一元二次方程知识点

第23章知识点•1.一元二次方程的定义（重点），要求:会判断某个方程是否为一元二次方程;一元二次方程的一般形式为:ax2+bx+c=0,a^^会确定方程的各项系数会将一个一元二次方程化为一般形式，并指出各项系数;会求某个一元二次方程成立的条件;知道方程的一个根，会求方程中相关字母的值.•2.解一元二次方程的方法共有四种方法:直接开平方法;因式分解法;（3）配方法;（4）公式法.3.直接开平方法适用于解形如x2=b,（mx+a）=b的方程，如果b>0,就可以利用直接开平方法来解.4.因式分解法适用于将方程化为一般形式后左边能进行因式分解的方程，具体方法是:将方程化为一般形式;将方程的左边分解为两个一次因式的乘积;令每一个因式等于0，就得到两个一元一次方程;解两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.•5.配方法本方法需要与直接开平方法共同求解，具体方法是:将方程化为一般形式;方程两边同时除以二次项系数，把

二次项系数化为1;移项:把常数项移到方程的右边;配方:在方程两边各加上一次项系数一半的平方，使左边成为完全平方式.求解:如果方程的右边整理后是非负数，就可以用直接开平方法求解，若右边是负数，则表示原方程无解.注意:使用本方法一定要将方程的二次项系数化为1.举例:二次项系数化为“1”后，直接进行配方，如下x2x2+px+2=-q+■6.公式法使用本方法时要将方程化为一般形式，确定各项系数.具体方法是:(1)一化:将方程化为一般形式；(2)二定：确定a,b,c的值及A=b2-4ac的值；(3)三判:根据a判断方程是否有解①若A=b2-4ac>0，则方程有两个实数解；②若A=b2-4ac<0,则方程无解.(4)四代:将各项系数代入求根公式，卡主日八一以I-b士b2-4以求根公式为X二j2a•7.另一种方法:换元法本方法常常用来求解高次方程，通过换元来达到求解的目的.此类题目如：例1.解方程X4-X2-6=0［分析］本题可设m=x2,从而原方程转化为关于m的一元二次方程m2-m—6—0,通过求解m来达到求解x的目的.(例2.解方程X+V_2［分析］本题可设m=X+〒.从而原方程转化为Xm2-m-1=0•8.根的判别式A=b2-.判别式a=b2FW号与一元二次方程的解有关:当A=b2-4ac三0时，方程有两个实数根；当A=b2-4ac<0时，方程无解(即无实数根).当A=b2-4ac〉0时，方程有两个不相等的实数根；当A=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根.•9.韦达定理韦达定理反映了一元二次方程的根与系数之间的关系.若元二次方程>x+c=0(a中0)的两根分别为x,x,则有12bx+x=-(1)i2a；X•X=⑵i2a•10.典型例题例1.已知(a2+b2-3)Ca2+b2+1)=12,求a2+b2的值.

［分析］这里可设m=a2+b2,原方程化为(m-3)m+1)=12,展开整理得m2-2m-15=0.例2.先用配方法说明:不论x取何值，代数式x2-6x+10的值总大于0，再求出当x取何值时，此代数式的值最小，最小值为多少?［分析］代数式x2-6x+10配方后为：(x-3)+1,V(x-3)>0,「.(x-3)+1〉0,即代数式的值大于0.例3.已知关于x的方程2x2-4x+3q=0的一个根是1-、2,求它的另一个根及q的值.［分析］知道方程的一个根求另一个根，使用韦达定理，这里可设另一个根为m，根据韦达定理则有出m和韦达定理则有出m和q的值.mG-2)=7即可求例4.学校计划用地面砖铺设教学楼前矩形广场的地面ABCD,已知广场的长为100m,宽为80m,图案设计如下图所示:广场的四个角为正方形，阴影部分为四个矩形，阴影部分铺绿色地面砖，其余部分铺白色地面砖.要使铺白色地面砖的面积为5200平方米，那么小正方形的边长为多少米？如果铺白色地面砖的费用为30元每平方米，铺绿色地面砖的费用为20元每平方米，当小正方形的边长为多少时，铺广场地面的总费用最少？最少费用是多少？AD例5.已知x,x是一元二次方程2x2—2x+1-3m=0的两个实数根，且x,x满足不等式xx+2（x+x）＞0,求实数m的取值范围.12■11.平均增长率问题b=a（1+x）n平均增