中考数学动点问题专题讲解

中考动点专题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的要点是动中求静,灵便运用相关数学知识解决问题.要点:动中求静.数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转变思想重视对几何图形运动变化能力的观察从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，经过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来研究与发现图形性质及图形变化，在解题过程中浸透空间见解和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历研究的过程，以能力立意，观察学生的自主研究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不一样地址的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”研究题的基本思路,这也是动向几何数学问题中最核心的数学实质。二期课改后数学卷中的数学压轴性题正渐渐转向数形结合、动向几何、着手操作、实验研究等方向发展．这些压轴题题型众多、题意创新，目的是观察学生的解析问题、解决问题的能力，内容包括空间见解、应企图识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动见解；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转变思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在授课中研究对策，掌握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题涵养，在素质教育的背景下更明确地表现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题办理手法提出自己的见解．专题一：成立动点问题的函数解析式函数揭穿了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反响的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这类变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样成立这类函数解析式呢?下面结合中考试题举例解析.一、应用勾股定理成立函数解析式例1(2000年·上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上,有一个动点P,PH⊥OA,垂足为H,△OPH的重心为G.当点P在弧AB上运动时,线段GO、GP、GH中,有无长度保持不变的线段?若是有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2)设PHx,GPy,求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x的取值范围).(3)若是△PGH是等腰三角形,试求出线段PH的长.BPNyGxOMHA图1解:(1)当点P在弧AB上运动时,OP保持不变,于是线段GO、GP、GH中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH=2NH=21OP=2.3321OH1(2)在Rt△POH中,OHOP2PH236x2,∴MH36x2.22在Rt△MPH中,.∴y=GP=2MP=1363x2(0<x<6).3△PGH是等腰三角形有三种可能情况:①GP=PH时,1x2x,解得x6.经检验,x6是原方程的根,且吻合题意.3②GP=GH时,1363x22,解得x0.经检验,x0是原方程的根,但不吻合题意.3PH=GH时,x2.综上所述,若是△PGH是等腰三角形,那么线段PH的长为6或2.二、应用比率式成立函数解析式例2（2006年·山东）如图2,在△ABC中,AB=AC=1,点D,E在直线BC上运动.设BD=x,CE=y.若是∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y与x之间的函数解析式；(2)若是∠BAC的度数为,∠DAE的度数为,当,满足怎样的关系式时,(1)中y与x之间的函数解析式还成立?试说明原由.ADEBC图2解:(1)在△ABC中,∵AB=AC,∠BAC=30°,∴∠ABC=∠ACB=75°,∴∠ABD=∠ACE=105°.∵∠BAC=30°,∠DAE=105°,∴∠DAB+∠CAE=75°,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°,∴∠CAE=∠ADB,∴△ADB∽△EAC,

∴

AB

BD

,CE

AC∴

1

x

,

∴y

1

.y1

x(2)由于∠DAB+∠CAE=,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=90,且2F函数关系式成立,∴90=,整理得90.B22当90时,函数解析式y1P成立.2xD例3(2005年·上海)如图3(1),在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3.点O是边AC上的一个动点,以点O为圆心作半圆,与边AB相切于点D,CA交线段OC于点E.作EP⊥ED,交射线AB于点P,交射线CB于点F.3(1)EO(1)求证:△ADE∽△AEP.P(2)设OA=x,AP=y,求y关于x的函数解析式,并写出它的定B义域.F(3)当BF=1时,求线段AP的长.DCEAO3(2)解:(1)连接OD.依照题意,得OD⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP.又由OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP,∴△ADE∽△AEP.(2)∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3,∴AC=5.∵∠ABC=∠ADO=90°,∴OD∥BC,∴ODx,ADx,3545∴OD=3x,AD=4x.∴AE=x3x=8x.555584∵△ADE∽△AEP,∴AEADxx16x(0x25,∴55.∴y).APAEy858x5当BF=1时，①若EP交线段∵∠ADE=∠AEP,∴∠F=∠PDE,

CB的延长线于点F,如图3(1)，则CF=4.∴∠PDE=∠PEC.∵∠FBP=∠DEP=90°,∠FPB=∠DPE,∴∠F=∠FEC,∴CF=CE.∴5-8x=4,得x5.可求得y2,即AP=2.58②若EP交线段CB于点F,如图3(2),则CF=2.近似①,可得CF=CE.∴5-8x=2,得x15.58可求得y6,即AP=6.综上所述,当BF=1时,线段AP的长为2或6.三、应用求图形面积的方法成立函数关系式例4（2004年·上海）如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A的半径为1.若点O在BC边上运动(与点B、C不重合),设BO=x,△AOC的面积为y.(1)求y关于x的函数解析式,并写出函数的定义域.A以点O为圆心,BO长为半径作圆O,求当⊙O与⊙A相切时,AOC的面积.BOHC图8解:(1)过点A作AH⊥BC,垂足为H.∵∠BAC=90°,AB=AC=22,∴BC=4,AH=1BC=2.∴OC=4-x.1OCAH,2∵SAOC∴yx4(0x4).2(2)①当⊙O与⊙A外切时,在Rt△AOH中,OA=x1,OH=2x,∴(x1)222(2x)2.解得x7.6此时,△AOC的面积y=47176.6②当⊙O与⊙A内切时,在Rt△AOH中,OA=x1,OH=x2,∴(x1)222(x2)2.解得x7.271此时,△AOC的面积y=4.22综上所述,当⊙O与⊙A相切时,△AOC的面积为17或1.62专题二：动向几何型压轴题动向几何特点----问题背景是特别图形，观察问题也是特别图形，所以要掌握好一般与特其他关系；解析过程中，特别要关注图形的特点（特别角、特别图形的性质、图形的特别地址。）动点问题素来是中考热点，近几年观察研究运动中的特别性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特别角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常有题型作简单介绍，解题方法、要点赐予点拨。一、以动向几何为主线的压轴题（一）点动问题．1．（09年徐汇区）如图，ABC中，ABAC10，BC12，点D在边BC上，且BD4，以点D为极点作EDFB，分别交边AB于点E，交射线CA于点F．（1）当AE6时，求AF的长；2）当以点C为圆心CF长为半径的⊙C和以点A为圆心AE长为半径的⊙A相切时，求BE的长；3）当以边AC为直径的⊙O与线段DE相切时，求BE的长．此题改编自新教材九上《相似形》(4)例六,典型的一线三角(三等角)问题,试题在原题的基础上改编出第一小题,当E点在AB边上运动时，浸透入圆与圆的地址关系(相切问题)的存在性的研究形成了第二小题,加入直线与圆的地址关系(相切问题)的存在性的研究形成了第三小题．区分度测量点在直线与圆的地址关系和圆与圆的地址关系,进而利用方程思想来求解．[区分度性小题办理手法]1．直线与圆的相切的存在性的办理方法：利用d=r成立方程．2．圆与圆的地址关系的存在性(相切问题)的办理方法：利用d=R±r(

R

r

)成立方程．3．解题的要点是用含

x的代数式表示出相关的线段

.[

略解]解：（1）证明CDF∽EBD∴CFCD，代入数据得CF8，∴AF=2BDBE（2）设BE=x,则dAC10,AE10x,利用（1）的方法CF32，32x相切时分外切和内切两种情况考虑：外切，1010，x42；xx32，x10217．0x10内切，1010xx∴当⊙C和⊙A相切时，BE的长为42或10217．（3）当以边AC为直径的⊙O与线段DE相切时，BE20．3类题⑴一个动点：09杨浦25题（四月、五月）、09静安25题、⑵两个动点：09闸北25题、09松江25题、09卢湾25题、09青浦25题．（二）线动问题在矩形ABCD中，AB＝3，点O在对角线AC上，直线l过点O，且与AC垂直交AD于点E.(1)若直线l过点B，把△ABE沿直线l翻折，点A与矩形ABCD的对称中心A＇重合，求BC的长；(2)若直线l与AB订交于点F，且AO＝1AC，设AD的长为x，五边形4lBCDEF的面积为S.①求S关于x的函数关系式，并指出x的取值范围；AED3②研究：可否存在这样的x，以A为圆心，以x长为半径的圆与O4′直线l相切，若存在，央求出x的值；若不存在，请说明原由．ABC[题型背景和区分度测量点]此题以矩形为背景,结合轴对称、相似、三角等相关知识编制获得．第一小题核查了学生轴对称、矩形、勾股定理三小块知识内容；当直线l沿lAB边向上平移时，研究面积函数解析式为区分测量点一、加入直线与圆的AED地址关系(相切问题)的存在性的研究形成了区分度测量点二．O[区分度性小题办理手法]1．找面积关系的函数解析式，规则图形套用公式或用割补法，不规则图形用割补法．F2．直线与圆的相切的存在性的办理方法：利用d=r成立方程．BC3．解题的要点是用含x的代数式表示出相关的线段.[略解]∵A’是矩形ABCD的对称中心∴A’B＝AA’＝1AC2∵AB＝A’B，AB＝3∴AC＝6BC33(2)①ACx29，AO1x29，AF1(x29)，AEx294124x∴SAEF1AEAF(x29)2，S3x(x29)2296x96xSx4270x281(3x33)96x②若圆A与直线l相切，则x31x29，x10(舍去)，x28∵x283∴4455不存在这样的x，使圆A与直线l相切．[类题]09虹口25题．（三）面动问题如图，在

ABC中，

AB

AC

5,BC

6，D、E分别是边

AB、AC上的两个动点（

D不与

A、B重合），且保持（1）试求（2）当边

DE∥BC，以DE为边，在点A的异侧作正方形ABC的面积；FG与BC重合时，求正方形DEFG的边长；

DEFG

.（3）设

AD

x，

ABC与正方形

DEFG

重叠部分的面积为

y，试求

y关于

x的函数关系式，并写出定义域；（4）当

BDG是等腰三角形时，请直接写出

AD的长．[题型背景和区分度测量点]此题改编自新教材九上《相似形》(4)例七,典型的共角相似三角形问题,试题为了形成坡度，在原题的基础上改编出求等腰三角形面积的第一小题,当D点在AB边上运动时，正方形DEFG整体动起来，GF边落在BC边上时，恰好和教材中的例题对应，能够说是相似三角形对应的小高比大高=对应的小边比大边，探望正方形和三角形的重叠部分的面积与线段AD的关系的函数解析式形成了第三小题，依旧属于面积类习题来设置区分测量点一，用等腰三角形的存在性来设置区分测量点二．[区分度性小题办理手法]1．找到三角形与正方形的重叠部分是解决此题的要点，如上图

3-1、3-2

重叠部分分别为正方形和矩形包括两种情况．2．正确的抓住等腰三角形的腰与底的分类，如上图3-3、3-4、3-5用方程思想解决．3．解题的要点是用含x的代数式表示出相关的线段.[略解]解：（1）SABC12.（2）令此时正方形的边长为a，则a4a，解得a12.645236x2，（3）当0x2时，y6x525当2x5时，y6x45x24x24x2.555254）AD125,25,20.73117[类题]改编自09奉贤3月考25题，将条件（2）“当点M、N分别在边BA、CA上时”,去掉，同时加到第（3）题中.已知：在△中，=，∠=30o，=6，点D在边上，FABCABACBBCBC点E在线段DC上，DE=3，△DEF是等边三角形，边DF、EFAN与边BA、CA分别订交于点M、N．M（1）求证：△BDM∽△CEN；（2）设=，△与△重叠部分的面积为y，求y关BDECBDxABCDEF于x的函数解析式，并写出定义域．3）当点M、N分别在边BA、CA上时,可否存在点D，使以M为圆心,BM为半径的圆与直线EF相切,如果存在，央求出x的值；如不存在，请说明原由．例1：已知⊙O的弦AB的长等于⊙O的半径，点C在⊙O上变化（不与A、B）重合，求∠ACB的大小.解析：点C的变化可否影响∠ACB的大小的变化呢?我们不如将点C改变一下,怎样变化呢？可能在优弧AB上，也可能在劣弧AB上变化，显然这两者的结果不一样样。那么，当点C在优弧AB上变化时，∠ACB所对的弧是劣弧AB，它的大小为劣弧AB的一半，所以很自然地想到它的圆心角，连接AO、BO，则由于AB=OA=OB，即三角形ABC为等边三角形，则∠AOB=600，则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：∠1ACB=2

∠AOB=300，优弧

当点C在劣弧AB上变化时，∠ACB所对的弧是优弧AB，它的大小为优弧AB的一半，由∠AOB=600得，AB的度数为3600-600=3000，则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：∠ACB=1500，所以，此题的答案有两个，分别为300或1500.反思：此题经过点C在圆上运动的不确定性而引起结果的不唯一性。进而需要分类谈论。这样由点的运动变化性而引起的分类谈论在解题中经常出现。变式1：已知△ABC是半径为2的圆内接三角形，若AB23，求∠C的大小.此题与例1的差异可是AB与圆的半径的关系发生了一些变化,其解题方法与上面一致,在三角形AOB11AB3120中,sin2AOBOB2,则2AOB60,即AOB1200,进而当点C在优弧AB上变化时，∠C所对的弧是劣弧AB，它的大小为劣弧AB的一半，即C600,当点C在劣弧AB上变化时，∠C所对的弧是优弧AB，它的大小为优弧AB的一半，由∠AOB=1200得，优弧AB的度数为3600-1200=2400，则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：∠C=1200，所以C600或∠C=1200.变式2:如图,半经为1的半圆O上有两个动点A、B，若AB=1，判断∠AOB的大小可否会随点A、B的变化而变化，若变化，求出变化范围，若不变化，求出它的值。四边形ABCD的面积的最大值。解：（1）由于AB=OA=OB，所以三角形AOB为等边三角形，则∠AOB=600，即∠AOB的大小不会随点A、的变化而变化。3（2）四边形ABCD的面积由三个三角形组成，其中三角形AOB的面积为4，而三角1ODAF1OCBG1(AFBG)形AOD与三角形BOC的面积之和为222，又由梯形1(AFBG)EH的中位线定理得三角形AOD与三角形BOC的面积之和2，要四边形3ABCD的面积最大，只要EH最大，显然EH≤OE=2，当AB∥CD时，EH=OE，所以3333四边形ABCD的面积最大值为4+2=4.关于此题同学们还可以够连续思虑:四边形ABCD的周长的变化范围.变式3:如图,有一块半圆形的木板,现要把它截成三角形板块.三角形的两个极点分别为A、B，另一个极点C在半圆上，问怎样截取才能使截出的三角形的面积最大？要求说明原由（广州市2000年考题）解析：要使三角形ABC的面积最大，而三角形ABC的底边AB为圆的直径为常量，只要大即可。过点C作CD⊥AB于点D，连接CO，由于CD≤CO，当O与D重合，CD=CO，所以，当CO与AB垂直时，即C为半圆弧的中点时，其三角形ABC的面积最大。此题也能够先猜想，点C为半圆弧的中点时，三角形ABC的面积最大，故只要另选一个地址重合），，证明三角形ABC的面积大于三角形ABC1的面积即可。如图

AB边上的高最C1（不与

C1

1

1显然三角形

ABC1的面积

=2AB×C1D，而

C1D<C1O=CO,则三角形

ABC1的面积=2

AB×C1D<2

AB×C1O=三角形ABC的面积,所以,关于除点

C外的任意点

C1,都有三角形

ABC1的面积小于三角形三角形

ABC的面积,故点C为半圆中点时,三角形

ABC面积最大

.此题还可研究三角形ABC的周长何时最大的问题。提示：利用周长与面积之间的关系。要三角形ABC的周长最大，AB为常数，只要AC+BC最大，而（AC+BC）2=AC2+CB2+2AC×BC=AB2+4×ΔABC的面积，所以ABC的面积最大时，AC+BC最大，进而ABC的周长最大。从以上一道题及其三个变式的研究我们不难发现,解决动向几何问题的常有方法有:一、特别探路，一般推证例2：（2004年广州市中考题第11题）如图，⊙O1和⊙O2内切于A，⊙O1的半径为3，⊙O2的半BP径为2，点P为⊙O1上的任一点（与点A不重合），直线PA交⊙O2于点C，PB切⊙O2于点B，则PC的值为36（A）2（B）3（C）2（D）2解析：此题是一道选择题，给出四个答案有且只有一个是正确的，所以能够取一个特别地址进行研究，当点P满足PB⊥AB时，能够经过计算得出PB=321222BC×AP=BP×AB，所以ABBP828242BC=AB2BP2168266，BP2BC226在三角形BPC中，PC=3，BP所以，PC=3选（B）BPAP自然，此题还可以够依照三角形相似得PCBP，即可计算出结论。作为一道选择题，到此已经完成，但若是是一道解答题，我们得出的结论可是一个特别情况，还要进一步证明对一般情况也成立。例3：如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC=4，OABC于O,点E和点F分别在边AB、AC上滑动并保持AE=CF,但点F不与A、C重合，点E不与B、A重合。判断OEF的形状，并加以证明。判断四边形AEOF的面积可否随点E、F的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它的值.AEF的面积可否随着点E、F的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它的值。解析：此题结论很难发现，先从特别情况下手。最特别情况为E、F分别为AB、AC中点，显然有EOF为等腰直角三角形。还可发现当点E与A无量凑近时，点F与点C无量凑近，此时EOF无量凑近AOC，而AOC为等腰直角三角形，几种特别情况都能够得出EOF为等腰直角三角形。一般情况下成立吗？OE与OF相等吗？∠EOF为直角吗？可否证明。若是它们成立，便能够推出三角形OFC与三角形OEA全等，一般情况下这两个三角形全等吗？不难从题目的条件可得：OA=OC，∠OCF=∠OAE，而AE=CF，则OEA≌ΔOFC，则OE=OF，且∠FOC=∠EOA，所以∠EOF=∠EOA+∠AOF=∠FOC+∠FOA=900，则∠EOF为直角，故EOF为等腰直角三角形。二、着手实践，操作确认例4（2003年广州市中考试题）在⊙O中，C为弧AB的中点，D为弧AC上任一点（与A、C不重合），则（A）AC+CB=AD+DB(B)AC+CB<AD+DB(C)AC+CB>AD+DB(D)AC+CB与AD+DB的大小关系不确定解析:此题能够经过着手操作一下,胸襟AC、CB、AD、DB的长度，能够试一试换几个地址量一量，得出结论（C）例5：如图，过两同心圆的小圆上任一点C分别作小圆的直径CA和非直径的弦CD，延长CA和CD与大圆分别交于点B、E，则以下结论中正确的选项是（*）（A）DEAB（B）DEAB（C）DEAB（D）DE,AB的大小不确定解析：此题能够经过重量的方法进行，选（B）此题也能够能够证明得出结论，连接DO、EO，则在三角形OED中，由于两边之差小于第三边，则OE—OD<DE,即OB—OA<DE,所以ABED,即DEAB三、成立联系，计算说明例6：如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，且DM=1，N为对角线AC上任意一点，则DN+MN的最小值为.解析：可否将DN和NM进行转变，与成立三角形两边之和大于第三边等问题，很自然地想到轴对称问题，由于ABCD为正方形，所以连接BN，显然有ND=NB，则问题就转化为BN+NM的最小值问题了，一般情况下：BN+NM≥BM,只有在B、N、M三点共线时，BN+NM=BM，因此DN+MN的最小值为BM=BC2CM25此题经过成立平面上三个点中组成的三角形中的两边之和大于第三边及共线时的两边之和等于第三边的特别情况求最小值，最后经过勾股定理计算得出结论。例7：如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC=4，OABC于O,点E和点F分别在边AB、AC上滑动并保持AE=CF,但点F不与A、C重合，点E不与B、A重合。判断四边形AEOF的面积可否随点E、F的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它的值.AEF的面积可否随着点E、F的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它的值。（即例3的第2、第3问）解析：(2)此题的方法很多，其一，能够成立四边形AEOF与AE长的函数关系式，如设AE=x，则AF=22x，221OA2xOB而三角形AOB的面积与三角形AOE的面积之比=，而三角形AOB的面积=2，x22x则三角形AOE的面积=2，同理三角形AOF的面积=2，所以四边形AEOF的面积x(22x)2=2；即AEOF的面积不会随点自然，此题也能够这样思虑，由于三角形角形AOC的面积相等，而AOC的面积为2，所以值，且为2.此题经过成立函数关系或相关图形之间的关系较广泛.

E、F的变化而变化，是一个定值，且为2.AOE与三角形COF全等，则四边形AEOF的面积与三AEOF的面积不会随点E、F的变化而变化，是一个定尔后经过简单的计算得出结论的方法应用比第(3)问,也能够经过成立函数关系求得,1x(22x)1(x2)21AEF的面积=22,又x的变化范围为0x22,由二次函数知识得AEF的面积的范围为:0AEF的面积1.此题也能够依照三角形AEF与三角形OEF的面积关系确定AEF的面积范围:不难证明AEF的面积≤OEF的面积，它们公用边EF，取EF的中点H，显然由于OEF为等腰直1EF角三角形，则OH⊥EF，作AG⊥EF，显然AG≤AH=AG（=2），所以AEF的面积≤OEF的面积，而它们的和为2，所以0AEF的面积1.此题包括的内涵十分丰富，还可以够提出很多问题研究：比方，比较线段EF与AO长度大小等（能够经过A、E、O、F四点在以EF为直径的圆上得出很多结论）例8：如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度搬动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米/秒的速度搬动。若是Ｐ、Ｑ同时出发，用t秒表示搬动的时间（0≤t≤6），那么：1）当t为什么值时，三角形QAP为等腰三角形？2）求四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果相关的结论；3）当t为什么值时，以点Q、A、P为极点的三角形与△ABC相似？解析：（1）当三角形QAP为等腰三角形时，由于∠A为直角，只能是AQ=AP，成立等量关系，2t6t，即t2时，三角形QAP为等腰三角形；（2）四边形QAPC的面积=ABCD的面积—三角形QDC的面积—三角形PBC的面积126112x1(122x)6=22=36，即当P、Q运动时，四边形QAPC的面积不变。（3）显然有两种情况：△PAQ∽△ABC，△QAP∽△ABC，2x122x6由相似关系得6x6或6x12，解之得x3或x1.2成立关系求解，包括的内容多，能够是函数关系，能够是方程组或不等式等，经过解方程、或函数的最大值最小值，自变量的取值范围等方面来解决问题；也能够是经过一些几何上的关系，描述图形的特点，如全等、相似、共圆等方面的知识求解。作为训练同学们能够综合上述方法求解：练习1：2003年广州市中考压轴题（全卷得分最低的一道）已知ABC为直角三角形，AC=5，BC=12，∠ACB为直角，P是AB边上的动点（与点A、B不重合），Q是

BC边上动点（与点

B、C不重合）（1）如图，当PQ∥AC，且Q为BC的中点，求线段CP的长。当PQ与AC不平行时，CPQ可能为直角三角形吗？若有可能，求出线段可能，请说明原由。

CQ的长的取值范围；若不1AB13第1问很易得出P为AB中点，则CP=22第2问：若是CPQ为直角三角形，由于PQ与AC不平行，则∠Q不能能为直角又点P不与A重合，则∠PCQ也不能能为直角，只能是∠CPQ为直角，即以CQ为直径的圆与AB有交点，设CQ=2x，CQ的中点D到AB的距离DM不大于CD，DMDBDM12x5(12x)5(12x)xACAB，即513DMDMCD，所以13，由13，即101020CQ12x6，故3x63，而x，亦即3时，CPQ可能为直角三角形。自然还有其他方法。同学们能够连续研究。练习2：（广东省2003年中考试题最后一题）在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O为BC的中点，1）写出点O到△ABC的三个极点A、B、C距离的大小关系。2）若是点M、N分别在线段AB、AC上搬动，搬动中保持AN＝BM，请判断△OMN的形状，并证明你的结论。该题与例3近似，同学们能够仿本大类习题的共性：1．代数、几何的高度综合（数形结合）；着力于数学实质及核心内容的观察;四大数学思想：数学结合、分类谈论、方程、函数．2．以形为载体，研究数量关系；经过设、表、列获得函数关系式；研究特别情况下的函数值．专题三：双动点问题点动、线动、形动组成的问题称之为动向几何问题.它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题.这类题综合性强，能力要求高，它能全面的观察学生的实践操作能力，空间想象能力以及解析问题和解决问题的能力.其中以灵便多变而着称的双动点问题更成为今年中考试题的热点，现采撷几例加以分类浅析，供读者欣赏.1以双动点为载体，研究函数图象问题例1(2007年杭州市)在直角梯形ABCD中，∠C=90°，高CD=6cm(如图1).动点P，Q同时从点B出发，点P沿BA，AD，DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，两点运动时的速度都是1cm/s.而当点P到达点A时，点Q正好到达点C.设P，Q同时从点B出发，经过的时间为t(s)时，△BPQ的面积为y(cm)2(如图2).分别以t，y为横、纵坐标成立直角坐标系，已知点P在AD边上从A到D运动时，y与t的函数图象是图3中的线段MN.分别求出梯形中BA，AD的长度；写出图3中M，N两点的坐标；分别写出点P在BA边上和DC边上运动时，y与t的函数关系式(注明自变量的取值范围)，并在图3中补全整个运动中y关于x的函数关系的大体图象.评析此题将点的运动过程中形成的函数解析式与其相应的函数图象有机的结合在一起，两者相辅相成，给人以清爽、淡雅之感.此题彰显数形结合、分类谈论、函数建模与参数思想在解题过程中的灵活运用.解决此题的要点是从函数图象中确定线段AB、梯形的高与t的函数关系式，成立起y与t的函数关系式，进而依照函数关系式补充函数图象.以双动点为载体，研究结论开放性问题例2(2007年泰州市)如图5，Rt△ABC中，∠B=90°，∠CAB=30°.它的极点A的坐标为(10，0)，极点B的坐标为(5，53)，AB=10，点P从点A出发，沿A→B→C的方向匀速运动，同时点Q从点D(0，2)出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒.求∠BAO的度数.当点P在AB上运动时，△OPQ的面积S(平方单位)与时间t(秒)之间的函数图象为抛物线的一部分，(如图6)，求点P的运动速度.(3)求(2)中面积S与时间t之间的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标.(4)若是点P，Q保持(2)中的速度不变，那么点P沿AB边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而减小，当点P沿这两边运动时，使∠OPQ=90°的点P有几个?请说明原由.解(1)∠BAO=60°.点P的运动速度为2个单位/秒.评析此题是以双点运动成立的集函数、开放、最值问题于一体的综合题.试题有难度、有梯度也有区分度，是一道拥有很好的选拔功能的好题.解决此题的要点是从图象中获得P的速度为2，尔后成立S与t的函数关系式，利用函数的性质解得问题(3).此题的难点是题(4)，考生要从题目的信息中确定成立以B为直角极点的三角形，以B为临界点进行分类谈论，进而确定点的个数问题.以双动点为载体，研究存在性问题例3(2007年扬州市)如图8，矩形ABCD中，AD=3厘米，AB=a厘米(a>3).动点M，N同时从B点出发，分别沿B→A，B→C运动，速度是1厘米/秒.过M作直线垂直于AB，分别交AN，CD于P，Q.当点N到达终点C时，点M也随之停止运动.设运动时间为t秒.(1)若a=4厘米，t=1秒，则PM=厘米；若a=5厘米，求时间t，使△PNB∽△PAD，并求出它们的相似比；若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求a的取值范围；(4)可否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形PQCN的面积都相等?若存在，求a的值；若不存在，请说明原由.评析此题是以双动点为载体，矩形为背景创立的存在性问题.试题由浅入深、层层递进，将几何与代数知识圆满的综合为一题，重视对相似和梯形面积等知识点的观察，此题的难点主若是题(3)，解决此题的要点是运用相似三角形的性质用t的代数式表示PM，进而利用梯形面积相等列等式求出t与a的函数关系式，再利用t的范围确定的a取值范围.第(4)小题是题(3)结论的拓展应用，在解决此问题的过程中，要有全局见解以及对问题的整体掌握.以双动点为载体，研究函数最值问题例4(2007年吉林省)如图9，在边长为82cm的正方形ABCD中，E、F是对角线AC上的两个动点，它们分别从点A、C同时出发，沿对角线以1cm/s的相同速度运动，过E作EH垂直AC交Rt△ACD的直角边于H；过F作FG垂直AC交Rt△ACD的直角边于G，连接HG、EB.设HE、EF、FG、GH围成的图形面积为S1，AE、EB、BA围成的图形面积为S2(这里规定：线段的面积为0).E到达C，F到达A停止.若E的运动时间为x(s)，解答以下问题：(1)当0<X(2)①若y是S1与S2的和，求y与x之间的函数关系式；(图10为备用图)②求y的最大值.解(1)以E、F、G、H为极点的四边形是矩形，由于正方形ABCD的边长为82，所以AC=16，过B作BO⊥AC于O，则OB=89，由于AE=x，所以S2=4x，由于HE=AE=x，EF=16-2x，所以S1=x(16-2x)，当S1=S2时，4x=x(16-2x)，解得x1=0(舍去)，x2=6，所以当x=6时，S1=S2.(2)①当0≤x<8时，y=x(16-2x)+4x=-2x2+20x，当8≤x≤16时，AE=x，CE=HE=16-x，EF=16-2(16-x)=2x-16，所以S1=(16-x)(2x-16)，所以y=(16-x)(2x-16)+4x=-2x2+52x-256.②当0≤x<8时，y=-2x2+20x=-2(x-5)2+50，所以当x=5时，y的最大值为50.当8≤x≤16时，y=-2x2+52x-256=-2(x-13)2+82，所以当x=13时，y的最大值为82.综上可得，y的最大值为82.评析此题是以双动点为载体，正方形为背景创立的函数最值问题.要修业生认真读题、意会题意、画出不一样情况下的图形，依照图形成立刻间变量与其他相关变量的关系式，进而成立面积的函数表达式

.此题在知识点上重视对二次函数最值问题的观察，要修业生有扎实的基础知识、灵便的解题方法、优异的思想质量；在解题思想上重视对数形结合思想、分类谈论思想、数学建模等思想的灵便运用.专题四：函数中因动点产生的相似三角形问题例题如图1，已知抛物线的极点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B。y1x2x⑴求抛物线的解析式；（用极点式求得抛物线的解析式为4）⑵若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为极点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；⑶连接OA、AB，如图2，在x轴下方的抛物线上可否存在点P，使得△OBP与△OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明原由。图1例1题图图2．．．．．．．解析:1.当给出四边形的两个极点时应以两个极点的连线为四边形的边和对角线来考虑问题以O、C、D、B四点为极点的四边形为平行四边形要分类谈论:按OB为边和对角线两种情况2.函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题路子①求相似三角形的第三个极点时，先要解析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形．．可否为特别三角形。依照未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类谈论。②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，此后利用相似来列方程求解。练习1、已知抛物线y2，，53，及原点O(0，0)．axbxc经过P(33)E02（1）求抛物线的解析式．（由一般式得抛物线的解析式为2253yxx）．．．33（2）过P点作平行于x轴的直线PC交y轴于C点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC下方的抛物线上，任取一点Q，过点Q作直线QA平行于y轴交x轴于A点，交直线PC于B点，直线QA与直线PC及两坐标轴围成矩形OABC．可否存在点Q，使得△OPC与△PQB相似？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，说明原由．3）若是吻合（2）中的Q点在x轴的上方，连接OQ，矩形OABC内的四个三角形OPC，△PQB，△OQP，△OQA之间存在怎样的关系？为什么？练习2、如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点C在y轴上，将边BC折叠，使点B落在边OA的点D处。已知折叠CE55，且tanEDA3。41）判断△OCD与△ADE可否相似？请说明原由；2）求直线CE与x轴交点P的坐标；（3）可否存在过点D的直线l，使直线l、直线CE与x轴所围成的三角形和直线l、直线CE与y轴所围成的三角形相似？若是存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；若是不存在，请说明原由。练习3、在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数yyax2bxc(a0)的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的CB左侧），与y轴交于点C，其极点的横坐标为1，且过点(2，3)和E(3，12)．ODAx（1）求此二次函数的表达式；（由一般式．．．得抛物线的解析式为练习2图yx22x3）（2）若直线l:ykx(k0)与线段BC交于点D（不与点B，C重合），则可否存在这样的直线l，使得以B，O，D为极点的三角形与△BAC相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D的坐标；若不存在，请说明原由；A(1，0)，B(3，0),C(0，3)（3）若点P是位于该二次函数对称轴右侧图象上不与极点重合的任意一点，试比较锐角PCO与y

xlP

CACO的大小（不用证明），并写出此时点P的横坐标xp的取值范围．O练习4(2008广东湛江市)以下列图，已知抛物线yx21与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．1）求A、B、C三点的坐标．2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．3）在x轴上方的抛物线上可否存在一点M，过M作MGx轴于点G，使以A、M、G三点为极点的三角形与PCA相似．若存在，央求出M点的坐标；否则，请说明原由．练习5、已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，ACB90o，点A，C的坐标分别为A(3，0)3，C(1，0)，tanBAC．4（1）求过点A，B的直线的函数表达式；点A(3，0)，C(10)，，3x9yB(13)，，yB42）在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接AxOCPQ，设APDQm，问可否存在这样的m使得△APQ与△ADB相似，如存在，央求出m的值；如不存在，请说明原由．参照答案例题、解:⑴由题意可设抛物线的解析式为ya(x2)21∵抛物线过原点，∴0a(02)211∴a.4抛物线的解析式为y1(x2)21,即y1x2x44⑵如图1,当OB为边即四边形OCDB是平行四边形时,CD∥OB,＝由01(x2)21得x10,x24,4B(4,0),OB＝4.∴D点的横坐标为6将x＝6代入y1(x2)21,得y＝－3,图14D(6,－3);依照抛物线的对称性可知,在对称轴的左侧抛物线上存在点D,使得四边形坐标为(－2,－3),当OB为对角线即四边形OCBD是平行四边形时,D点即为A点,此时D点的坐标为(2,1)⑶如图2，由抛物线的对称性可知:AO＝AB,∠AOB＝∠ABO.若△BOP与△AOB相似,必定有∠POB＝∠BOA＝∠BPO设OP交抛物线的对称轴于A′点,显然A′(2,－1)

ODCB是平行四边形

,此时

D点的∴直线

OP的解析式为

y

1x

图22由

1

x

1x2

x,2

4得x1

0,x

2

6.∴P(6,－3)过P作PE⊥x轴,在Rt△BEP中,BE＝2,PE＝3,∴PB＝13≠4.∴PB≠OB,∴∠BOP≠∠BPO,∴△PBO与△BAO不相似,同理可说明在对称轴左侧的抛物线上也不存在吻合条件的P点.所以在该抛物线上不存在点P,使得△BOP与△AOB相似.练习1、解：（1）由已知可得：3a3b375a53b0解之得，a2，b53，c0．4233c0所以得，抛物线的解析式为：y2x253x．33（2）存在．设Q点的坐标为(m，n)，则n2m253m，33BQPB3nm332m253mm3要使△OCP∽△PBQ,，即33CP，则有333OC3解之得，m123，m22．当m23时，n2，即为Q点，所以得Q(23，2)1要使△OCP∽△QBP,BQPB，则有3nm332m253mm3，即33OCCP3333解之得，m133，m23，当m3时，即为P点，y当m133时，n3，所以得Q(33，3)．CB故存在两个Q点使得△OCP与△PBQ相似．3EQ点的坐标为(23，2)，(33，3)．12CP3．所以COP30o．ODAx（3）在Rt△OCP中，由于tanCOP图1OC3当Q点的坐标为(23，2)时，BPQCOP30o．所以OPQOCPBQAO90o．所以，△OPC，△PQB，△OPQ，△OAQ都是直角三角形．又在Rt△OAQ中，由于tanQOAQA3．所以QOA30o．AO3即有POQQOAQPBCOP30o．所以△OPC∽△PQB∽△OQP∽△OQA，又由于QP⊥OP，QA⊥OAPOQAOQ30o，yl所以△OQA≌△OQP．NCBM练习2GE解：（1）△OCD与△ADE相似。P原由以下：ODAx由折叠知，CDEB，90°∴12，Q1390o，23.90°又∵CODDAE90°，∴△OCD∽△ADE。（2）∵tanAE3EDA，∴设AE=3t，AD4则AD=4t。由勾股定理得DE=5t。∴OCABAEEBAEDE3t5t8t。由（1）△OCD∽△ADE，得OCCD，ADDE8tCD，4t5tCD10t。在△DCE中，∵CD2DE2CE2，∴(10t)2(5t)2(55)2，解得t=1。OC=8，AE=3，点C的坐标为（0，8），点E的坐标为（10，3），设直线CE的解析式为y=kx+b，10kb，k1，2∴，解得b8b8，∴y1x8，则点P的坐标为（16，0）。2（3）满足条件的直线l有2条：y=－2x+12，=2x－12。如图2：正确画出两条直线。练习3解：（1）Q二次函数图象极点的横坐标为1，且过点(2，3)和(3，12)，b，2a1a1，由4a2bc，解得，b239a3b212.c3.此二次函数的表达式为yx22x3．（2）假设存在直线l:ykx(k0)与线段BC交于点D（不与点B，C重合），使得以B，O，D为顶点的三角形与△BAC相似．在yx22x3中，令y0，则由x22x30，解得x11，x23xlA(10)，，B(3，0)．令x0，得y3．C(0，3)．C设过点O的直线l交BC于点D，过点D作DE⊥x轴于点E．DQ点B的坐标为(3，0)，点C的坐标为(0，3)，点A的坐标为(1，0)．AOEByAB，OC，OBCo4OB345.BC323232．要使△BOD∽△BAC或△BDO∽△BAC，x1已有BB，则只要BDBO，①BCBA或BOBD.②BCBA成立．若是①，则有BDBOgBC33292．BA44而OBC45o，BEDE．922在Rt△BDE中，由勾股定理，得2222．BEDE2BEBD49解得BEDE（负值舍去）．493OEOBBE3．44点D的坐标为394，．4将点D的坐标代入ykx(k0)中，求得k3．满足条件的直线l的函数表达式为y3x．［或求出直线AC的函数表达式为y3x3，则与直线AC平行的直线l的函数表达式为y3x．此时易知△BOD∽△BAC，再求出直线BC的函数表达式为yx3．联立y3x，yx3求得点D的坐标为394，．］4若是②，则有BDBOgBA342．BC232而OBC45o，BEDE．在Rt△BDE中，由勾股定理，得222BD22．BEDE2BE(22)解得BEDE2（负值舍去）．OEOBBE321．点D的坐标为(1，2)．将点D的坐标代入ykx(k0)中，求得k2．∴满足条件的直线l的函数表达式为y2x．存在直线l:y3x或y2x与线段BC交于点D（不与点B，C重合），使得以B，O，D为极点的三角形与△BAC相似，且点D的坐标分别为39或(12)，．4，4（3）设过点C(0，3)，E(1，0)的直线ykx3(k0)与该二次函数的图象交于点P．将点E(10)，的坐标代入ykx3中，求得k3．此直线的函数表达式为y3x3．设点P的坐标为(x，3x3)，并代入yx22x3，得x25x0．解得x15，x20（不合题意，舍去）．xC·Cx5，y12．点P的坐标为(5，12)．此时，锐角PCOACO．又Q二次函数的对称轴为x1，点C关于对称轴对称的点C的坐标为(2，3)．当xp5时，锐角PCOACO；当xp5时，锐角PCOACO；当2xp5时，锐角PCOACO．练习四解：（1）令y0，得x210解得x1令x0，得y1∴A(1,0)B(1,0)C(0,1)2）∵OA=OB=OC=1∴BAC=ACO=BCO=45o∵AP∥CB，∴PAB=45o过点P作Px轴于，则P为等腰直角三角形EEAE

yPAoBxC图1令OE=a，则PE=a1∴P(a,a1)∵点P在抛物线yx21上∴a1a21解得a12，a21（不合题意，舍去）∴PE=3∴四边形ACBP的面积S=1AB?OC+1AB?PE=12112342222(3)．假设存在∵PAB=BAC=45o∴PAAC∵MGx轴于点G，∴MGA=PAC=90o在Rt△AOC中，OA=OC=1∴AC=2y在Rt△PAE中，AE=PE=3∴AP=32MPGAoBx设M点的横坐标为m，则M(m,m21)①点M在y轴左侧时，则m1(ⅰ)当AMG∽PCA时，有AG=MGPACA∵AG=m1，MG=m21即m1m21322解得m11（舍去）m22（舍去）3(ⅱ)当MGP时有AG=MGA∽CACAPAm1m211（舍去）m22即23解得：m2∴M(2,3)②点M在y轴右侧时，则m1(ⅰ)当AMG∽PCA时有AG=MGPACAAG=m1，MG=m21m1m21解得m114∴322（舍去）m2347∴M(,)(ⅱ)当MAG∽PCA时有AG=MGCAPA即m1m21232解得：m11（舍去）m24

yPMGAoBxC图3∴M(4,15)∴存在点M，使以A、M、G三点为极点的三角形与PCA相似M点的坐标为(2,3)，(4,7)，(4,15)39练习5、解：（1）Q点A(3，0)，C(10)，AC4，BCtan∠BACAC343，B点坐标为(13)，4设过点A，B的直线的函数表达式为ykxb，0k(3)b得k3939y由kb，b直线AB的函数表达式为yx4B344421B作BDAB，交x轴于点D，P（）如图，过点在Rt△ABC和Rt△ADB中，Q∠BAC∠DABRt△ABC∽Rt△ADB，AOQCD点为所求又tan∠ADBtan∠ABC4图1，3CDBCtan∠ADB349ODOCCD1313，3444（3）这样的m存在y在Rt△ABC中，由勾股定理得AB5如图，当PQ∥BD时，△APQ∽△ABDB113mPm325则413，解得m539QOCA4图2如图2，当PQAD时，△APQ∽△ADB

xxm313m125则4135，解得m3364例1(2008福建福州)如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，、两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答以下问题：PQ1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明原由；2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）作QRSBPQ

12

解:(1)△BPQ是等边三角形,当t=2时,AP=2×1=2,BQ=2×2=4,所以BP=AB-AP=6-2=4,即BQ=BP又.由于∠B=600,所以△BPQ是等边三角形.(2)过Q作QE⊥AB,垂足为E,由QB=2t,得QE=2t·sin6003t,=由AP=t,得PB=6-t,所以SBPQ=1×BP×QE=1(6-t)×3t=－3t2+33t；222(3)由于QR∥BA,所以∠QRC=∠A=600，∠RQC=∠B=600，又由于∠C=600,所以△QRC是等边三角形,这时BQ=2t,所以QR=RC=QC=6-2t.由于BE=BQ·cos600=1×2t=t,AP=t,所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,2所以EP=QR,又EP∥QR,所以四边形EPRQ是平行四边形,所以PR=EQ=3t,由△APR∽△PRQ,获得APPR,即t3t,解得t=6,PRRQ3t62t5所以当t=6时,△APR∽△PRQ.5谈论:此题是双动点问题.动向问题是近几年来中考数学的热点题型.这类试题信息量大,对同学们获守信息和办理信息的能力要求较高;解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题,挖掘运动、变化的全过程,并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特别关系,动中取静,静中求动.例2(2008浙江温州)如图，在Rt△ABC中，A90o，AB6，AC8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQBC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQx，QRy．（1）求点D到BC的距离DH的长；2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；3）可否存在点P，使△PQR为等腰三角形？若存在，央求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明原由．解析:由△BHD∽△BAC,可得DH;由△RQC∽△ABC,可得y关于x的函数关系式;由腰相等列方程可得x的值;注意需分类谈论.解：（1）QARt，AB6，AC8，BC10．Q点D为AB中点，BD1AB3．2QDHBA90o，BB．△BHD∽△BAC，DHBD，BD312ACBCAC∴DH85BC10（2）QQR∥AB，QRCA90o．QCC，△RQC∽△ABC，RQQCy10xyABBC，10，即y关于x的函数关系式为：6（3）存在.按腰相均分三种情况：①当PQPR时，过点P作PMQR于M，则QMRM．Q1290o，C290o，1C．

x6．ARcos1cosC84QM4DPE，QP5，1M105B2CHQ13x618254，x125．5A5②当PQRQ时，3x612，DPE55Rx6．BCHQ③当PRQR时，则R为PQ中垂线上的点，于是点R为EC的中点，CR1CE1AC2．24QtanCQRBACR，CA3x66155，x28．2综上所述，当x为18或6或15时，△PQR为等腰三角形．52谈论:成立函数关系式,实质就是把函数y用含自变量x的代数式表示;要求使△PQR为等腰三角形的x的值,可假设△PQR为等腰三角形,找到等量关系,列出方程求解,由于题设中没有指明等腰三角形的腰,故还须分类谈论.五、以圆为载体的动点问题动点问题是初中数学的一个难点，中考经常观察，有一类动点问题，题中未说到圆，却与圆相关，只要巧妙地构造圆，以圆为载体，利用圆的相关性质，问题便会瓜熟蒂落；此类问题方法巧妙，耐人寻味。例1.在RtABC中，AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°，P是AB边上的动点（与点A、B不重合），Q是BC边上的动点（与点B、C不重合），当PQ与AC不平行时，△CPQ可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段CQ的长的取值范围；若不能能，请说明原由。（03年广州市中考）解析：不论P、Q怎样运动，∠PCQ都小于∠ACB即小于90°，又由于PQ与AC不平行，所以∠PQC不等于90°，所以只有∠CPQ为直角，△CPQ才可能是直角三角形，而要判断△CPQ可否为直角三角形，只要构造以CQ为直径的圆，依照直径所对的圆周角为直角，若AB边上的动点P在圆上，∠CPQ就为直角，否则∠CPQ就不能能为直角。以CQ为直径做半圆D。①当半圆D与AB相切时，设切点为M，连接DM，则DM⊥AB，且AC＝AM＝5所以MBABAM1358设CDx，则DMx，DB12x在RtDMB中，DB2DM2MB2，即122x282x解得：x10，所以CQ2x2033即当CQ20且点P运动到切点M的地址时，△CPQ为直角三角形。3②当20CQ12时，半圆D与直线AB有两个交点，当点P运动到这两个交点的地址时，△CPQ3为直角三角形。③当0CQ

20

时，半圆D与直线AB相离，即点P在半圆D之外，0＜∠CPQ＜90°，3此时，△CPQ不能能为直角三角形。所以，当20CQ12时，△CPQ可能为直角三角形。3例2.如图2，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＋BC＜DC，若腰DC上有动点P，使AP⊥BP，则这样的点有多少个？解析：由条件AP⊥BP，想到以AB为直径作圆，若CD与圆订交，依照直径所对的圆周角是90°，两个交点即为点P；若CD与圆相切，切点即是点P；若CD与圆相离，则DC上不存在动点P，使AP⊥BP。解：如图3，以AB为直径做⊙O，设⊙O与CD切于点E由于∠B＝∠A＝90°所以AD、BC为⊙O的切线即AD＝DE，BC＝CE所以AD＋BC＝CD而条件中AD＋BC＜DC，我们把CD向左平移，如图4，CD的长度不变，AD与BC的长度缩短，此时AD＋BC＜DC，点O到CD的距离OE小于⊙O的半径OE，CD与⊙O订交，∠AP1B和∠AP2B是直径AB所对的圆周角，都为90°，所以交点P1、P2即为所求。所以，腰DC上使AP⊥BP的动点P有2个。例3.如图5，△ABC的外面有一动点P（在直线BC上方），分别连接PB、PC，试确定∠BPC与∠BAC的大小关系。（02年广州市中考）解析：∠BPC与∠BAC之间没有联系，要确定∠BPC与∠BAC的大小关系，必定找合适的载体，作为它们之间的桥梁，这道桥梁就是圆，经过构造△ABC的外接圆，问题就会瓜熟蒂落。（1）当点P在△ABC外接圆外时，如图5，连接BD，依照外角大于任何一个与它不相邻的内角，∠BPC＜∠BDC又由于∠BDC＝∠BAC，所以∠BPC＜∠BAC；2）当点P在△ABC外接圆上时，如图6，依照同弧所对的圆周角相等，∠BPC＝∠BAC；3）当点P在△ABC外接圆内时，如图7，延长BP交△ABC外接圆于点D，连接CD，则∠BPC＞∠BDC，又∠BDC＝∠BAC，故∠BPC＞∠BAC。综上，知当点P在△ABC外接圆外时，∠BPC＜∠BAC；当点P在△ABC外接圆上时，∠BPC＝∠BAC；当点P在△ABC外接圆内时，∠BPC＞∠BAC。专题七、2010中考数学热点专题打破训练――动点问题动点试题是近几年中考命题的热点，与一次函数、二次函数等知识综合，组成中考试题的压轴题.动点试题大体分为点动、线动、图形动三各种类.动点试题要以静代动的解题思想解题.下面就中考动点试题进行解析.例1（2006年福建晋州）如图，在平行四边形ABCD中，AD=4cm，∠A=60°，BD⊥AD.一动点

P从

A出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD.1．当点

P运动

2秒时，设直线

PM与

AD订交于点

E，求△APE的面积；2．当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B的路线运动，且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动，（当P、Q中的某一点到达终点，则两点都停止运动.）过Q作直线QN，使QN∥PM，设点Q运动2的时间为t秒（0≤t≤8），直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为S（cm）.1）求S关于t的函数关系式；2）求S的最大值.1.解析：此题为点动题，所以，1)搞清动点所走的路线及速度，这样就能求出相应线段的长；2）分析在运动中点的几种特别地址.由题意知，点

P为动点，所走的路线为：

A→B→C

速度为

1cm/s。而

t=2s，故可求出

AP的值，进而求出△APE的面积.略解：由AP=2，∠A=60°得AE=1，EP=.所以.解析：两点同时运动，点P在前，点Q在后，速度相等，所以两点距出发点A的距离相差总是在AB边上运动后，又到BC边上运动.所以PM、QN截平行四边形ABCD所得图形不一样.故分两种情况：（1）①当

P、Q都在

AB上运动时，PM、QN截平行四边形

ABCD所得的图形永远为直角梯形

.此时

0≤t≤6.②当

P在

BC上运动，而

Q在

AB边上运动时，画出相应图形，所成图形为六边形

DFQBPG不.规则图形面积用割补法.此时6＜t≤8.⑴略解：①当P、Q同时在AB边上运动时，0≤t≤6.AQ=t,AP=t+2,AF=t,QF=t,AG=(t+2),由三角函数PG=(t+2),FG=AG-AF=(t+2)-t==·(QF+PG)·FG=[t+(t+2)]·1=t+.②当6＜t≤8时，S=S平行四边形ABCD-S△AQF-S△GCP.易求S平行四边形ABCD=16,S△AQF=AF·QF=t2.而S△CGP=PC·PG,PC=4-BP=4-(t+2-8)=10-t.由比率式可得∴PG=(10-t).∴S△CGP=PC·PG=(10-t)·(10-t)=(10-t)2.∴S=16-t22-(10-t)=(6＜t≤8⑵解析:求面积的最大值时,应用函数的增减性求.若题中分多种情况,那么每一种情况都要分别求出最大值，尔后综合起来得出一个结论.此题分两种情况,那么就分别求出0≤t≤6和6＜t≤8时的最大值.0≤t≤6时,是一次函数,应用一次函数的性质,由于一次项系数是正数,面积S随t的增大而增大.当6＜t≤8时,是二次函数,应用配方法或公式法求最值.略解：由于所以t=6时，S最大＝；由于

S＝(6＜t≤8,所以

t=8

时，S最大=6.综上所述

,

当

t=8

时，S最大=6.例2．（2006年锦州市）如图，在平面直角坐标系中，四边形∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒与菱形OABC的两边分别交于点M、N(点M在点N的上方).

OABC为菱形，点C的坐标为(4,0)1个单位长度的速度运动，设直线

，

l求A、B两点的坐标；2.设△OMN的面积为S，直线l运动时间为t秒(0≤t≤6)，试求S与t的函数表达式；在题(2)的条件下，t为什么值时，S的面积最大？最大面积是多少？解析：由菱形的性质、三角函数易求A、B两点的坐标.解：∵四边形OABC为菱形，点C的坐标为(4,0)，OA=AB=BC=CO=4如图.①，过点A作AD⊥OC于D.∵∠AOC=60°，∴OD=2，AD=.A(2,)，B（6,）.解析：直线l在运动过程中，随时间t的变化，△MON的形状也不断变化，所以，第一要把所有情况画出相应的图形，每一种图形都要相应写出自变量的取值范围。这是解决动点题要点之一.直线l从y轴出发，沿x轴正方向运动与菱形OABC的两边订交有三种情况：①0≤t≤2时，直线l与OA、OC两边订交(如图①).②2＜t≤4时，直线l与AB、OC两边订交(如图②).③4＜t≤6时，直线l与AB、BC两边订交(如图③).略解：①∵MN⊥OC，∴ON=t.∴MN=ONtan60°=.∴S=ON·MN=t2.②S=ON·MN=t·2=t.③方法一：设直线l与x轴交于点H.∵MN＝2-(t-4)=6-t,∴S=MN·OH=(6-t)t=-t2+3t.方法二：设直线l与x轴交于点H.∵S=S△OMH-S△ONH，∴S=t·2-t·(t-4)=-t2+3t.方法三：设直线l与x轴交于点H.∵S=,=4×2=8,=·2·(t-2)=t-2,=·4·(t-4)=2t-8,=(6-t)(6-t)=18-6t+t2,∴S=8-(t-2)-(2t-8)-(18-6t+t2)=-t2+3t.3.求最大面积的时候，求出每一种情况的最大面积值，尔后再综合每种情况，求出最大值.略解：由2知，当0≤t≤2时，=×22=2；当2＜t≤4时，=4；当4＜t≤6时，配方得S=-(t-3)2+，2的最大值是.∴当t=3时，函数S＝-t+3t但t=3不在4＜t≤6内，∴在4＜t≤6内，函数S＝-t2+3t的最大值不是.而当t＞3时，函数S＝-t2+3t随t的增大而减小，∴当4＜t≤6时，S＜4.综上所述，当t=4秒时，=4.练习1（2006年南安市）以下列图，在直角坐标系中，矩形ABCD的边AD在x轴上，点A在原点，AB＝3，AD＝5．若矩形以每秒2个单位长度沿x轴正方向作匀速运动．同时点P从A点出发以每秒1个单位长度沿A－B－C－D的路线作匀速运动．当P点运动到D点时停止运动，矩形ABCD也随之停止运动．⑴求P点从A点运动到D点所需的时间；⑵设P点运动时间为t（秒）.当t＝5时，求出点P的坐标；若⊿OAP的面积为s，试求出s与t之间的函数关系式（并写出相应的自变量t的取值范围）．解:（1）P点从A点运动到D点所需的时间＝（3+5+3）÷1＝11（秒）.（2）当t＝5时，P点从A点运动到BC上，此时OA=10,AB+BP=5，∴BP=2.过点P作PE⊥AD于点E，则PE=AB=3,AE=BP=2.OE=OA+AE=10+2=12∴.点P的坐标为（12，3）．分三种情况：．当0＜t≤3时，点P在AB上运动，此时OA=2t,AP=t，∴s=×2t×t=t2.．当3＜t≤8时，点P在BC上运动，此时OA=2t，∴s=×2t×3=3t.．当8＜t＜11时，点P在CD上运动，此时OA=2t,AB+BC+CP=t，∴DP=(AB+BC+CD)-AB+BC+CP)=11-t.∴s=×2t×(11-t)=-t2+11t.综上所述，s与t之间的函数关系式是：当0＜t≤3时，s=t2；当3＜t≤8时，s=3t；当8＜t＜11时，s=-t2+11t.练习2如图，边长为4的正方形的极点O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴OABC的正半轴上．动点D在线段BC上搬动（不与B，C重合），连接OD，过点D作DE⊥OD，交边AB于点E，连接OE．1）当CD=1时，求点E的坐标；2）若是设CD=t，梯形COEB的面积为S，那么可否存在S的最大值？若存在，央求出这个最大值及此时t的值；若不存在，请说明原由．解：(1)正方形OABC中，由于ED⊥OD，即∠ODE=90°，所以∠COD=90°-∠CDO，而∠EDB=90°-∠CDO，所以∠COD=∠EDB.又由于∠OCD=∠DBE=90°，所以△CDO∽△BED.所以，即，BE=，则.所以点E的坐标为（4，）．存在S的最大值．由于△∽△，所以，即，BE=－t2.CDOBEDt2×4×(4＋t－t)．故当t=2时，S有最大值10．1、（09包头）如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点．（1）若是点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与可否全等，请说明原由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点第一次在的哪条边上相遇？AQDQBPC解：（1）①∵秒，∴厘米，∵厘米，点为的中点，∴厘米．又∵厘米，∴厘米，∴．又∵，∴，∴．··································（4分）②∵，∴，又∵，，则，∴点，点运动的时间秒，∴厘米/秒．······························（7分）（2）设经过秒后点与点第一次相遇，由题意，得，解得秒．∴点共运动了厘米．∵，∴点、点在边上相遇，∴经过秒点与点第一次在边上相遇．···················（12分）2、（09齐齐哈尔）直线与坐标轴分别交于两点，动点同时从点出发，同时到达点，运动停止．点沿线段运动，速度为每秒1个单位长度，点沿路线→→运动．1）直接写出两点的坐标；2）设点的运动时间为秒，的面积为，求出与之间的函数关系式；3）当时，求出点的坐标，并直接写出以点为极点的平行四边形的第四个极点的坐标．y解（1）A（8，0）B（0，6）·····1分B（2）点由到的时间是（秒）P点的速度是（单位/秒）·······1分当在线段上运动（或0）时，xOQ1分······································A当在线段上运动（或）时，,如图，作于点，由，得，···························1分······································1分（自变量取值范围写对给1分，否则不给分．）（3）···································1分······································3分3（09深圳）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴订交于A，B两点，点P（0，）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙.kP（1）连接PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的地址关系，并说明原由；（2）当k为什么值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为极点的三角形是正三角形？解：（1）⊙P与x轴相切.∵直线y=－2x－8与x轴交于A（4，0），与y轴交于B（0，－8），∴OA=4，OB=8.由题意，OP=－k，PB=PA=8+k.在Rt△AOP中，k2+42=(8+k)2，∴k=－3，∴OP等于⊙P的半径，∴⊙P与x轴相切.2）设⊙P与直线l交于C，D两点，连接PC，PD当圆心P在线段OB上时,作PE⊥CD于E.∵△PCD为正三角形，∴DE=CD=，PD=3，PE=.∵∠AOB=∠PEB=90°，∠ABO=∠PBE，∴△AOB∽△PEB，∴，∴∴，∴，∴.当圆心P在线段OB延长线上时,同理可得P(0,－－8)，∴k=－－8，∴当k=－8或k=－－8时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为极点的三角形是正三角形.4（09哈尔滨）如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．（1）求直线AC的解析式；（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当t为什么值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．解：5（09河北）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿以每秒1个单AB位长的速度向点B匀速运动．陪同着P、Q的运动，DE保持垂直均分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点．点、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点、运