2b2，值为1．点评：一定要先化简再求值．不要直接代入求值．（4）（2007常德）分解因式：b22b_______．答案：b(b2)．点评：因式分解的一般方法，先提取公因式，然后再考虑是否能运用公式法．要注意整体代换的思想．考点主要是用代数式表示数量关系，单项式的系数、次数，多项式的项和次数，整式的运算，多项式的因式分解等内容．有时也出现与其他知识的综合题和探索型题．为此，应重视通过对特殊现象的研究而得出一般结论的方法，即数学上常用的归纳法．热点：非负数的考查（包括a、a（a≥0）、25a的非负性．）例5（1）（2008娄底）如果a，b是任意的两个实数，下列各式中的值一定是负数的是（）（A）b1（B）(ab)2（C）a2b2（D）(a21)答案：（D）．点评：考查a、a、a2的非负性．只有(a21)不能为0，其它可以为0．（2）若a1ab50，求ab．答案：4．点评：利用a、a、a2的非负性，而a1、ab5的和为0，只有a10，ab50，解得：a1，b4，再代入计算．a、a、a2的非负性，是中学数学中一个很重要的性质．利用它们的这个性质，可以处理很多问题，应用很广．热点6：分式的意义、分式的基本性质及分式的混合运算考查例6（1）（2006永州）当x_________时，分式x2有意义．答案：x2．x2点评：分式有意义，分母必须不为0．即x20．（2）（2007郴州）分式2的值为1时，m的值是（）m5（A）m2（B）m2（C）m3（D）m3答案：（C）．点评：让分式等于1，然后解分式方程．（3）（2008张家界）已知分式：A2，B11(x1)．下面三个结x21x11x论：①A，B相等；②A，B互为相反数；③A，B互为倒数．请问哪个正确？为什么？答案：②．点评：题型新颖．其实就是计算B，再与A进行比较．分式的考点主要是分式有意义、分式的值，分式的运算、分式的化简、求值的方法和技巧．命题形式有填空题、选择题，有关运算、化简求值的题目多以解答题的形式出现．热点7：二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，二次根式的性质及计算的考查例7（1）（2008娄底）16的平方根是_____．答案：±4．点评：注意平方根、算术平方根的区别．（2）（2008郴州）要使二次根式

2x

6有意义，

x应满足的条件是（

）（A）

x≥3

（B）

x

3

（C）

x

3

（D）

x≤3答案：（A）．点评：被开方数必须大于或等于 0，不要忘了等号．（3）（2008长沙）计算：188_______．答案：2点评：先化成最简二次根式，再合并．重点考查最简二次根式、同类二次根式的概念，以及二次根式的化简、求值．通常以填空题、选择题的形式出现，常与一元二次方程、函数等知识相联系．热点8：探究规律，发现规律的考查例8（1）（2008张家界）观察一列有规律的数：4，8，16，32，⋯，它的第2007个数是（）（A）22007（B）220071（C）22008（D）22006答案：（C）．点评：第1个数：422；第2个数：823；第3个数：1624；⋯第2007个数：22008．认真观察，从特殊到一般．（2）（2008常德）观察下列各式：13 1213 23 3213233361323334310⋯⋯猜想：132333103_________．答案：552．点评：1+2＝3，1+2+3＝6，1+2+3+4＝10⋯∴1231055.1323103552．（3）（2008邵阳）观察：111，2111，111将以上三个等1223233434式两边分别相加得：122131111111113．1342233444①猜想并写出：1_________．n(n1)②直接写出下列各式的计算结果：1111_________．122334200620071111_________．122334n(n1)③探究计算：1111．24466820062008答案：①11；②2006，n；③1003．nn12007n14016点评：认真观察：111．n(n1)nn111111223342006200711111111122334200620071120062007．2007而③中原式1111111111112 2 4 2 4 6 2 6 8 2 2006 2008111111122446200620081111003．2220084016归纳、猜想型试题是近年中考出现的新题型，其特点是：给出一组具有递进关系的数、式子、图形，或某个由简单到复杂的操作过程，或某一具体的问题情境，通过探求其变化过程中的规律，归纳或猜想出一般性的结论；有的题目还要求对结论的正确性加以验证．解答这类试题的思路是：从简单的、局部的、特殊的情形出发，通过分析、比较、提炼，发现其中的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论．【考题预测】1．_____的倒数是11；0.28的相反数是_____．22．当x_______时，分式x2有意义．x53．二次根式x4有意义，则x的取值范围______．4．如下图，是一个简单的数值运算程序，当输入x的值为1时，则输出的数值为_________．5．3π的绝对值是________．6．（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是_____，数轴上表示1和3的两点之间的距离是_______．（2）数轴上表示x和1的两点A和B之间的距离是_____，如果AB2，那么________．7．当代数式x23x5的值为7时，代数式3x29x2的值是_______．8．如果ax2，ay3，则a2x3y________．9．下列说法中，不正确的是（ ）A）1的平方是1（B）1的平方根是1C）1的立方是1（D）1的立方根是110．(3)2的值等于（）（A）3（B）3（C）9（D）911．如果a是实数，那么下面说法正确的是（）（A）a一定是负数（B）a一定是正数（C）a的倒数是（D）a2一定不是负数12．下列根式中，与 3是同类二次根式的是（ ）（A）24（B）12（C）3（D）8213．下列运算中错误的是（）（A）a2aa3（B）2a3b6ab（C）a4a2a2（D）(ab)2a2b214．如果ab，那么一定有（）（A）ab（B）ab（C）ab（D）ab15．适合(a3)23a的正整数