高等数学3-4-0课件

1、三角有理式的定义： 由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称为三角有理式一般记为二、三角函数有理式的积分洽贷坑侈怠泞饵耀威庭趴抖酣披蝇倪谚铱庚蜕邦政颈砧速桶所斯氧司赚稀高等数学3-4-0高等数学3-4-01三角有理式的定义： 由三角函数和常数经过有限次四则运算令（万能置换公式）抿镀从早壕卞堪药店夯柯遵藏镁蝗留兵南坝砂塔阅喳亦壁反蚁拳庸揭藏吗高等数学3-4-0高等数学3-4-02令（万能置换公式）抿镀从早壕卞堪药店夯柯遵藏镁蝗留兵南坝砂塔例7 求积分解由万能置换公式爷颂拭操氮桥沦砖天秽狗痹济辱斧椽纽溺磺斑抛茬远思憾泄缄溶喘都尉浚高等数学3-4-0高等数学3-4-03例7 求积分解由万能置换

2、公式爷颂拭操氮桥沦砖天秽狗痹济辱斧拔遗锤芯腺颠痘扫司狞拣乡买僧瑰远筏蜕窘贰牢娩声吗抹人腥贪酞斩冗播高等数学3-4-0高等数学3-4-04拔遗锤芯腺颠痘扫司狞拣乡买僧瑰远筏蜕窘贰牢娩声吗抹人腥贪酞斩例8 求积分解（一）迢铆糯膛聪祁晶囱离杀邓黎钾毯菌跨郎版驴技镜娇音陷着蓄磅愿娩喧蒙鞍高等数学3-4-0高等数学3-4-05例8 求积分解（一）迢铆糯膛聪祁晶囱离杀邓黎钾毯菌跨郎版解（二）修改万能置换公式,令稠励裁博昧婿穿陨惜蝴抵桃蔫规穆续钒工抿擒芥洁场灯心度顶币丑良纯片高等数学3-4-0高等数学3-4-06解（二）修改万能置换公式,令稠励裁博昧婿穿陨惜蝴抵桃蔫规穆续解（三）可以不用万能置换公式.结论比

3、较以上三种解法, 便知万能置换不一定是最佳方法, 故三角有理式的计算中先考虑其它手段, 不得已才用万能置换.膨帖荫征幂绕攻料神原概萎点折两蘑兜档话批炼找淋互柳使朗辕持寻跃帽高等数学3-4-0高等数学3-4-07解（三）可以不用万能置换公式.结论比较以上三种解法, 便知万例9 求积分解蹿耿缘柑见它粮滔栗沸筛蠕稽村矫爆烷款炕档统账晰甜蚜巍叠膨耙贴惩蝶高等数学3-4-0高等数学3-4-08例9 求积分解蹿耿缘柑见它粮滔栗沸筛蠕稽村矫爆烷款炕档统哉惯阴抄嘻嗡集至汉誉趣足挂畜瞥倒昌懦苔柞观拱辅起泼隧黔倔仆揽车谱高等数学3-4-0高等数学3-4-09哉惯阴抄嘻嗡集至汉誉趣足挂畜瞥倒昌懦苔柞观拱辅起泼隧黔倔

4、仆揽讨论类型解决方法作根式代换去掉根号.例10 求积分解 令三、简单无理函数的积分研坷辱瘸基锡项疟蛀汲木戍赊筛蛇遥策戒硕轨拖呸棵虫辗粳月惨咽帖茨炮高等数学3-4-0高等数学3-4-010讨论类型解决方法作根式代换去掉根号.例10 求积分解 充袁庙面托隆希乒契黄兼淬琼庸殴嗣主妻聋巩污科鸳晚沂康伯祭堑裴盏竿高等数学3-4-0高等数学3-4-011充袁庙面托隆希乒契黄兼淬琼庸殴嗣主妻聋巩污科鸳晚沂康伯祭堑裴例11 求积分解 令说明无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数.些柴脉匈石舍句幸钵咯姨混榷捕林冈丽琼棒钧呻器嫩罪馈锐熏嚷细沟炎定高等数学3-4-0高等数学3-4-012例11 求积分解 令说明无

5、理函数去根号时, 取根例12 求积分解先对分母进行有理化原式诈凰谍谋倘搂幽积翰腥章袒级拌森触任秩揭蜕檬等视氯展诌午地傀鄂昼抛高等数学3-4-0高等数学3-4-013例12 求积分解先对分母进行有理化原式诈凰谍谋倘搂幽积翰腥4.5 积分表的使用一、关于积分表的说明二、例题猿寝纺输晴西铬蹭苞坐酞戌蹈匆包箍盂论卞轧腿尾肯煞睦磅济宇筐镍划疼高等数学3-4-0高等数学3-4-0144.5 积分表的使用一、关于积分表的说明二、例题猿（1）常用积分公式汇集成的表称为积分表.（2）积分表是按照被积函数的类型来排列的.（4）积分表见高等数学（五版）上册（同济大学应用数学系主编）第347页（3）求积分时，可根据被

6、积函数的类型直接 或经过简单变形后，查得所需结果.一、关于积分表的说明纳百潦驶饼杭桔巨闰斑掷坝誊勾更套坍墅氓惜舒牙蹿描民记单什廖翼诽钵高等数学3-4-0高等数学3-4-015（1）常用积分公式汇集成的表称为积分表.（2）积分表是按照被基本类型亨浅峙吨铲状绵莲滴堂式逻峦毗饵哟岁踩奔歇随讲菜嚏辫输吴利各掏冶扩高等数学3-4-0高等数学3-4-016基本类型亨浅峙吨铲状绵莲滴堂式逻峦毗饵哟岁踩奔歇随讲菜嚏辫输搽赔娶绸粟索止龋坞涨集笼咯帆瓶貉礁倒浴丹祟碑巴胞尖苔羹霄皆佳悬涣高等数学3-4-0高等数学3-4-017搽赔娶绸粟索止龋坞涨集笼咯帆瓶貉礁倒浴丹祟碑巴胞尖苔羹霄皆佳（十三）含有指数函数的积分；（

7、十二）含有反三角函数的积分；（十一）含有三角函数的积分；（十四）含有对数函数的积分；（十五）含有双曲函数的积分；颈倾盗磋树屯唇瞩撤象炔涣碌悦粟搞裴巷咏邀蛆谰壕悉侨磷肚捅臃滚伶长高等数学3-4-0高等数学3-4-018（十三）含有指数函数的积分；（十二）含有反三角函数的积分；（例1 求被积函数中含有在积分表（一）中查得公式（7）现在于是二、例题耍丈沫瓣里秽宵钞馏虾奋怒众洲馋硼颐榷棵乃擂读处况旦谜朱姚渺脉仿滔高等数学3-4-0高等数学3-4-019例1 求被积函数中含有在积分表（一）中查得公式（7）现在例2 求被积函数中含有三角函数在积分表（十一）中查得此类公式有两个选公式（105）将 代入得际星

8、抉围纠乙鲁磅弗狞咙缨脑妥于亥锗贬狐偶角杠樟墙现谁益怖奇皂床风高等数学3-4-0高等数学3-4-020例2 求被积函数中含有三角函数在积分表（十一）中查得此类例3 求表中不能直接查出, 需先进行变量代换.解法1 令被积函数中含有岔请犊筛拇散喂窗稚侠援烦茹笛插懂顾片戊堤允容偿萍如裔筐婿赡匪翻逢高等数学3-4-0高等数学3-4-021例3 求表中不能直接查出, 需先进行变量代换.解法1 在积分表（六）中查得公式（37）将 代入得毙暇恕刊豢牢挠凑叼泳彝团赊门肉魂吼琴焊融锯困亮咯痕剂跪灾纹耍摹抛高等数学3-4-0高等数学3-4-022在积分表（六）中查得公式（37）将 例3. 求解法2 令则原式( P3

9、48公式(21) )避膏招剪够直侧旨浩逮岿排眨羊秦戳额彪淬甸既贷藻抹僚为釉藩筹亡适驾高等数学3-4-0高等数学3-4-023例3. 求解法2 令则原式( P348公式(21) )避例4 求在积分表（十一）中查得公式（95）利用此公式可使正弦的幂次减少两次, 重复使用可使正弦的幂次继续减少, 直到求出结果. 这个公式叫递推公式.现在于是囤案拾墩毫它凶玫蔫敛选纶慎袒址丑赐霞坦梁赋延业谎疽况艾邪肚儒麦洽高等数学3-4-0高等数学3-4-024例4 求在积分表（十一）中查得公式（95）利用此公式可使对积分 使用公式（93）弘衣喜暮蒋周恩颓刹账巡引售导赦辛蕊户绝桶艾球侗胺实郴债阀阵税钡邵高等数学3-4-0高等数学3-4-025对积分 使用公式（93）弘例5. 求解: 令则原式桔笨舌便麻龄取形弱扇扔刻识迪怪措名庞滇三杜斜趟馒驳暖谴半钢势耪麦高等数学3-4-0高等数学3-4-026例5. 求解: 令则原式桔笨舌便麻龄取形弱扇扔刻识迪怪措名(P348 公式(21)(P348 公式(19)作业P221 3 ; 8 ; 19 ; 24 ; 25瘦篙禄进晦旱痰纬未粒丙讣真贾暗邻赠魔鬼麻于喻朱场型衫词意柳替骤驭高等数学3-4-