微分方程模型之传染病模型与经济增长模型

微分方程模型传染病模型2

经济增长模型动态模型

描述对象特征随时间(空间)的演变过程

分析对象特征的变化规律

预报对象特征的未来性态

研究控制对象特征的手段

根据函数及其变化率之间的关系确定函数微分方程建模

根据建模目的和问题分析作出简化假设

按照内在规律或用类比法建立微分方程1传染病模型问题

描述传染病的传播过程

分析受感染人数的变化规律

预报传染病高潮到来的时刻

预防传染病蔓延的手段

按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型

已感染人数(病人)i(t)

每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为模型1假设若有效接触的是病人，则不能使病人数增加必须区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模?模型2区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假设1）总人数N不变，病人和健康人的比例分别为2）每个病人每天有效接触人数为,且使接触的健康人致病建模~日接触率SI模型模型21/2tmii010ttm~传染病高潮到来时刻(日接触率)tmLogistic模型病人可以治愈！?t=tm,di/dt最大模型3传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染增加假设SIS模型3）病人每天治愈的比例为~日治愈率建模~日接触率1/~感染期~一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。模型3i0i0接触数=1~阈值感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人数1-1/i0模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例idi/dt01>10ti>11-1/i0t1di/dt<0模型4传染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系统，称移出者SIR模型假设1）总人数N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为2）病人的日接触率

,日治愈率,

接触数=/建模需建立的两个方程模型4SIR模型无法求出的解析解在相平面上研究解的性质模型4消去dtSIR模型相轨线的定义域相轨线11si0D在D内作相轨线的图形，进行分析si101D模型4SIR模型相轨线及其分析传染病蔓延传染病不蔓延s(t)单调减相轨线的方向P1s0imP1:s0>1/σi(t)先升后降至0P2:s0<1/σ

i(t)单调降至01/σ~阈值P3P4P2S0模型4SIR模型预防传染病蔓延的手段(日接触率)卫生水平(日治愈率)医疗水平传染病不蔓延的条件——s0<1/的估计

降低s0提高r0

提高阈值1/

降低(=/),群体免疫模型4SIR模型被传染人数的估计记被传染人数比例x<<s0i0P1i00,s01小,s01提高阈值1/σ降低被传染人数比例xs0-1/=15新产品销售模型经济学家和社会学家们一直关注新产品的销售速度问题，希望能建立一个数学模型来描述它，并用来指导生产。记t时已售出的产品数为x(t)。假设该产品使用方便，这些正在使用的新产品实际上起着宣传品的作用，吸引着尚未购买的顾客，使每一个新产品实际上在单位时间内平均吸引r个顾客，由此得到下列关系式：16把它变形写成微分的形式：两边积分得：即若x(0)=x0，则可得销售函数为积分结果为：17

当通过努力已有x0的产品投入使用，这时函数x(t)=x0ert使在开始的阶段能较好地反映真实的销售情况。但这个函数有缺陷：①取t=0表示新产品诞生的时刻，即x(0)=0，这时销售函数为x(t)=0，显然不符合事实。原因是我们只考虑了实物广告的作用，而忽略了厂家可以通过其它方式宣传新产品，从而打开销路的可能性。②在x(t)=x0ert中，若令t→+∞，则有x(t)→+∞，这也与事实不符。事实上，x(t)应该有一个上界。设需求量的上界为K，则尚未使用新产品的户数为K-x(t)。由统计规律可知，18两边积分得：写成显函数为若x(0)=x0，则可得销售函数为其图像称为增长曲线或Logistic曲线。19直接求导是麻烦的，我们转而考虑20

由以上讨论可知，当销售量小于最大需求量的一半时，销售速度越来越大；当销售量大于最大需求量的一半时，销售速度越来越小。而当销售量等最大需求量的一半时，销售速度最大，产品最畅销。国外学者普遍认为，对于某一新产品，当有30﹪~80﹪的用户采用时，正是该产品大批量生产的合适期。当然，还应注意在初期可小批量生产并辅以广告宣传，而后期则应适时转产或开发新产品，这样可以使厂家获得较高的经济效益。5.2

经济增长模型增加生产发展经济增加投资增加劳动力提高技术

建立产值与资金、劳动力之间的关系

研究资金与劳动力的最佳分配，使投资效益最大

调节资金与劳动力的增长率，使经济(生产率)增长1.道格拉斯(Douglas)生产函数

产值Q(t)F为待定函数资金K(t)劳动力L(t)技术f(t)=f0模型假设静态模型每个劳动力的产值每个劳动力的投资z随着

y的增加而增长，但增长速度递减yg(y)01.道格拉斯(Douglas)生产函数含义？Douglas生产函数QK~单位资金创造的产值QL~单位劳动力创造的产值~资金在产值中的份额1-~劳动力在产值中的份额更一般的道格拉斯(Douglas)生产函数1.Douglas生产函数w,r,K/L求资金与劳动力的分配比例K/L(每个劳动力占有的资金)，使效益S最大资金和劳动力创造的效益资金来自贷款，利率r劳动力付工资w2）资金与劳动力的最佳分配（静态模型）3)经济(生产率)增长的条件(动态模型)要使Q(t)或Z(t)=Q(t)/L(t)增长,K(t),L(t)应满足的条件模型假设

投资增长率与产值成正比(用一定比例扩大再生产)

劳动力相对增长率为常数Bernoulli方程产值Q(t)增长dQ/dt>03)经济增长的条件劳动力增长率小于初始投资增长率每个劳动力的产值Z(t)=Q(t)/L(t)增长dZ/dt>03)经济增长的条件5.6人口预测和控制

年龄分布对于人口预测的重要性

只考虑自然出生与死亡，不计迁移人口发展方程人口发展方程一阶偏微分方程人口发展方程~已知函数（人口调查）~生育率（控制人口手段）0tr生育率的分解~总和生育率h~