初一奥赛培训07：含绝对值的方程及不等式

初一奥赛培训07：含绝对值的方程及不等式初一奥赛培训07：含绝对值的方程及不等式初一奥赛培训07：含绝对值的方程及不等式资料仅供参考文件编号：2022年4月初一奥赛培训07：含绝对值的方程及不等式版本号：A修改号：1页次：1.0审核：批准:发布日期：初一奥赛培训07：含绝对值的方程及不等式一、解答题（共15小题，满分150分）1、解方程|x﹣4|+|x+3|=7．2、求方程|x﹣|2x+1||=3的不同的解的个数．要使关于x的方程||x﹣3|﹣2|=a有三个整数解，则a的值是多少4、已知方程|x|=ax+1有一负根，且无正根，求a的取值范围．5、设|﹣|≥0，||≥0，求x+y．6、解方程组7、解方程组8、解不等式|x﹣5|﹣|2x+3|＜1．解不等式1≤|3x﹣5|≤2．解不等式||x+3|﹣|x﹣3||＞3．当a取哪些值时，方程|x+2|+|x﹣1|=a有解12、解下列方程：（1）|x+3|﹣|x﹣1|=x+1；（2）||1+x|﹣1|=3x；（3）|3x﹣2|﹣|x+1|=x+2；（4）|3y﹣2|=﹣|5x﹣3|．13、解方程组：（1）（2）14、解下列不等式：（1）|1﹣|＞3（2）5≤|5x﹣3|≤10；（3）|x+1|+|4﹣x|＜6；（4）||x﹣1|﹣|x+2||＞1．15、若a＞0，b＜0，则方程|x﹣a|+|x﹣b|=a﹣b的解是什么

答案与评分标准初一奥赛培训07：含绝对值的方程及不等式一、解答题（共15小题，满分150分）1、解方程|x﹣4|+|x+3|=7．考点：含绝对值符号的一元一次方程。专题：计算题。分析：去掉绝对值，首先要明确绝对值的几何意义（在数轴上点x到点4的距离与点x到点﹣3的距离之和为7的所有的数值）：在数轴上x的取值范围：x＜﹣3、﹣3≤x≤4、x＞4时，x的解就能求得．解答：解：（1）当x＜﹣3时，原方程可化为：﹣（x﹣4）﹣（x+3）=7解得：x=﹣3，与题意不符，故舍去．（2）当﹣3≤x≤4时，原方程可化为：﹣（x﹣4）+x+3=7即7=7所以﹣3≤x≤4（3）当x＞4时，原方程可化为x﹣4+x+3=7，x=4与题意不符，故舍去．故原方程的解是﹣3≤x≤4．点评：本题主要考查的是含有绝对值符号的一元一次方程的计算题，主要是绝对值得几何意义的应用．难易适中．2、求方程|x﹣|2x+1||=3的不同的解的个数．考点：含绝对值符号的一元一次方程。专题：计算题。分析：此方程有两层绝对值，先由2x+1=0解得x=﹣，然后分别对x=﹣，x＞﹣，x＜﹣去掉绝对值符号，使方程转化为只含一个绝对值符号的方程，然后再去掉绝对值符号求解即可．解答：解：|x﹣|2x+1||=3，当x=﹣时，原方程化为|x|=3，无解；当x＞﹣时，原方程化为：|1+x|=3，解得：x=2或x=﹣4（舍去）．当x＜﹣时，原方程可化为：|x+（2x+1）|=3，即|3x+1|=3，∴3x+1=±3，解得：x=（舍去）或x=﹣．综上可得方程的解只有x=2或x=﹣两个解．点评：本题考查含绝对值的一元一次方程，难度较大，关键是先去掉一个绝对值，然后再讨论解答．3、要使关于x的方程||x﹣3|﹣2|=a有三个整数解，则a的值是多少考点：一元二次方程的整数根与有理根。专题：探究型。分析：先根据对值的性质求出a的取值范围，去掉绝对值符号，再根据方程有3个不同的整数解，则x1，x2，x3，x4中必有2个相同，列出关于a的方程，求出a的值即可．解答：解：∵||x﹣3|﹣2|=a，∴a≥0．∴|x﹣3|﹣2=a或|x﹣3|﹣2=﹣a．当|x﹣3|﹣2=a时，|x﹣3|=2+a，∴x﹣3=2+a或x﹣3=﹣2﹣a．∴x1=5+a，x2=1﹣a，当|x﹣3|﹣2=﹣a时，|x﹣3|=2﹣a，a≤2，∴x﹣3=2﹣a或x﹣3=﹣2+a，∴x3=5﹣a，x4=1+a，若方程有3个不同的整数解，则x1，x2，x3，x4中必有2个相同．当x1，x2=2时，a=﹣2，与a≥0矛盾；当x1=x3时，a=0，此时原方程有2个解；当x1=x4时，a无解；当x2=x3时，a无解；当x2=x4时，a=0，此方程有2个解；当x3=x4时，a=2．综上有：当a=2时，原方程有3个不同的解．故答案为：2．点评：本题考查是方程的整数根及绝对值的性质，能根据题意判断出x1，x2，x3，x4中必有2个相同是解答此题的关键．4、已知方程|x|=ax+1有一负根，且无正根，求a的取值范围．考点：含绝对值符号的一元一次方程。专题：计算题。分析：根据已知方程|x|=ax+1有一负根，设x为其一负根，然后解方程，再根据条件列出关于a的不等式即可求出a的取值范围．解答：解：设x为方程的负根，则﹣x=ax+1，即：x=，∵方程无正根，∴x=＜0，所以应有a＞﹣1．即a＞﹣1时，原方程有负根．设方程有正根x，则x=ax+1，即：x=0，解得：a＜1，即a＜1时，原方程有正根；综上所述：若使原方程有一负根且无正根，必须a≥1．点评：本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，难度适中，关键是掌握用分类讨论的思想进行解题．5、设|﹣|≥0，||≥0，求x+y．考点：二元一次方程组的应用；绝对值。专题：计算题。分析：根据绝对值的意义知两个非负实数和为零时，这两个实数必须都为零，解得x和y的关系，根据x、y的关系求x+y的值．解答：解：分析从绝对值的意义知≥0，≥0，两个非负实数和为零时，这两个实数必须都为零，可得：，解得x=﹣y，把③代入①得﹣﹣=0，解之得y=﹣3，所以x=4，故有x+y=4﹣3=1．答：x+y的值为1．点评：本题考查了二元一次方程组的求解，考查了非负数的性质，本题中求x和y的关系是解题的关键．6、解方程组考点：解二元一次方程组；绝对值。专题：分类讨论。分析：先根据绝对值的性质把①中的绝对值符号去掉，把由①得到的方程与②联立得到关于x、y的两个方程组，再分别求出两组方程组的解即可．解答：解：由①得x﹣y=1或x﹣y=﹣1，即x=y+1或x=y﹣1．与②结合有下面两个方程组，（1），把x=y+1代入|x|+2|y|=3得，|y+1|+2|y|=3．去绝对值符号，可得y=﹣或y=﹣，再将其代入x=y+1可求出方程组（1）的解为：或，（2），把x=y﹣1代入|x|+2|y|=3得，|y﹣1|+2|y|=3．去绝对值符号，可得y=﹣或y=﹣，再将其代入x=y﹣1可求出方程组（1）的解为：或．故原方程组的解为：，，或．点评：本题考查的是解二元一次方程组及绝对值的性质，能根据题意得到关于x、y的两组方程组是解答此题的关键．7、解方程组考点：解二元一次方程组；绝对值；非负数的性质：绝对值；不等式的性质。专题：计算题；分类讨论；方程思想。分析：先将方程①变形，得出x+y=|x﹣y|+2，根据绝对值的非负性及不等式的性质可知x+y＞0，从而去掉方程②中绝对值的符号，求出y的值，再把y的值代入方程①，得到一个只含有未知数x的绝对值方程，根据绝对值的定义，分类讨论即可求出x的值．解答：解：由①得，x+y=|x﹣y|+2．∵|x﹣y|≥0，∴x+y＞0，∴|x+y|=x+y．③把③代入②，有x+y=x+2，∴y=2．将y=2代入①，有|x﹣2|=x，∴x﹣2=x④或x﹣2=﹣x⑤．方程④无解，解方程⑤，得x=1．故原方程组的解为．点评：本题考查了绝对值方程的解法．此知识点在初中教材中不涉及，属于竞赛题型，有一定难度．一般地，解绝对值方程只要把绝对值符号去掉，而去掉绝对值符号之前要弄清绝对值中的式子的正负性，如果式子无法判定就用讨论方法进行分类讨论将所求的解与区间进行比较，符合区间的值就是所求的解．本题若按通常的解法，区分x+y≥0和x+y＜0两种情形，把方程②分成两个不同的方程x+y=x+2和﹣（x+y）=x+2，对方程①也做类似处理的话，将很麻烦．上面的解法充分利用了绝对值的定义和性质，从方程①中发现必有x+y＞0，因而可以立刻消去方程②中的绝对值符号，从而简化了解题过程．8、解不等式|x﹣5|﹣|2x+3|＜1．考点：含绝对值的一元一次不等式。专题：计算题。分析：本题关键也是去掉绝对值符号，分三个区间讨论：x≤﹣，﹣＜x≤5，x＞5，再根据不等式的性质求出x的取值范围即可．解答：解：（1）当x≤﹣时，原不等式可化为﹣（x﹣5）﹣[﹣（2x+3）]＜1，解得，x＜﹣7，结合x＜﹣7是原不等式的解；（2）当﹣＜x≤5时，原不等式可化为﹣（x﹣5）﹣（2x+3）＜1，解得x＞，结合﹣＜x≤5，故＜x≤5是原不等式的解；（3）当x＞5时，原不等式化为x﹣5﹣（2x+3）＜1，解之得x＞﹣9，结合x＞5，故x＞5是原不等式的解．综合（1）、（2）、（3）可知，x＜﹣7或x＞是原不等式的解．点评：本题考查的是带绝对值符号的一元一次不等式的解法，解答此题的关键是熟知绝对值的性质及不等式的基本性质．9、解不等式1≤|3x﹣5|≤2．考点：含绝对值的一元一次不等式。专题：分类讨论。分析：先把原不等式转化为解不等式组的形式，再根据绝对值的性质及不等式的基本性质分别求出两不等式的解，再求出其公共解集即可．解答：解：分析此不等式实际上是解不等式组，解|3x﹣5|≥1：（1）当x≥时，①转化为3x﹣5≥1，所以x≥2是①的解；（2）当x＜时，①转化为﹣（3x﹣5）≥1，所以﹣3x≥﹣4，即x≤是①的解．所以①的解为x≥2或x≤；对|3x﹣5|≤2：（3）当x≥时，②转化为3x﹣5≤2，所以x≤，所以≤x≤是②的解；（4）当x＜时，②转化为﹣（3x﹣5）≤2，所以x≥1，所以1≤x＜是②的解，所以②的解为1≤x≤．所以①与②的公共解应为：1≤x≤或2≤x≤，即原不等式的解为1≤x≤或2≤x≤．点评：本题考查的是解一元一次不等式组，先把不等式转化为解一元一次不等式组的形式，再根据绝对值的性质及不等式的基本性质分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集是解答此题的关键．10、解不等式||x+3|﹣|x﹣3||＞3．考点：含绝对值的一元一次不等式。分析：将数轴分为x≤﹣3，﹣3＜x≤3，x＞3三段来讨论，从里往外去绝对值符号，于是原不等式化为三个不等式组，分别计算求解即可．解答：解：从里往外去绝对值符号，将数轴分为x≤﹣3，﹣3＜x≤3，x＞3三段来讨论，于是原不等式化为如下三个不等式组．①，②，③，由①得，即x≤﹣3；由②得，即﹣3＜x＜﹣或＜x≤3；由③得，即x＞3．由以上可知，原不等式的解为：x＜﹣或x．点评：本题考查了解不等式及去绝对值，利用绝对值非负数的性质转化为解不等式，这是考试中经常出现的题目类型．11、当a取哪些值时，方程|x+2|+|x﹣1|=a有解考点：含绝对值符号的一元一次方程。专题：计算题。分析：求a的取值，首先去掉等号左面的绝对值，利用绝对值得几何意义，即当x≤﹣2、﹣2＜x＜1和x≥1时，求出a的值．解答：解：（1）当x≤﹣2时，|x+2|+|x﹣1|=﹣2x﹣1≥﹣2（﹣2）﹣1=3；（2）当﹣2＜x＜1时，|x+2|+|x﹣1|=x+2﹣x+1=3；（3）当x≥1时，|x+2|+|x﹣1|=2x+1≥2×1+1=3．故只有当a≥3时，原方程有解．点评：本题主要考查的是含有绝对值符号的一元一次方程的计算题，难易适中．12、解下列方程：（1）|x+3|﹣|x﹣1|=x+1；（2）||1+x|﹣1|=3x；（3）|3x﹣2|﹣|x+1|=x+2；（4）|3y﹣2|=﹣|5x﹣3|．考点：含绝对值符号的一元一次方程。专题：计算题。分析：从这4道题上看，都是含有绝对值符号的一元一次方程，解答此类问题的关键，就是充分利用绝对值的几何意义，利用分类讨论去掉绝对值计算．解答：解：（1）①当x≤﹣3时，原式=﹣x﹣3+x﹣1=x+1，∴x=﹣5；②当x≥1时，原式=x+3﹣x+1=x+1，∴x=3；③﹣3＜x＜1时，原式=x+3+x﹣1=x+1∴x=﹣1；故x的解是x=﹣5或x=﹣1或x=3．（2）||1+x|﹣1|=3x≥0，∴原方程可化为：|1+x|﹣1=3x或|1+x|﹣1=﹣3x，当|1+x|﹣1=3x时，解得：x=0，当|1+x|﹣1=﹣3x时，解得：x=0，故原方程的解为：x=0．（3）解：从三种情况考虑：第一种：当x≥时，原方程就可化简为：3x﹣2﹣x﹣1=x+2，解得：x=5；第二种：当﹣1＜x＜时，原方程就可化简为：﹣3x+2﹣x﹣1=x+2，解得：x=﹣；第三种：当x≤﹣1时，原方程就可化简为：﹣3x+2+1+x=x+2，解得：x=不符合题意；所以x的解为：x=5或x=．（4）由|3y﹣2|=﹣|5x﹣3|，移项得：|3y﹣2|+|5x﹣3|=0，根据绝对值的几何意义，故3y﹣2=0，5x﹣3=0，解得：y=，x=．点评：本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，难度适中，关键是充分利用绝对值的几何意义，利用分类讨论去掉绝对值计算．13、解方程组：（1）（2）考点：解二元一次方程组。分析：（1）用代入法解方程组即可，注意去绝对值时要区分未知数的取值范围．（2）根据x与y的取值范围，分别去绝对值解方程组即可，注意xy异号时要讨论xy绝对值的大小．解答：解：（1）原方程，把②代入①得：4y﹣4+|y﹣1|=5③，当y﹣1≥0时，③式=4y﹣4+y﹣1=5，解得y=2；把y=2代入②得：x=3或﹣5；当y﹣1≤0时，③式=4y﹣4﹣y+1=5，解得无解．综上得原方程组的解为：、．（2）当x＞0，y＞0时，原方程组为，方程组无解；当x＞0，y＜0，且|x|＞|y|，原方程组为，解得；当x＞0，y＜0，且|x|＜|y|，原方程组为，解得；当x＜0，y＜0时，原方程组为，方程组无解；当x＜0，y＞0，且|x|＞|y|，原方程组为，解得；当x＜0，y＞0，且|x|＜|y|，原方程组为，解得．综上得原方程组的解为：、、、．点评：本题考查了二元一次方程的解法，涉及到两个未知数绝对值的性质，注意讨论未知数取值范围时，不要漏解．14、解下列不等式：（1）|1﹣|＞3（2）5≤|5x﹣3|≤10；（3）|x+1|+|4﹣x|＜6；（4）||x﹣1|﹣|x+2||＞1．考点：含绝对值的一元一次不等式。专题：计算题。分析：（1）去绝对值把原不等式化为：1﹣＜﹣3或1﹣＞3，分别解这两个不等式即可；（2）去绝对值把原不等式化为：5≤5x﹣3≤10或﹣10≤5x﹣3≤﹣5，分别解这两个不等式组即可；（2）分类讨论：当x＜﹣1，﹣1≤x≤4，x＞4时分别去绝对值，然后解不等式，根据给定的取值范围确定解集；（3）分类讨论：当x＜﹣2，﹣2≤x≤1，x＞1，分别解不等式，最后综合x的取值范围确定解集．解答：解：（1）1﹣＜﹣3或1﹣＞3，解1﹣＜﹣3得，x＞7；解1﹣＞3，得x＜﹣1，∴原不等式的解为：x＜﹣1或x＞7．（2）原不等式化为：5≤5x﹣3≤10或﹣10≤5x﹣3≤﹣5，解5≤5x﹣3≤10，得≤x≤；解﹣10≤5x﹣