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文档简介
2021年江西省赣州市全南中学高二数学理下学期期末试卷含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.若方程表示焦点在y轴上的椭圆,则下列关系成立的是()
A. B.
C. D.参考答案:A略2.求曲线与直线x=0,x=2和x轴所围成的封闭图形的面积,其中正确的是(
) A.
B.
C.
D.参考答案:C3.关于直线与平面的命题中,一定正确的是(
)若,则
若,则若,则
若,则参考答案:C4.复数z=在复平面内对应的点所在象限为 (
)
(
)A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限参考答案:C5.函数f(x)=ax(x﹣2)2(a≠0)有极大值,则a等于()A.1 B. C.2 D.3参考答案:B【考点】函数在某点取得极值的条件.【分析】利用导数分a>0,a<0两种情况求得f(x)的极大值,使其等于,解此方程即可求得a值.【解答】解:f′(x)=a(x﹣2)(3x﹣2),(1)当a>0时,由f′(x)>0得x<或x>2;由f′(x)<0得<x<2,所以f(x)在(﹣∞,),(2,+∞)上单调递增,在(,2)上单调递减;此时,当x=时f(x)取得极大值f()=a(﹣2)2=,解得a=;(2)当a<0时,由f′(x)<0得x<或x>2;由f′(x)>0得<x<2,所以f(x)在(﹣∞,),(2,+∞)上单调递减,在(,2)上单调递增;此时,当x=2时f(x)取得极大值f(2)=2a(2﹣2)2=,无解;综上所述,所求a值为.故选B.6.已知数列为等差数列,公差,、、成等比,则的值为(
)
A.
B.
C.
D.参考答案:C略7.双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是()A.4 B.4 C.2 D.2参考答案:B【考点】双曲线的简单性质.【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】双曲线方程化为标准方程,即可确定实轴长.【解答】解:双曲线2x2﹣y2=8,可化为∴a=2,∴双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是4故选B.【点评】本题考查双曲线的几何性质,考查学生的计算能力,属于基础题.8.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于点A.若|AF|=3,则点A的坐标为()A.(2,2) B.(2,﹣2) C.(2,±2) D.(1,±2)参考答案:C【考点】抛物线的简单性质.【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】确定抛物线y2=4x的准线方程,利用抛物线的定义,可求A点的横坐标,即可得出A的坐标.【解答】解:抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣1,F(1,0).设A(x,y),∵|AF|=3,∴根据抛物线的定义可得|AF|=3=x+1,∴x=2,∴y=,∴A的坐标为(2,).故选:C,【点评】抛物线的定义告诉我们:抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离.9.在等比数列中,,,,则项数为()
A.3
B.4
C.5
D.6参考答案:C略10.在△ABC中,如果(a+b+c)(b+c﹣a)=3bc,那么角A=()A.30° B.60° C.120° D.150°参考答案:B【考点】余弦定理.【分析】由(a+b+c)(b+c﹣a)=3bc,可得b2+c2﹣a2=bc,利用余弦定理即可求得角A.【解答】解:∵(a+b+c)(b+c﹣a)=3bc,∴(b+c)2﹣a2=3bc,∴b2+c2﹣a2=bc,∵b2+c2﹣a2=2bccosA,∴2cosA=1,∴cosA=,又A∈(0°,180°),∴A=60°.故选:B.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.《聊斋志异》中有这样一首诗:“挑水砍柴不堪苦,请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻,额上纹起终不悟.”在这里,我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”:,,,,……,则按照以上规律,若具有“穿墙术”,则n=
.参考答案:9999,,,,按照以上规律,可得.
12.采用系统抽样从含有8000个个体的总体(编号为0000,0001,…,,7999)中抽取一个容量为50的样本,已知最后一个入样编号是7900,则最前面2个入样编号是
参考答案:0060,0220
13.设是等差数列{}的前n项和,已知=3,=11,则等于_________________
参考答案:6314.为真命题是为真命题的_____________条件.参考答案:必要不充分略15.用反证法证明命题“如果>,那么>”时,假设的内容应为
。命题意图:基础题。考核反证法的理论基础。常见错误会是与否命题混淆。参考答案:假设=或<16.设、满足约束条件,则的最大值是
参考答案:517.通过直线及圆的交点,并且有最小面积的圆的方程为
参考答案:略三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.已知命题p:方程表示圆;命题q:双曲线的离心率,若命题“”为假命题,“”为真命题,求实数m的取值范围.参考答案:解:若命题p:方程表示圆为真命题,则,解得.若命题q:双曲线的离心率,为真命题,则,解得.命题“”为假命题,“”为真命题,∴p与q必然一真一假,,或,解得,综上可得:实数m的取值范围是.19.已知函数f(x)=ax﹣(a+1)ln(x+1),其中a>0.(1)求f(x)的单调区间;(2)设f(x)的最小值为g(a),求证:.参考答案:【考点】6B:利用导数研究函数的单调性;6E:利用导数求闭区间上函数的最值.【分析】(1)先对函数进行求导,根据导函数大于0原函数单调递增,导函数小于0原函数单调递减可得答案;(2)由(1)可知,f(x)的最小值为,a>0,构造函数设,x∈(0,+∞),利用导数研究函数的单调性和最值,即可证明结论.【解答】解:(1)由已知可得函数f(x)的定义域为(﹣1,+∞),而,∵a>0,x>﹣1,∴当时,f'(x)<0,当时,f'(x)>0,∴函数f(x)的单调递减区间是,单调递增区间是.
(2)由(1)可知,f(x)的最小值为,a>0.要证明,只须证明成立.
设,x∈(0,+∞).
则,∴φ(x)在区间(0,+∞)上是增函数,∴φ(x)>φ(0)=0,即.取得到成立.
设ψ(x)=ln(x+1)﹣x,x∈(0,+∞),同理可证ln(x+1)<x.取得到成立.因此,.20.如图,已知中心在坐标原点的椭圆C,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,右顶点到右准线的距离为2,离心率为.过椭圆的左焦点F1任意作一条直线l与椭圆交于A,B两点.设A(x1,y1),B(x2,y2).(1)求椭圆C的标准方程;(2)当直线l的斜率k=1时,求三角形ABF2的面积;(3)当直线l绕F1旋转变化时,求三角形ABF2的面积的最大值.参考答案:【考点】椭圆的简单性质.【分析】(1)由=2,e==,求得a和c的值,b2=a2﹣c2,即可求得椭圆C的标准方程;(2)由(1)可知:直线l的方程为y=x+1,代入椭圆方程,由韦达定理及弦长公式即可求得△ABF2的面积;(3)设直线l的方程为x=my﹣1,代入椭圆方程,利用韦达定理,弦长公式及函数的单调性记录求得△ABF2的面积的最大值.【解答】解:(1)由题意可知:=2,e==,解得:a=2,c=1,b2=a2﹣c2=3,∴椭圆的标准方程:;(2)直线l的方程为y=x+1,则,整理得:7y2﹣6y﹣9=0,则y1+y2=,y1?y2=﹣,丨y1﹣y2丨==,∴三角形ABF2的面积S=×2c×丨y1﹣y2丨=;三角形ABF2的面积;(3)当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为x=my﹣1,,整理得(3m2+4)y2﹣6my﹣9=0,由韦达定理可知:y1+y2=,y1?y2=﹣,丨y1﹣y2丨==,设t=t≥1,则m2=t2﹣1,丨y1﹣y2丨===,f(t)=3t+,f′(t)=3﹣>0,函数f(t)单调递增,则当t=1时,丨y1﹣y2丨有最大值3,故三角形ABF2的面积的最大值为S=×2c×丨y1﹣y2丨max=3,综合可知:△ABF2的面积的最大值.21.某市为提高市民的戒烟意识,通过一个戒烟组织面向全市烟民征招志愿戒烟者,从符合条件的志愿者中随机抽取100名,将年龄分成[20,25),[25,30),[30,35),[35,40),[40,45]五组,得到频率分布直方图如图所示.(1)求图中x的值,并估计这100名志愿者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(2)若年龄在[20,25)的志愿者中有2名女性烟民,现从年龄在[20,25)的志愿者中随机抽取2人,求至少有一名女性烟民的概率;(3)该戒烟组织向志愿者推荐了A,B两种戒烟方案,这100名志愿者自愿选取戒烟方案,并将戒烟效果进行统计如下:
有效无效合计方案A48
60方案B36
合计
完成上面的2×2列联表,并判断是否有90%的把握认为戒烟方案是否有效与方案选取有关.参考公式:,.参考数据:0.150.100.050.0252.0722.7063.8415.024参考答案:(1),,估计平均年龄为.(2)年龄在的志愿者共有5人,设两名女性烟民为,,其余3人为,,,任意抽取两名烟民有,,,,,,,,,,共10种,其中至少有一名女性烟民有7种,故概率为.(3)列联表如图所示,,∴没有的把握认为戒烟方案是否有效与方案选取有关.
有效无效合计方案481260方案36440合计841610022.(10分)某公司的管理者通过公司近年来科研费用支出x(百万元)与公司所获得利润y(百万元)的散点图发现,y与x之间具有线性相关关系,具体数据如表:年份20102011201220132014科研费用x(百万元)1.61.71.81.92.0公司所获利润y(百万元)11.522.53(1)求y对x的回归直线方程;(参考数据:=16.3,xiyi=18.5)(2)若该公司的科研投入从2011年开始连续10年每一年都比上一年增加10万元,预测2017年该公司可获得的利润为多少万元?参考答案:【考点】线性回归方程.【分析】(1)根据表中数据,计算、,求出回归系数,写出回归直线方程;(2)由题知2017年时科研投入的x值,代入回归方程求出的值即可.【解答】解:(1)根据表中数据,计算可得=
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