(新高考)高考数学三轮冲刺解答题核心考点练第13讲《解析几何中的定点定值最值问题》（解析版）

第13讲解析几何中的定点定值最值问题高考预测一：最值问题类型一：弦长或面积问题1．如图，已知抛物线SKIPIF1<0的焦点在抛物线SKIPIF1<0上，点SKIPIF1<0是抛物线SKIPIF1<0上的动点．（Ⅰ）求抛物线SKIPIF1<0的方程及其准线方程；（Ⅱ）过点SKIPIF1<0作抛物线SKIPIF1<0的两条切线，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别为两个切点，求SKIPIF1<0面积的最小值．【解析】解：（Ⅰ）抛物线SKIPIF1<0的焦点SKIPIF1<0在抛物线SKIPIF1<0上，即有SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，其准线方程为SKIPIF1<0．（Ⅱ）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的导数为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，则切线SKIPIF1<0的方程：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理切线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都过SKIPIF1<0点，所以SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．联立SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取最小值为2．即SKIPIF1<0面积的最小值为2．2．已知椭圆SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，且离心率为SKIPIF1<0．（1）求椭圆SKIPIF1<0的方程；（2）设直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于两个不同的点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0面积的最大值SKIPIF1<0为坐标原点）【解析】解：（1）SKIPIF1<0椭圆SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，且离心率为SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．（2）联立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，△SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面积：SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0面积取最大值SKIPIF1<0．3．已知椭圆SKIPIF1<0的长轴长是短轴长的SKIPIF1<0倍，且椭圆SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0．（1）求椭圆SKIPIF1<0的方程；（2）设不与坐标轴平行的直线SKIPIF1<0交椭圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0，记直线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上的截距为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值．【解析】解：（1）由题意可知：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入椭圆方程：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0椭圆SKIPIF1<0的方程：SKIPIF1<0；（2）设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，由△SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，上式取等号，此时SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0．4．已知椭圆SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，且一个焦点为SKIPIF1<0．过点SKIPIF1<0作圆SKIPIF1<0的切线SKIPIF1<0交椭圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点．（Ⅰ）求椭圆SKIPIF1<0的方程；（Ⅱ）将SKIPIF1<0表示为SKIPIF1<0的函数，并求SKIPIF1<0的最大值．【解析】解：（Ⅰ）由题意，设椭圆的方程为SKIPIF1<0SKIPIF1<0椭圆SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，且一个焦点为SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0；（Ⅱ）由题意知，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，切线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，设SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，代入椭圆方程可得SKIPIF1<0设SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的坐标分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0（当且仅当SKIPIF1<0时取等号）SKIPIF1<0的最大值为2．5．已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，且过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0的直线交椭圆于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，过SKIPIF1<0的直线交椭圆于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0．（1）求椭圆SKIPIF1<0的标准方程；（2）求四边形SKIPIF1<0面积的最小值．【解析】解：（1）由SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0，将点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入椭圆方程SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0．解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0椭圆SKIPIF1<0的标准方程：SKIPIF1<0．（2）（ⅰ）当SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0存在且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，代入椭圆方程SKIPIF1<0，并化简得SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0．四边形SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，上式取等号．（ⅱ）当SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0或斜率不存在时，四边形SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0．综上，四边形SKIPIF1<0的面积的最小值为SKIPIF1<0．6．设圆SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0且与SKIPIF1<0轴不重合，SKIPIF1<0交圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的平行线交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．（Ⅰ）证明SKIPIF1<0为定值，并写出点SKIPIF1<0的轨迹方程；（Ⅱ）设点SKIPIF1<0的轨迹为曲线SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，过SKIPIF1<0且与SKIPIF1<0垂直的直线与圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，求四边形SKIPIF1<0面积的取值范围．【解析】解：（Ⅰ）证明：圆SKIPIF1<0即为SKIPIF1<0，可得圆心SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即为SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的轨迹为以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为焦点的椭圆，且有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的轨迹方程为SKIPIF1<0；（Ⅱ）椭圆SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则四边形SKIPIF1<0面积为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值12，又SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即有四边形SKIPIF1<0面积的取值范围是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．7．已知椭圆SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，且离心率为SKIPIF1<0．（1）求椭圆SKIPIF1<0的方程；（2）若点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上，且四边形SKIPIF1<0是矩形，求矩形SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0的最大值【解析】解：（1）由题意可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．（2）由题意知直线SKIPIF1<0不垂直于SKIPIF1<0轴时，可设直线SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，△SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0设直线SKIPIF1<0SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0矩形SKIPIF1<0面积SKIPIF1<0SKIPIF1<0矩形SKIPIF1<0面积SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，此时直线SKIPIF1<0．类型二：涉及坐标、向量数量积等问题8．已知椭圆SKIPIF1<0的左焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为坐标原点．SKIPIF1<0求过点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，并且与椭圆的左准线SKIPIF1<0相切的圆的方程；SKIPIF1<0设过点SKIPIF1<0且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，线段SKIPIF1<0的垂直平分线与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0，求点SKIPIF1<0横坐标的取值范围．【解析】解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0圆过点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0圆心SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上．设SKIPIF1<0，则圆半径SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0所求圆的方程为SKIPIF1<0．SKIPIF1<0设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0过椭圆的左焦点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0方程有两个不等实根．记SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0的垂直平分线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0点SKIPIF1<0横坐标的取值范围为SKIPIF1<0．9．已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，动点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，记动点SKIPIF1<0的轨迹为曲线SKIPIF1<0，（1）求动点SKIPIF1<0的轨迹SKIPIF1<0的方程；（2）直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0交于不同的两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围．【解析】解：（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0点SKIPIF1<0的轨迹是以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为焦点的椭圆，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，曲线SKIPIF1<0的方程是SKIPIF1<0．（2）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点坐标分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0△SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，韦达定理代入，化简得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0△SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0也满足题意．综上所述，SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0，SKIPIF1<010．如图所示，椭圆SKIPIF1<0的左顶点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0上异于点SKIPIF1<0的任意一点，点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0关于点SKIPIF1<0对称．（Ⅰ）若点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；（Ⅱ）若椭圆SKIPIF1<0上存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，求实数SKIPIF1<0的取值范围．【解析】解：（Ⅰ）依题意，SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的中点，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由于点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上，即有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；（Ⅱ）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，①因为SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．②由①，②消去SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．当且仅当SKIPIF1<0时，上式等号成立．所以SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．11．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若动点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0．（1）求动点SKIPIF1<0的轨迹SKIPIF1<0的方程；（2）设过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0交轨迹SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，若SKIPIF1<0，求直线SKIPIF1<0的斜率的取值范围．【解析】解：（1）设动点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（2分）由已知得SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0点SKIPIF1<0的轨迹是椭圆SKIPIF1<0（6分）（Ⅱ）设过SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0（8分）SKIPIF1<0在椭圆内，SKIPIF1<0△SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0（10分）SKIPIF1<0SKIPIF1<0（12分）SKIPIF1<0SKIPIF1<0得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（14分）高考预测二：定值问题12．已知焦距为SKIPIF1<0的椭圆中心在原点SKIPIF1<0，短轴的一个端点为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为直线SKIPIF1<0与该椭圆在第一象限内的交点，平行SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0交椭圆与SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0．【解析】SKIPIF1<0解：设椭圆的方程为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由题意可得SKIPIF1<0，及SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0椭圆的方程为SKIPIF1<0．SKIPIF1<0证明：联立SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．联立SKIPIF1<0，化为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，其分子SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．13．已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为8．（1）求椭圆SKIPIF1<0的方程；（2）如图，斜率为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0的上方，若SKIPIF1<0，且直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求线段SKIPIF1<0的长度．【解析】解：（1）由椭圆的离心率SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为8，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则椭圆的标准方程为：SKIPIF1<0；（2）设直线SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，△SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是等腰直角三角形，则SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0的长度4．14．已知椭圆SKIPIF1<0的两个焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．点SKIPIF1<0与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．（Ⅰ）求椭圆SKIPIF1<0的方程；（Ⅱ）已知点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．过点SKIPIF1<0任作直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，设直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，试求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足的关系式．【解析】解：（Ⅰ）依题意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．SKIPIF1<0（4分）（Ⅱ）①当直线SKIPIF1<0的斜率不存在时，由SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0．不妨设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的关系式为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．SKIPIF1<0（7分）②当直线SKIPIF1<0的斜率存在时，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．将SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0整理化简得，SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0（9分）又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．SKIPIF1<0（12分）所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的关系式为SKIPIF1<0．SKIPIF1<0（13分）综上所述，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的关系式为SKIPIF1<0．SKIPIF1<0（14分）15．已知椭圆SKIPIF1<0的两个焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以椭圆短轴为直径的圆经过点SKIPIF1<0．（1）求椭圆SKIPIF1<0的方程；（2）过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，设点SKIPIF1<0，记直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，问：SKIPIF1<0是否为定值？并证明你的结论．【解析】解：（1）SKIPIF1<0椭圆SKIPIF1<0的两个焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以椭圆短轴为直径的圆经过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0是定值．证明如下：设过SKIPIF1<0的直线：SKIPIF1<0或者SKIPIF1<0①SKIPIF1<0时，代入椭圆，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．②SKIPIF1<0代入椭圆，SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．高考预测三：定点问题16．已知椭圆SKIPIF1<0的中心在坐标原点，右焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0的左、右顶点，SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0上异于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的动点，且SKIPIF1<0面积的最大值为SKIPIF1<0．（1）求椭圆SKIPIF1<0的方程；（2）是否存在一定点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使得当过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点时，SKIPIF1<0为定值？若存在，求出定点和定值；若不存在，请说明理由．【解析】解：（1）设椭圆SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0．SKIPIF1<0面积的最大值为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．联立SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．（2）假设存在一定点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使得当过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点时，SKIPIF1<0为定值．当SKIPIF1<0轴时，把SKIPIF1<0代入椭圆方程可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴不垂直时，设直线SKIPIF1<0的参数方程为SKIPIF1<0为参数），代入椭圆方程可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．令SKIPIF1