2021年江西省赣州市全南中学高二数学理下学期期末试卷含解析

2021年江西省赣州市全南中学高二数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则下列关系成立的是()

A. B.

C. D.参考答案：A略2.求曲线与直线x=0,x=2和x轴所围成的封闭图形的面积，其中正确的是（

） A．

B．

C．

D．参考答案：C3.关于直线与平面的命题中，一定正确的是（

）若，则

若，则若，则

若，则参考答案：C4.复数z=在复平面内对应的点所在象限为 （

）

（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：C5.函数f（x）=ax（x﹣2）2（a≠0）有极大值，则a等于（）A．1 B． C．2 D．3参考答案：B【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】利用导数分a＞0，a＜0两种情况求得f（x）的极大值，使其等于，解此方程即可求得a值．【解答】解：f′（x）=a（x﹣2）（3x﹣2），（1）当a＞0时，由f′（x）＞0得x＜或x＞2；由f′（x）＜0得＜x＜2，所以f（x）在（﹣∞，），（2，+∞）上单调递增，在（，2）上单调递减；此时，当x=时f（x）取得极大值f（）=a（﹣2）2=，解得a=；（2）当a＜0时，由f′（x）＜0得x＜或x＞2；由f′（x）＞0得＜x＜2，所以f（x）在（﹣∞，），（2，+∞）上单调递减，在（，2）上单调递增；此时，当x=2时f（x）取得极大值f（2）=2a（2﹣2）2=，无解；综上所述，所求a值为．故选B．6.已知数列为等差数列，公差，、、成等比，则的值为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C略7.双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（）A．4 B．4 C．2 D．2参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】双曲线方程化为标准方程，即可确定实轴长．【解答】解：双曲线2x2﹣y2=8，可化为∴a=2，∴双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是4故选B．【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．8.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于点A．若|AF|=3，则点A的坐标为（）A．（2，2） B．（2，﹣2） C．（2，±2） D．（1，±2）参考答案：C【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】确定抛物线y2=4x的准线方程，利用抛物线的定义，可求A点的横坐标，即可得出A的坐标．【解答】解：抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣1，F（1，0）．设A（x，y），∵|AF|=3，∴根据抛物线的定义可得|AF|=3=x+1，∴x=2，∴y=，∴A的坐标为（2，）．故选：C，【点评】抛物线的定义告诉我们：抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离．9.在等比数列中，，，，则项数为（）

A.3

B.4

C.5

D.6参考答案：C略10.在△ABC中，如果（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，那么角A=（）A．30° B．60° C．120° D．150°参考答案：B【考点】余弦定理．【分析】由（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，可得b2+c2﹣a2=bc，利用余弦定理即可求得角A．【解答】解：∵（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，∴（b+c）2﹣a2=3bc，∴b2+c2﹣a2=bc，∵b2+c2﹣a2=2bccosA，∴2cosA=1，∴cosA=，又A∈（0°，180°），∴A=60°．故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻,额上纹起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：，，，，……，则按照以上规律，若具有“穿墙术”，则n=

．参考答案：9999，，，，按照以上规律，可得.

12.采用系统抽样从含有8000个个体的总体（编号为0000，0001，…，，7999）中抽取一个容量为50的样本，已知最后一个入样编号是7900，则最前面2个入样编号是

参考答案：0060，0220

13.设是等差数列｛｝的前n项和，已知=3，=11，则等于_________________

参考答案：6314.为真命题是为真命题的_____________条件．参考答案：必要不充分略15.用反证法证明命题“如果＞，那么＞”时，假设的内容应为

。命题意图：基础题。考核反证法的理论基础。常见错误会是与否命题混淆。参考答案：假设=或＜16.设、满足约束条件，则的最大值是

参考答案：517.通过直线及圆的交点，并且有最小面积的圆的方程为

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知命题p：方程表示圆；命题q：双曲线的离心率，若命题“”为假命题，“”为真命题，求实数m的取值范围.参考答案：解：若命题p：方程表示圆为真命题，则，解得．若命题q：双曲线的离心率，为真命题，则，解得．命题“”为假命题，“”为真命题，∴p与q必然一真一假，，或，解得，综上可得：实数m的取值范围是．19.已知函数f（x）=ax﹣（a+1）ln（x+1），其中a＞0．（1）求f（x）的单调区间；（2）设f（x）的最小值为g（a），求证：．参考答案：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）先对函数进行求导，根据导函数大于0原函数单调递增，导函数小于0原函数单调递减可得答案；（2）由（1）可知，f（x）的最小值为，a＞0，构造函数设，x∈（0，+∞），利用导数研究函数的单调性和最值，即可证明结论．【解答】解：（1）由已知可得函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞），而，∵a＞0，x＞﹣1，∴当时，f'（x）＜0，当时，f'（x）＞0，∴函数f（x）的单调递减区间是，单调递增区间是．

（2）由（1）可知，f（x）的最小值为，a＞0．要证明，只须证明成立．

设，x∈（0，+∞）．

则，∴φ（x）在区间（0，+∞）上是增函数，∴φ（x）＞φ（0）=0，即．取得到成立．

设ψ（x）=ln（x+1）﹣x，x∈（0，+∞），同理可证ln（x+1）＜x．取得到成立．因此，．20.如图，已知中心在坐标原点的椭圆C，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，右顶点到右准线的距离为2，离心率为．过椭圆的左焦点F1任意作一条直线l与椭圆交于A，B两点．设A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）当直线l的斜率k=1时，求三角形ABF2的面积；（3）当直线l绕F1旋转变化时，求三角形ABF2的面积的最大值．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由=2，e==，求得a和c的值，b2=a2﹣c2，即可求得椭圆C的标准方程；（2）由（1）可知：直线l的方程为y=x+1，代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式即可求得△ABF2的面积；（3）设直线l的方程为x=my﹣1，代入椭圆方程，利用韦达定理，弦长公式及函数的单调性记录求得△ABF2的面积的最大值．【解答】解：（1）由题意可知：=2，e==，解得：a=2，c=1，b2=a2﹣c2=3，∴椭圆的标准方程：；（2）直线l的方程为y=x+1，则，整理得：7y2﹣6y﹣9=0，则y1+y2=，y1?y2=﹣，丨y1﹣y2丨==，∴三角形ABF2的面积S=×2c×丨y1﹣y2丨=；三角形ABF2的面积；（3）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为x=my﹣1，，整理得（3m2+4）y2﹣6my﹣9=0，由韦达定理可知：y1+y2=，y1?y2=﹣，丨y1﹣y2丨==，设t=t≥1，则m2=t2﹣1，丨y1﹣y2丨===，f（t）=3t+，f′（t）=3﹣＞0，函数f（t）单调递增，则当t=1时，丨y1﹣y2丨有最大值3，故三角形ABF2的面积的最大值为S=×2c×丨y1﹣y2丨max=3，综合可知：△ABF2的面积的最大值．21.某市为提高市民的戒烟意识，通过一个戒烟组织面向全市烟民征招志愿戒烟者，从符合条件的志愿者中随机抽取100名，将年龄分成[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40)，[40,45]五组，得到频率分布直方图如图所示.（1）求图中x的值，并估计这100名志愿者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）若年龄在[20,25)的志愿者中有2名女性烟民，现从年龄在[20,25)的志愿者中随机抽取2人，求至少有一名女性烟民的概率；（3）该戒烟组织向志愿者推荐了A，B两种戒烟方案，这100名志愿者自愿选取戒烟方案，并将戒烟效果进行统计如下：

有效无效合计方案A48

60方案B36

合计

完成上面的2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为戒烟方案是否有效与方案选取有关.参考公式：，.参考数据：0.150.100.050.0252.0722.7063.8415.024参考答案：（1），，估计平均年龄为.（2）年龄在的志愿者共有5人，设两名女性烟民为，，其余3人为，，，任意抽取两名烟民有，，，，，，，，，，共10种，其中至少有一名女性烟民有7种，故概率为.（3）列联表如图所示，，∴没有的把握认为戒烟方案是否有效与方案选取有关.

有效无效合计方案481260方案36440合计841610022.（10分）某公司的管理者通过公司近年来科研费用支出x（百万元）与公司所获得利润y（百万元）的散点图发现，y与x之间具有线性相关关系，具体数据如表：年份20102011201220132014科研费用x（百万元）1.61.71.81.92.0公司所获利润y（百万元）11.522.53（1）求y对x的回归直线方程；（参考数据：=16.3，xiyi=18.5）（2）若该公司的科研投入从2011年开始连续10年每一年都比上一年增加10万元，预测2017年该公司可获得的利润为多少万元？参考答案：【考点】线性回归方程．【分析】（1）根据表中数据，计算、，求出回归系数，写出回归直线方程；（2）由题知2017年时科研投入的x值，代入回归方程求出的值即可．【解答】解：（1）根据表中数据，计算可得=