创新设计极限

理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题第十三章极限第64课时数学归纳法1．归纳法：由一些事例推出一般结论的推理方法，特点：特殊→一般2．不完全归纳法：根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法．3．完全归纳法：把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法．完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法．与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的．通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法．4．数学归纳法：对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．这种证明方法就叫做数学归纳法．1． 根据下面5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图形中有 ______个点．

解析：可归纳出第n个图形中点的个数为1＋n(n－1)＝n2－n＋1. 答案：n2－n＋12．在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球：第2,3,4，…堆最底层(第一层)分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，则f(3)＝________；f(n)＝________.(答案用n表示)解析：f(3)＝6＋3＋1＝10.观察题目中的图示，不难发现第n堆最底层(第一层)的乒乓球数an＝1＋2＋3＋…＋n＝，第n堆的乒乓球总数相当于n堆乒乓球的底层数之和，即f(n)＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(12＋22＋32＋…＋n2)＋答案：103．若数列{an}中，a1＝3，且an＋1＝

(n∈N*)，则数列的通项an等于________．解析：由an＋1＝

，a1＝3得，a2＝9＝32.a3＝81＝34＝，a4＝38＝，可推测an＝.答案：4．上图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此 规律第

n个图案中需用黑色瓷砖________块．(用含n的代数式表示)解析：第(1)、(2)、(3)…个图案黑色瓷砖数依次为：15－3＝12；24－8＝16；35－15＝20；…由此可猜测第(n)个图案黑色瓷砖数为：12＋(n－1)×4＝4n＋8.答案：4n＋8从若干特殊事例出发，通过观察、分析、比较、归纳、猜想出一般结论，然后应用数学归纳法给予证明．这一思想方法对于分析问题和解决问题是非常重要的，特别是在求解存在性或探索性问题时．利用数学归纳法可证明等式、不等式、整除和几何问题等．【例1】是否存在常数a、b、c，使得等式1×22＋2×32＋…＋n·(n＋1)2

＝(an2＋bn＋c)对一切正整数n都成立？ 解答：假设存在a、b、c使等式成立，令n＝1,2,3，得

解之得a＝3，b＝11，c＝10，故对n＝1,2,3等式， 1×22＋2×32＋…＋n(n＋1)2＝ (3n2＋11n＋10)成立．

用数学归纳法证明：①当n＝1时等式成立．②假设n＝k(k∈N*，k≥1)时等式成立，即1×22＋2×32＋…＋k(k＋1)2＝ (3k2＋11k＋10)成立．当n＝k＋1时，左边＝[1×22＋2×32＋…＋k(k＋1)2]＋(k＋1)·(k＋2)2＝k(k＋1)(3k2＋11k＋10)＋(k＋1)(k＋2)2＝(k＋1)(k＋2)[k(3k＋5)＋12(k＋2)]＝(k＋1)·[(k＋1)＋1]·(3k2＋17k＋24)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]·[3(k＋1)2＋11(k＋1)＋10]∴n＝k＋1时等式也成立．由①②可知，对n∈N*等式都成立，所以存在a＝3，b＝11，c＝10，题设等式对一切n∈N*都成立．变式1.用数学归纳法证明：证明：(1)当n＝1时，左边＝ ，右边＝，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，等式成立，即则当n＝k＋1时，有

＝＝＝即当n＝k＋1时，等式成立．根据(1)、(2)可知，对一切n∈N*，等式成立.这类题型通常与数列的递推公式、通项公式有关，有时要证明的等式是直接给出的，有时是根据条件从前n项入手，通过观察、猜想，归纳出一个等式，然后再用数学归纳法证明．【例2】已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n∈N*) (1)证明：数列{an＋1－an}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式； (3)若数列{bn}满足＝(an＋1)bn(n∈N*)， 证明：{bn}是等差数列．解答：(1)证明：由an＋2＝3an＋1－2an得an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，即 ＝2，∴{an＋1－an}是公比为2的等比数列．(2)an＋1－an＝(a2－a1)2n－1＝2n，∴∴an－a1＝2n－2，则an＝2n－1.(3)证明：∵②－①整理得(n－1)bn＋1－nbn＋2＝0.由b1＝b1，b2＝b1＋(b2－b1)，b3＝b1＋2(b2－b1)，可推测bn＝b1＋(n－1)·(b2－b1)，可用数学归纳法证明，因此{bn}成等差数列．变式2.数列{an}满足a1＝1，且8an＋1an－16an＋1＋2an＋5＝0(n≥1)，bn＝(n≥1)．(1)求b1，b2，b3，b4的值；(2)求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn.解答：(1)a1＝1，故b1＝，a2＝，故b2＝，a3＝，故b3＝＝4，a4＝，故b4＝，(2)由(1)可推测bn＝，可用数学归纳法给以证明(略)，由bn＝得anbn＝ ，∴Sn＝.同用数学归纳法证明等式一样，这类题型也通常与数列的递推公式或通项公式有关，待证的不等式的条件可能直接给出，也可能需根据条件归纳猜想出，再证明．【例3】已知函数f(x)＝x－sinx，数列{an}满足：0<a1<1，an＋1＝f(an)，n＝1,2,3，…. 证明：(1)0<an＋1<an<1；(2)

证明：(1)先用数学归纳法证明0<an<1，n＝1,2,3，…. ①当n＝1时，由已知，结论成立． ②假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时结论成立，即0<ak<1.因为0<x<1时，f′(x) ＝1－cosx>0，所以f(x)在(0,1)上是增函数． 又f(x)在[0,1]上连续，从而f(0)<f(ak)<f(1)，即0<ak＋1<1－sin1<1. 故当n＝k＋1时，结论成立． 由①②可知，0<an<1对一切正整数都成立． 又因为0<an<1时，an＋1－an＝an－sinan－an＝－sinan<0， 所以an＋1<an.综上所述0<an＋1<an<1.(2)设函数g(x)＝sinx－x＋x3,0<x<1.由(1)知，当0<x<1时，sinx<x.从而g′(x)＝cosx－1＋=＝0.所以g(x)在(0,1)上是增函数．又g(x)在[0,1]上连续，且g(0)＝0，所以当0<x<1时，g(x)>0成立．于是g(an)>0，即sinan－an＋

>0.故an＋1<变式3.试证明不等式(a＋b)n－an－bn≥(2n－2)·()n.(其中n∈N*，a>0，b>0) 证明：①当n＝1时，左端＝0＝右端，命题成立； 当n＝2时，左端＝2ab＝右端，命题成立； 当n＝3时，左端＝3a2b＋3ab2≥，不等式成立；②假设n＝k(k∈N*，k≥1)时，不等式成立，即(a＋b)k－ak－bk≥(2k－2)·()k当n＝k＋1时，(a＋b)k＋1－ak＋1－bk＋1＝[(a＋b)k－ak－bk](a＋b)＋abk＋akb≥(2k－2)()k(a＋b)＋abk＋akb≥2(2k－2)()k＋1＋2＝(2k＋1－2)()k＋1，不等式成立，由①②可知不等式对一切n∈N*都成立.【方法规律】1．利用数学归纳法可以证明等式、不等式、整除问题和几何问题等．2．要注意不完全归纳法和数学归纳法的联合使用，比如解决已知数列的递 推公式、求通项公式和数列的求和等问题．3．使用数学归纳法要完成两步．第一步，要验证“基础”；第二步，要证明 “递推”，二者缺一不可．关键在于使用归纳假设进行递推，这也是数学归 纳法的灵活和魅力之所在，要根据不同问题，加强练习，逐步掌握.

(本题满分12分)设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1，2,3，….(1)求a1，a2；(2)求{an}的通项公式.【答题模板】解答：(1)当n＝1时，x2－a1x－a1＝0，有一根为S1－1＝a1－1，于是(a1－1)2－a1·(a1－1)－a1＝0，解得a1＝当n＝2时，x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a2－于是(a2－)2－a2(a2－)－a2＝0，解得a2＝(2)由题设(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，即

－2Sn＋1－anSn＝0.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入上式得：Sn－1Sn－2Sn＋1＝0.①由(1)知S1＝a1