2023学年安徽省安庆一中高三最后一模数学试题（含解析）

2023学年高考数学模拟测试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．某人2018年的家庭总收人为元，各种用途占比如图中的折线图，年家庭总收入的各种用途占比统计如图中的条形图，已知年的就医费用比年的就医费用增加了元，则该人年的储畜费用为（）A．元 B．元 C．元 D．元2．函数的图象大致为（）A． B．C． D．3．已知函数，则的值等于（）A．2018 B．1009 C．1010 D．20204．已知集合，则()A． B．C． D．5．已知数列的通项公式为，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记为数阵从左至右的列，从上到下的行共个数的和，则数列的前2020项和为（）A． B． C． D．6．已知集合，，则（）A． B．C．或 D．7．若某几何体的三视图（单位:cm）如图所示，则此几何体的体积是（）A．36cm3 B．48cm3 C．60cm3 D．72cm38．已知的内角、、的对边分别为、、，且，，为边上的中线，若，则的面积为（）A． B． C． D．9．过双曲线的左焦点作直线交双曲线的两天渐近线于,两点，若为线段的中点，且（为坐标原点），则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．10．已知为等比数列，，，则（）A．9 B．－9 C． D．11．已知双曲线：（，）的右焦点与圆：的圆心重合，且圆被双曲线的一条渐近线截得的弦长为，则双曲线的离心率为（）A．2 B． C． D．312．执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的整数的最大值为()A．7 B．15 C．31 D．63二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设、、、、是表面积为的球的球面上五点，四边形为正方形，则四棱锥体积的最大值为__________.14．数据的标准差为_____．15．函数的极大值为________.16．（5分）在长方体中，已知棱长，体对角线，两异面直线与所成的角为，则该长方体的表面积是____________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）当时，求函数的图象在处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）当时，若方程有两个不相等的实数根，求证：.18．（12分）已知函数．（1）求函数的零点；（2）设函数的图象与函数的图象交于，两点，求证：；（3）若，且不等式对一切正实数x恒成立，求k的取值范围．19．（12分）已知等差数列an,和等比数列b(I)求数列{an}(II)求数列n2an⋅a20．（12分）已知函数的最大值为2.（Ⅰ）求函数在上的单调递减区间；（Ⅱ）中,,角所对的边分别是，且，求的面积．21．（12分）已知分别是椭圆的左焦点和右焦点，椭圆的离心率为是椭圆上两点，点满足.(1)求的方程；(2)若点在圆上，点为坐标原点，求的取值范围.22．（10分）已知集合，.（1）若，则；（2）若，求实数的取值范围.

2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【答案解析】

根据2018年的家庭总收人为元，且就医费用占得到就医费用，再根据年的就医费用比年的就医费用增加了元，得到年的就医费用，然后由年的就医费用占总收人，得到2019年的家庭总收人再根据储畜费用占总收人求解.【题目详解】因为2018年的家庭总收人为元，且就医费用占所以就医费用因为年的就医费用比年的就医费用增加了元，所以年的就医费用元，而年的就医费用占总收人所以2019年的家庭总收人为而储畜费用占总收人所以储畜费用：故选：A【答案点睛】本题主要考查统计中的折线图和条形图的应用，还考查了建模解模的能力，属于基础题.2、A【答案解析】

根据函数的奇偶性和单调性，排除错误选项，从而得出正确选项.【题目详解】因为，所以是偶函数，排除C和D.当时，，，令，得，即在上递减；令，得，即在上递增.所以在处取得极小值，排除B.故选：A【答案点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查利用导数研究函数的单调区间和极值，属于中档题.3、C【答案解析】

首先，根据二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，根据所求函数的周期性，得到其周期为4，然后借助于三角函数的周期性确定其值即可．【题目详解】解：．，，的周期为，，，，，．．故选：C【答案点睛】本题重点考查了三角函数的图象与性质、三角恒等变换等知识，掌握辅助角公式化简函数解析式是解题的关键，属于中档题．4、B【答案解析】

先由得或，再计算即可.【题目详解】由得或，，,又，.故选：B【答案点睛】本题主要考查了集合的交集，补集的运算，考查学生的运算求解能力.5、D【答案解析】

由题意，设每一行的和为，可得，继而可求解，表示，裂项相消即可求解.【题目详解】由题意，设每一行的和为故因此：故故选：D【答案点睛】本题考查了等差数列型数阵的求和，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.6、D【答案解析】

首先求出集合，再根据补集的定义计算可得；【题目详解】解：∵，解得∴，∴.故选：D【答案点睛】本题考查补集的概念及运算，一元二次不等式的解法，属于基础题.7、B【答案解析】试题分析：该几何体上面是长方体，下面是四棱柱；长方体的体积，四棱柱的底面是梯形，体积为，因此总的体积.考点：三视图和几何体的体积.8、B【答案解析】

延长到，使，连接，则四边形为平行四边形，根据余弦定理可求出，进而可得的面积.【题目详解】解：延长到，使，连接，则四边形为平行四边形，则，，，在中，则，得，.故选：B.【答案点睛】本题考查余弦定理的应用，考查三角形面积公式的应用，其中根据中线作出平行四边形是关键，是中档题.9、C【答案解析】由题意可得双曲线的渐近线的方程为.∵为线段的中点，∴，则为等腰三角形.∴由双曲线的的渐近线的性质可得∴∴，即.∴双曲线的离心率为故选C.点睛：本题考查了椭圆和双曲线的定义和性质，考查了离心率的求解，同时涉及到椭圆的定义和双曲线的定义及三角形的三边的关系应用，对于求解曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)．10、C【答案解析】

根据等比数列的下标和性质可求出,便可得出等比数列的公比,再根据等比数列的性质即可求出.【题目详解】∵,∴,又,可解得或设等比数列的公比为,则当时,,∴；当时,,∴.故选：C．【答案点睛】本题主要考查等比数列的性质应用,意在考查学生的数学运算能力,属于基础题.11、A【答案解析】

由已知，圆心M到渐近线的距离为，可得，又，解方程即可.【题目详解】由已知，，渐近线方程为，因为圆被双曲线的一条渐近线截得的弦长为，所以圆心M到渐近线的距离为，故，所以离心率为.故选：A.【答案点睛】本题考查双曲线离心率的问题，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的运算能力，是一道容易题.12、B【答案解析】试题分析：由程序框图可知：①，；②，；③，；④，；⑤，.第⑤步后输出，此时，则的最大值为15，故选B.考点：程序框图.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【答案解析】

根据球的表面积求得球的半径，设球心到四棱锥底面的距离为，求得四棱锥的表达式，利用基本不等式求得体积的最大值.【题目详解】由已知可得球的半径，设球心到四棱锥底面的距离为，棱锥的高为，底面边长为，的体积，当且仅当时等号成立.故答案为：【答案点睛】本小题主要考查球的表面积有关计算，考查球的内接四棱锥体积的最值的求法，属于中档题.14、【答案解析】

先计算平均数再求解方差与标准差即可.【题目详解】解：样本的平均数,这组数据的方差是标准差,故答案为：【答案点睛】本题主要考查了标准差的计算,属于基础题.15、【答案解析】

对函数求导，根据函数单调性，即可容易求得函数的极大值.【题目详解】依题意，得.所以当时，；当时，.所以当时，函数有极大值.故答案为：.【答案点睛】本题考查利用导数研究函数的性质，考查运算求解能力以及化归转化思想，属基础题.16、10【答案解析】

作出长方体如图所示，由于，则就是异面直线与所成的角，且，在等腰直角三角形中，由，得，又，则，从而长方体的表面积为．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）当时，在上是减函数；当时，在上是增函数；（3）证明见解析.【答案解析】

（1）当时，，求得其导函数，，可求得函数的图象在处的切线方程；（2）由已知得，得出导函数，并得出导函数取得正负的区间，可得出函数的单调性；（3）当时，，，由（2）得的单调区间，以当方程有两个不相等的实数根，不妨设，且有，，构造函数，分析其导函数的正负得出函数的单调性，得出其最值，所证的不等式可得证.【题目详解】（1）当时，，所以，，所以函数的图象在处的切线方程为，即；（2）由已知得，，令，得，所以当时，，当时，，所以在上是减函数，在上是增函数；（3）当时，，，由（2）得在上单调递减，在单调递增，所以，且时，，当时，，，所以当方程有两个不相等的实数根，不妨设，且有，，构造函数，则，当时，所以，在上单调递减，且，，由，在上单调递增，.所以.【答案点睛】本题考查运用导函数求函数在某点的切线方程，讨论函数的单调性，以及证明不等式，关键在于构造适当的函数，得出其导函数的正负，得出所构造的函数的单调性，属于难度题.18、(1)x=1(2)证明见解析(3)【答案解析】

（1）令，根据导函数确定函数的单调区间，求出极小值，进而求解；（2）转化思想，要证，即证，即证，构造函数进而求证；（3）不等式对一切正实数恒成立，，设，分类讨论进而求解．【题目详解】解：（1）令，所以，当时，，在上单调递增；当时，，在单调递减；所以，所以的零点为．（2）由题意，，要证，即证，即证，令，则，由（1）知，当且仅当时等号成立，所以，即，所以原不等式成立．（3）不等式对一切正实数恒成立，，设，，记，△，①当△时，即时，恒成立，故单调递增．于是当时，，又，故，当时，，又，故，又当时，，因此，当时，，②当△，即时，设的两个不等实根分别为，，又，于是，故当时，，从而在单调递减；当时，，此时，于是，即舍去，综上，的取值范围是．【答案点睛】（1）考查函数求导，根据导函数确定函数的单调性，零点；（2）考查转化思想，构造函数求极值；（3）考查分类讨论思想，函数的单调性，函数的求导；属于难题.19、(I)an=2n-1，bn=【答案解析】

(I)直接利用等差数列，等比数列公式联立方程计算得到答案.(II)n2【题目详解】(I)a1=b解得d=2q=3，故an=2n-1(II)n=14+【答案点睛】本题考查了等差数列，等比数列，裂项求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.20、（Ⅰ）（Ⅱ）【答案解析】

(1)由题意，f(x)的最大值为所以而m>0，于是m=，f(x)=2sin(x+).由正弦函数的单调性可得x满足即所以f(x)在［0,π］上的单调递减区间为(2)设△ABC的外接圆半径为R，由题意，得化简得sinA+sinB=2sinAsinB.由正弦定理，得①由余弦定理，得a2+b2-ab=9，即(a+b)2-3ab-9=0②将①式代入②，得2(ab)2-3ab-9=0，解得ab=3或(舍去)，故21、（1）；（2）.【答案解析】

（1）根据焦点坐标和离心率，结合椭圆中的关系，即可求得的值，进而得椭圆的标准方程.（2）设出直线的方程为，由题意可知为中点.联立直线与椭圆方程，由韦达定理表示出，由判别式可得；由平面向量的线性运算及数量积定义，化简可得，代入弦长公式化简；由中点坐标公式可得点的坐标，代入圆的方程，化简可得，代入数量积公式并化简，由换元法令，代入可得，再令及，结合函数单调性即可确定的取值范围，即确定的取值范围，因而可得的取值范围.【题目详解】（1）分别是椭圆的左焦点和右焦点，则，椭圆的离心率为则解得，所以，所以的方程为.（2）设直线的方程为，点满足，则为中点，点在圆上，设，联立直线与椭圆方程，化简可得，所以则，化简可得，而由弦长公式代入可得为中点，则点在圆上，代入化简可得，所以令，则，，令，则令，则，所以，因为在内单调递增，所以，即所以【答案点睛】本题考查了椭圆的标准方程求法，直线与椭圆的位置关系综合应用