2007年考研数学一真题及参考答案

1、 一、选择题（1 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。下列每题给出的四个选项中，只(A)(C)【考点】高等数学函数、极限、连续无穷小量的性质及无穷小量的比较渐近线的条数为则又斜渐近线：由于一侧。则曲线有斜渐近线，故该曲线有三条渐近线。如图，连续函数在区间上的图形分别是直径为 2的下、上半圆周，设,则下列结论正确的是上的图形分别是直径为 1的上、下半圆周，在区间(A)四个选项中出现的则由定积分几何意义知,排除(B)为偶函数，从而【考点】高等数学一元函数积分学定积分的概念和基本性质，定积分的应用设函数若在存在，则若若存在，则存在，则,则,又已知函数处连续，,故,则(C)存在，知存在，故正确则

2、(D)存在，在不存在，故命题不正确。设函数在内具有二阶导数，且,令,则下列结论正确的是若,则 必收敛若若,则 必收敛若，知曲线是凹的，；图 2排除选项；图3排除选，,但取,但,排取,但，排除故应选。由拉格朗日中值定理知当,则则有综上所述，本题正确答案是 。【考点】高等数学一元函数微分学函数图形的凹凸性、拐点及渐近线设曲线 具有一阶连续偏导数 象限内的点 和第 象限的点 ， 为 上从点 到点 的一段弧，则下列小于零的是(A)(C)，则由题设可得,线性无关，则下列向量组线性相关的是(B)(C)(D)：因为,：线性无关，所以判断线性无关,故知：，同理：,则 与由.故二次型,负惯性指数,而二,负惯性指

3、数 ，所以 和 合同某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为第 4次射击恰好第 2次命中目标的概率为,则此人(A)(C)根据独立重复的伯努利试验，前 3次试验中有 1次成功和 2次失败，其概率为,第 4次试验成功，其概率为 ，所以此人第 4次射击恰好第 2次命中独立重复试验设随机变量 与 不相关，的条件下， 的条件概率密度概率密度，则在(A)(C)(B)(D)在率密度、边缘概率密度和条件密度，随机变量的独立性和不相关性，常用二维随机变量的分布(11)【答案】 。令,则 设,则二阶常系数非齐次微分方程设原方程特解为,代入原方程可得所以原方程的特解为故原方程的通解为设曲面,则设矩阵在区

4、间,把为正方形区域内的点，而满足的点的区域就是下图阴影区域。根据几何型概率，看做直角坐标系内一个点的坐标，则如下图所示，11三、解答题（本题共8小题，满分86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步（本题满分 11分）在区域所以函数在区域,则,解得，于是条件驻点为,而【考点】高等数学多元函数微分学多元函数的极值和条件极值，多元函数的（本题满分 10分）计算曲面积分，,其中 为曲面的上侧。的上侧，, 和 ，而（本题满分 11分）在,证明：存在。令,则设内的最大值为 ，且分别在若若,即；综上所述，存在，使得由罗尔定理知，存在,使得再由罗尔定理知，存在【方法二】,使得用反证法证明存在，使得：得由的连

5、续性知对于一切,恒大于零或恒小于零。设,从而可知要大，与题设矛盾，所以假设命题不成立。,使得,使得即。（本题满分 10分）内收敛，其和函数；,即比较同次项系数可得，可得，【考点】高等数学无穷级数简单幂级数的和函数的求法，初等函数的幂级数展开式(21)（本题满分 11分）方程组有公共解，即为将两个方程联立的解此时，公共解为：,其中 为任意常数。当不是方程的解，所以当时，对方程组的系数矩阵进行初等行变换方程组的通解为,其中 为任意常数。,其中 为任意当方程组的通解为,其中 为任意常数。得,因此此时方程组和的公共解为【考点】线性代数线性方程组齐次线性方程组的基础解系和通解，非齐次线性方程组的通解,且,那么,。征向量是，其中是不全，有【考点】线性代数矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值和特征向量的概念、性质，实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵(23)（本题满分 11分）设二维随机变