(新高考)高考数学一轮复习题型归纳学案专题09平面向量9.1《线性运算、基本定理和坐标运算》（解析版）

专题九《平面向量》学案9.1线性运算、基本定理和坐标运算知识梳理.线性运算、基本定理和坐标运算一．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．（没有方向上的规定）(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：SKIPIF1<0与任一向量平行或共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量二．向量的线性运算（一）加法：求两个向量和的运算1.三角形法则：首尾连，连首尾2.平行四边形法则：起点相同连对角3.运算律交换律：SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0结合律：(SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0)＋SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＋(SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0)减法：共起点，连终点，指向被减（三）数乘：求实数λ与向量SKIPIF1<0的积的运算1.数乘意义：|λSKIPIF1<0|＝|λ||SKIPIF1<0|，当λ>0时，λSKIPIF1<0与SKIPIF1<0的方向相同；当λ<0时，λSKIPIF1<0与SKIPIF1<0的方向相反；当λ＝0时，λSKIPIF1<0＝02.运算律（1）λ(μSKIPIF1<0)＝(λμ)SKIPIF1<0（2）(λ＋μ)SKIPIF1<0＝λSKIPIF1<0＋μSKIPIF1<0（3）λ(SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0)＝λSKIPIF1<0＋λSKIPIF1<03．向量共线定理向量SKIPIF1<0与非零向量SKIPIF1<0共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得SKIPIF1<0＝λSKIPIF1<0.4．平面向量基本定理如果SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量SKIPIF1<0，有且只有一对实数λ1，λ2，使SKIPIF1<0＝λ1SKIPIF1<0＋λ2SKIPIF1<0.其中，不共线的向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0叫做表示这一平面内所有向量的一组基底三．平面向量的坐标运算(1)向量的加法、减法、数乘向量及向量的模：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).(2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up7(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.题型一.线性运算1．（2018•新课标Ⅰ）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB→A．34AB→−14AC→ 【解答】解：在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，EB→=AB→−=3故选：A．2．（2015•新课标Ⅰ）设D为△ABC所在平面内一点，BC→=3A．AD→=−13C．AD→=4【解答】解：BC→∴AC→∴AD→故选：A．3．（2014•新课标Ⅰ）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EB→A．AD→ B．12AD→ C．【解答】解：∵D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，∴EB→+FC→=（EF→+FB→故选：A．4．已知A，B，C三点不共线，且点O满足16OAA．OA→=12AB→C．OA→=12AB【解答】解：因为点O满足16OA→−12OB→故OA→+12OA→−12OB→即：OA→+12BA→+3CA→=0故选：A．题型二.共线向量基本定理1．设a→，b→是不共线的两个平面向量，已知AB→=a→−2b→，BCA．2 B．﹣2 C．6 D．﹣6【解答】解：根据题意，若A，B，C三点共线，则AB→又由AB→=a→−2解可得k＝﹣6；故选：D．2．已知P是△ABC所在平面内的一点，若CB→−PB→=λPA→A．AC边所在的直线上 B．BC边所在的直线上 C．AB边所在的直线上 D．△ABC的内部【解答】解：∵CB又，PB∴CB即，−PC→=λ∴CP∴P点在AC边所在直线上．故选：A．3．在△ABC中，AB→=c→，AC→=bA．23b→+13c→ 【解答】解：∵CD→∴CD→∴AD→又由AB→=c故AD→故选：B．4．△ABC内一点O满足OA→+2OB→+3OC→A．2DB→+3DC→=0→ 【解答】解：∵△ABC内一点O满足OA→+2OB→+3OC→∴15令OE→=2∴B，C，E三点共线，A，O，E三点共线，∴D，E重合．∴OA→+5OD→=0→，∴2DB→+3DC→=故选：A．题型三.三点共线定理1．（2007•全国卷Ⅱ）在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD→=2DB→，CDA．23 B．13 C．−1【解答】解：在△ABC中，已知D是AB边上一点∵AD→=2DB→∴CD→∴λ=2故选：A．2．（2010•大纲版Ⅱ）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若CB→=a→，CA→=bA．13a→+23b→ 【解答】解：∵CD为角平分线，∴BDAD∵AB→∴AD→∴CD故选：B．3．（2008•广东）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F．若AC→=a→，A．14a→+12b→ 【解答】解：∵由题意可得△DEF∽△BEA，∴DEEB=DFAB=13∴DFFC作FG平行BD交AC于点G，∴FGDO∴GF→∵AG→∴AF→故选：B．4．（2009•安徽）给定两个长度为1的平面向量OA→和OB→，它们的夹角为120°．如图所示，点C在以O为圆心，以1半径的圆弧AB上变动．若OC→=xOA→+yOB→，其中x，y∈R【解答】解：【方法一】建立如图所示的坐标系，则A（1，0），B（cos120°，sin120°），即B（−12，设∠AOC＝α，则OC→=（cosα，sin∵OC→=xOA→+yOB→=（x＝（cosα，sinα）；则x−y解得x=sinα∴x+y=3sinα+cosα＝2sin（α+30°∵0°≤α≤120°．∴30°≤α+30°≤150°．∴x+y有最大值2，当α＝60°时取最大值2．【解法二】OC→=xOA→∴OC→2=x2+y2+2xyOA→•OB→=x2+y2+2xycos120°＝x2∴x2+y2﹣xy＝1，∴（x+y）2﹣3xy＝1，∴（x+y）2﹣1＝3xy≤3•(x+y∴14•（x+y）2≤解得x+y≤2．故答案为：2．5．（2017•新课标Ⅲ）在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若AP→=λAB→+μAD→A．3 B．22 C．5 D．2【解答】解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，设圆的半径为r，∵BC＝2，CD＝1，∴BD=∴12BC•CD=12BD∴r=2∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=4设点P的坐标为（255cosθ+1，25∵AP→=λAB→∴（255cosθ+1，255sinθ+2）＝λ（1，0）+μ（0，2）＝（∴255cosθ+1＝λ，255sin∴λ+μ=255cosθ+55sinθ+2＝sin（θ∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，∴1≤λ+μ≤3，故λ+μ的最大值为3，故选：A．6．（2006•湖南）如图，OM∥AB，点P在由射线OM，线段OB及AB的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且OP→=xOA→+yOB→，则x的取值范围是（﹣∞，0）；当x=−【解答】解：如图，OM∥AB，点P在由射线OM，线段OB及AB的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且OP→OP为平行四边形的对角线，该四边形应是以OB和OA的反向延长线为两邻边，∴x的取值范围是（﹣∞，0）；当x=−12时，要使P点落在指定区域内，即P点应落在DE上，CD=12OB，∴y的取值范围是（12，3故答案为：（﹣∞，0）；（12，3题型四.坐标运算1．已知向量a→=（3，﹣2），b→=（x，y﹣1）且a→∥b→，若A．24 B．8 C．83 D．【解答】解：∵a→∥b∴﹣2x﹣3（y﹣1）＝0，化简得2x+3y＝3，∴3x+2y=（3x+=13（6+9yx+当且仅当2x＝3y=3∴3x故选：B．2．已知A（﹣3，0），B（0，2），O为坐标原点，点C在第二象限内，|OC|=22，且∠AOC=π4，设A．1 B．−23 C．12【解答】解：由已知设C（x，y），则有y＝22×sinπ4=2，x即C（﹣2，2），又OC→由向量相等的充要条件得：﹣2＝﹣3λ，即λ=2故选：D．3．如图，正方形ABCD中，E为AB上一点，P为以点A为圆心，以AB为半径的圆弧上一点，若AC→=xDE→+yAP→（xy≠①若点E和A重合，点P和B重合，则x＝﹣1，y＝1；②若点E是线段AB的中点，则点P是圆弧DB的中点；③若点E和B重合，且点P为靠近D点的圆弧的三等分点，则x+y＝3；④若点E与B重合，点P为DB上任一点，则动点（x，y）的轨迹为双曲线的一部分．【解答】解：以AB为x轴，AD为y轴建立直角坐标系，设正方形ABCD的边长为1，如图，则A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），AC→因为AC→=xDE→+yAP所以，对于①，若点E和A重合，点P和B重合，则E（0，0），P（1，0），DE→=（0，﹣1），AC→=xDE→+yAP→⇒（1，1）＝x（0，﹣1）+y则x＝﹣1，y＝1；对于②，若点E是线段AB的中点，则E（12，0），DE→=（12，﹣1）；若点P是圆弧DB的中点，则P（cos45°，sin45°），即P（22，22），AP→=（22，22），AC→=xDE→+yAP→⇒故②错误；对于③，若点E和B重合，则E（1，0），DE→=（1，﹣1）；又点P为靠近D点的圆弧的三等分点，则P（cos60°，sin60即P（12，32），AP→=（12，32），AC→=xDE→+yAP→⇒（1，1）＝x（1，﹣则x+y=3，故③对于④，若点E与B重合，则E（1，0），DE→=（1，又点P（a，b）为DB上任一点，则AP→=（a，b）（0≤a≤1，0≤b≤1，a2+b2＝1），AC→=xDE→+yAP→⇒（1，1）＝x（1，﹣即x+ya=1−x+yb=1，由a2+b2＝1得：(1−x)2y2+(1+x)2y2=综上所述，说法正确的是①④，故答案为：①④．课后作业.线性运算、基本定理和坐标运算1．在平行四边形ABCD中，E为AB中点，BD交CE于F，则AF→=A．23AB→+13AD→ 【解答】解如图，∵平行四边形ABCD中，E为AB中点，∴DFFB∴DF=2∴AF=AD=AD=2故选：A．2．设x∈R，向量a→=（x，1），b→=（1，﹣2），且a→A．52 B．102 C．5【解答】解：根据题意，向量a→=（x，1），b→若a→∥b→，则﹣2x＝1，解可得x则a→=（−12，1），故a→则|a→+b故选：A．3．已知O是△ABC所在平面内一点，且满足|OB→−OC→|=|OB→+OC→−2【解答】解：已知等式|OB→−OC→|＝|OB→+OC→−∵CB→∴|AB→+AC两边平方，整理得：AB→•AC→=0，即∵|AB|＝c＝2，|AC|＝b=3∴a=2由正弦定理asinA=2R，得到R则△ABC的外接圆的面积为πR2=7π故答案为：7π4．在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC与不同的两点M，N，若AB→=mAMA．2 B．4 C．92 【解答】解：∵点O是B